二次函数综合题讲解中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 综合题讲解 61.【2012 吉林】如图，在x轴上有两点(,0)A m,(,0)B n（0nm）.分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线2yx于点C、点D.直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F,点E、点F的纵坐标分别记为.Ey、Fy.特例探究 填空：当1m,2n 时，.Ey=_,Fy=_.当3m,5n 时，.Ey=_,Fy=_.归纳证明 对任意m,n（0nm）,猜想.Ey与Fy的大小关系，并证明你的猜想 拓展应用.（1）若将“抛物线2yx”改为“抛物线2(0)yaxa”,其它条件不变，请直接写出.Ey与Fy的大小关系.（2）连接EF，AE当.3OFEOFEBS

2、S四边形时，直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状 答案 特例探究2,2；15,15.归纳证明 猜想EFyy.证明（略）拓展应用(1)EFyy.(2)四边形OFEA是平行四边形 考点 一次函数、二次函数综合运用，函数图象上的点与函数解析式的关系，平行四边形的判定.解析 特例探究 当1m,2n 时，(1,1)C，(2,4)D，所以直线OC的解析式为：yx；直线OD的解析式为：2yx；此时 解2xyx，得(2,2)2EEy.解12xyx，得(1,2)2FFy.所以，此时1 22EFyy 当3m,5n 时，(3,9)C，(5,25)D，所以直线OC的解析式为：3yx；直线OD的解析式为：5yx；

3、此时 解53xyx，得(5,15)15EEy.解35xyx，得(3,15)15FFy.所以，此时3 515EFyy 归纳证明 猜想：对任意m,n（0nm）,都有：EFyy.证明：对任意m,n（0nm）时，2(,)C m m，2(,)D n n，所以直线OC的解析式为：ymx；直线OD的解析式为：ynx；此时 解xnymx，得(,)EE n mnymn.解xmynx，得(,)FF n mnymn.所以，此时EFyymn.拓展应用(1)若将“抛物线2yx”改为“抛物线2(0)yaxa”,其它条件不变，仍然有：EFyy.此时，2(,)C m am，2(,)D n an，所以直线OC的解析式为：yam

4、x；直线OD的解析式为：yanx；此时 解xnyamx，得(,)EE n amnyamn.解学习必备 欢迎下载 xmyanx，得(,)FF n amnyamn.62.【2012 济南】如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（-3，0），B（-1，0），与 y 轴相交于点 C，O1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求 cos CAB的值和O1的半径；（3）如图 2，抛物线的顶点为 P，连接 BP，CP，BD，M为弦 BD中点，若点 N在坐标平面内，满足BMN BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标 【考点】二次函数综合题【专题】【分析

5、】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图 1 所示，由AOC为等腰直角三角形，确定CAB=45，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图 2 所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点 D坐标，进而求出点 M的坐标和线段 BM的长度；点B、P、C 的坐标已知，求出线段 BP、BC、PC 的长度；然后利用BMN BPC 相似三角形比例线段关系，求出线段 BN和 MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点 N的坐标【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），933

6、030abab ，解得 a=1，b=4，抛 物 线 的 解 析 式 为：y=x2+4x+3（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，令 x=0，得 y=3，C（0，3），OC=OA=3，则AOC为等腰直角三角形，CAB=45，cos CAB=22 在 RtBOC中，由勾股定理得：BC=221310 如答图 1 所示，连接 O1B、O1B，由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90，BO1C为等腰直角三角形，O1的半径 O1B=22BC=5（3）抛物线 y=x2+4x+3=（x+2）2-1，顶点 P 坐标为（-2，-1），对称轴为 x=-2 又A（-3，0），B（-1，0），可知点 A

7、、B关于对称轴x=2 对称 如答图 2 所示，由圆及抛物线的对称性可知：点 D、点 C（0，3）关于对称轴对称，D（-4，3）又点 M为 BD中点，B（-1，0），M（52，32），BM=22533(1)()2222；交直线于点点点的纵坐标分别记为特例探究填空当时当时归纳证明对任意猜想与的大小关系并证明你的猜想拓展应用若将抛物线改为抛物线其它条件不变请直接写出的大小关系连接当与四边形时直接写出和的关系及四边形的形状答函数解析式的关系平行四边形的判定解析特例探究当线的解析式为此时时所以直直线的解析式为解得解得时所以此时当直线的解析式为此时所以直线的解析式为解得解得所以此时归纳证明猜想对任意有证明

8、对任意所以直线的解析式解析式为析式为直线的解此时解得解学习必备欢迎下载得令得济南如图抛物线与轴相则为等腰直角三角形交于点与轴相交于点为的外接圆交抛物线于另一点求抛物线的解析式求的值和的半径如图抛物线的顶点为连接在中由勾股定理学习必备 欢迎下载 在BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=2，BC=10，PC=2 5 BMN BPC，BMBNMNBPBCPC，即3 22 2102 5BNMN，解得：3102BN，MN3 5 设 N（x，y），由两点间的距离公式可得：2222223(1)(10)253()()(3 5)22xyxy，解之得，117232x

9、y，221292xy 点N的坐标为（72，32）或（12，92）【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大 难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N 有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点 N的坐标 63.【2012 达州】如图 1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.（1）填空：点D的坐标为（），点E的坐标为（）.（2）若抛物线2yaxbxc(a0)经过A、D、E

10、三点，求该抛物线的解析式（3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动.在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围.运动停止时，求抛物线的顶点坐标【答案】解：（1）D（1，3），E（3，2）。（2）抛物线经过（0，2）、（1，3）、（3，2），则 c2abc39a3bc2 ，解得 1a21b3c2 。抛物线的解析式为213yxx222 （3）求出端点的时间：当点D运动到y轴上时，如图 1，DD1=12DC=12BC=52，t=12。当点B

11、运动到y轴上时，如图 2，BB1=BC=5，t=515。当点E运动到y轴上时，如图 2，EE1=EDDE1=535+522，t=32。当 0t12时，如图4，正方形落在y轴右侧部分的面积为CCF的面积，设DC交y轴于点F。交直线于点点点的纵坐标分别记为特例探究填空当时当时归纳证明对任意猜想与的大小关系并证明你的猜想拓展应用若将抛物线改为抛物线其它条件不变请直接写出的大小关系连接当与四边形时直接写出和的关系及四边形的形状答函数解析式的关系平行四边形的判定解析特例探究当线的解析式为此时时所以直直线的解析式为解得解得时所以此时当直线的解析式为此时所以直线的解析式为解得解得所以此时归纳证明猜想对任意有

12、证明对任意所以直线的解析式解析式为析式为直线的解此时解得解学习必备欢迎下载得令得济南如图抛物线与轴相则为等腰直角三角形交于点与轴相交于点为的外接圆交抛物线于另一点求抛物线的解析式求的值和的半径如图抛物线的顶点为连接在中由勾股定理学习必备 欢迎下载 tanBCO=OBOC=2，BCO=FCC，tanFCC=2,即FCCC=2。CC=5t，FC=25t。SCCF=12CCFC=152t2 5t=5 t2。当12t1 时，如图 5，正方形落在y轴右侧部分的面积为直角梯形CCDG的面积，设DE交y轴于点G，过G作GHBC于H。GH=BC=5，CH=12GH=52。CC=5t，HC=GD=5t52。CC

13、 D G155S5t+5t5=5t224梯形 当 1t32时，如图 6，正方形落在y轴右侧部分的面积为五边形BCDMN的面积，设DE、EB分别交y轴于点M、N。CC=5t，BC=5,CB=5t5。BN=2CB=2 5t2 5。BE=5，EN=BEBN=3 52 5t。EM=12EN=12(3 52 5t)。2MNE1145S3 52 5t3 52 5t=5t15t+224 222MNEBCDEBCDMN4525SSS=55t 15t+=5t+15t44 正方形五 形边。综 上 所 述，S与x的 函 数 关 系 式 为：2215 t0t25 1s=5tt14 22535t+15t1t420 且二

14、次函数图象与直线y=x+3 仅有一个交点时，二次函数的最大值为 4【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为 x=2，利用对称轴公式n22m，化简即得 n+4m=0。（2）利用三角函数定义和抛物线与 x 轴交点坐标性质求解 特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n 的值将有两组。（3）利用一元二次方程的判别式等于0 求解当p0 时，m、n 的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次交直线于点点点的纵坐标分别记为特例探究填空当时当时归纳证明对任意猜想与的大小关系并证明你的猜想拓展应用若将抛物线改为抛物线其它条件不变请直接写出的大小

15、关系连接当与四边形时直接写出和的关系及四边形的形状答函数解析式的关系平行四边形的判定解析特例探究当线的解析式为此时时所以直直线的解析式为解得解得时所以此时当直线的解析式为此时所以直线的解析式为解得解得所以此时归纳证明猜想对任意有证明对任意所以直线的解析式解析式为析式为直线的解此时解得解学习必备欢迎下载得令得济南如图抛物线与轴相则为等腰直角三角形交于点与轴相交于点为的外接圆交抛物线于另一点求抛物线的解析式求的值和的半径如图抛物线的顶点为连接在中由勾股定理学习必备 欢迎下载 方程的判别式等于 0，据此求出 p 的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值。70.【2012 盐城

16、】28（2012 江苏盐城 12 分）在平面直角坐标系xOy中，已 知 二 次 函 数214yxmxn的 图 象 经 过 点(2,0)A和点3(1,)4B，直线经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q.(1)求该二次函数的表达式；(2)设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标1y随时间(t t0)的变化规律为1324yt .现以线段OP为直径作C.当点P在起始位置点B处时，试判断直线与C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线与C是否始终保持这种位置关系?请说明你的理由；若在点P开始运动的同时，直线也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标2y随时间的变化规律为213yt，则当在

17、什么范围内变化时，直线与C相交?此时，若直线被C所截得的弦长为a,试求2a的最大值.直线与C相切。在点P运动的过程中，直线与C始 终 保 持 相 切 的 位 置 关 系。理 由 如 下：设 点03(,2)4P xt，则圆心的坐标为03(,)28xCt，圆心 C到直线的距离为35()(1)88dtt 。又20312144tx ，2081xt。则C的半径为 2222038 13955()|()28446488xtrtttttd 直线与C始终相切。由知C的半径为58rt，又圆心C的纵坐标为38t，直线上的点的纵坐标为1 3t，()当38t 1 3t,即516时，圆心C到直线的距离为35()(13)2

18、88dttt 。则由dr，得55288tt，解得0t,此时0t516。()当38t 1 3t,即516时,圆心C到直线的距离为35(13)()288dttt 。则由dr,得55288tt ，解得54t。此时51654t。综上所述，当504t 时,直线与C相交。当504t 时，圆 心C到 直 线 的 距 离 为5|2|8dt，又半径为58rt，2222222555754()4()|2|12 15=12+88816ardttttt 当58t 时,2a取得最大值为7516。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，点到直线的距离，二次函数的性质。【分析】（1）

19、所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将点(2,0)A和点3(1,)4B坐标代入即可得解。（2）由于OP是C的直径，由P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，从而能表示出C到直线的距离，OP长易得。然后通过比较C的半径和C到直线的距离，即可判定直线与C的位置关系。该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和完全一致，唯一不同的地方：要注意直线与C的位置关系（需要考虑到C到直线的表达方式）。在第二问中，2a最大，那么求出2a关于的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可求解。交直线于点点点的纵坐标分别记为特例探究填空当时当时归纳证明对任意猜想与的大小关系并证明你的猜想拓展应用若将抛物线改为抛物线其它条件不变请直接写出的大小关系连接当与四边形时直接写出和的关系及四边形的形状答函数解析式的关系平行四边形的判定解析特例探究当线的解析式为此时时所以直直线的解析式为解得解得时所以此时当直线的解析式为此时所以直线的解析式为解得解得所以此时归纳证明猜想对任意有证明对任意所以直线的解析式解析式为析式为直线的解此时解得解学习必备欢迎下载得令得济南如图抛物线与轴相则为等腰直角三角形交于点与轴相交于点为的外接圆交抛物线于另一点求抛物线的解析式求的值和的半径如图抛物线的顶点为连接在中由勾股定理