双曲线基本知识点及例题高考_-高中教育.pdf

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1、【模拟试题】1.过双曲线的一个焦点作 x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。2.已知双曲线的离心率为 2，求它的两条渐近线的夹角。3.在面积为 1 的PMN 中，建立适当坐标系，求以 M、N 为焦点且过点 P 的双曲线方程。4.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P 是两条曲线的一个交点，求的值。5.已知椭圆及点 B（0，2），过左焦点 F1与点 B的直线交椭圆于C、D 两点，椭圆的右焦点为 F2，求CDF2的面积。6.P 为椭圆上任意一点，F1为它的一个焦点，求证以焦半径 F1P 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。7.已知两定点 A（1，0），B（1，0）及两动点 M（0，y1），N（

2、0，y2），其中，设直线 AM 与 BN的交点为 P。（1）求动点 P 的轨迹 C的方程；（2）若直线与曲线 C位于 y 轴左边的部分交于相异两点 E、F，求 k的取值范围。8.直线只有一个公共点，求直线 l 的方程。【试题答案】1.解：双曲线方程为，13，于是焦点坐标为 设过点 F1垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 ，故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为。2.解：设实轴与渐近线的夹角为，则 条渐近线的夹角在面积为的中建立适当坐标系求以为焦点且过点的双曲线方程已知椭圆和双曲线有相同的焦点是两条曲线的一个交点求的值已知椭圆及点过左焦点与点的直线交椭圆于两点椭圆的右焦点为求的面积为椭圆上任意一

3、点动点的轨迹的方程若直线与曲线位于轴左边的部分交于相异两点求的取值范围直线程只有一个公共点求直线的方试题答案解双曲线方程为于是焦点坐标为设过点垂直于轴的直线交双曲线于故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为解所在直线为轴的中垂线为轴建立直角坐标系设如图所示则解得设双曲线方程为将点所求双曲线方程为点评选择坐标系应使双曲线方程为标准形式然后采用待定系数法求出方程解在椭圆上又点在双曲线上两式分别平方得两式相减得解 两条渐近线的夹角为 点评 （1）离心率 e 与。（2）要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为。3.解：以 MN 所在直线为 x 轴，MN 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设，（如图所示）

4、则 解得 条渐近线的夹角在面积为的中建立适当坐标系求以为焦点且过点的双曲线方程已知椭圆和双曲线有相同的焦点是两条曲线的一个交点求的值已知椭圆及点过左焦点与点的直线交椭圆于两点椭圆的右焦点为求的面积为椭圆上任意一点动点的轨迹的方程若直线与曲线位于轴左边的部分交于相异两点求的取值范围直线程只有一个公共点求直线的方试题答案解双曲线方程为于是焦点坐标为设过点垂直于轴的直线交双曲线于故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为解所在直线为轴的中垂线为轴建立直角坐标系设如图所示则解得设双曲线方程为将点所求双曲线方程为点评选择坐标系应使双曲线方程为标准形式然后采用待定系数法求出方程解在椭圆上又点在双曲线上两式分别平

5、方得两式相减得解 设双曲线方程为，将点 所求双曲线方程为 点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程。4.解：P 在椭圆上，又点 P 在双曲线上，、两式分别平方得 两式相减得，5.解：，条渐近线的夹角在面积为的中建立适当坐标系求以为焦点且过点的双曲线方程已知椭圆和双曲线有相同的焦点是两条曲线的一个交点求的值已知椭圆及点过左焦点与点的直线交椭圆于两点椭圆的右焦点为求的面积为椭圆上任意一点动点的轨迹的方程若直线与曲线位于轴左边的部分交于相异两点求的取值范围直线程只有一个公共点求直线的方试题答案解双曲线方程为于是焦点坐标为设过点垂直于轴的直线交双曲线于故垂线与双曲线的交点到

6、两焦点的距离为解所在直线为轴的中垂线为轴建立直角坐标系设如图所示则解得设双曲线方程为将点所求双曲线方程为点评选择坐标系应使双曲线方程为标准形式然后采用待定系数法求出方程解在椭圆上又点在双曲线上两式分别平方得两式相减得解 由 与椭圆有两个公共点，设为：又点 F2到直线 BF1的距离 说明：本题也可用来解。6.略解 1 设为椭圆上任意一点，则 又两圆半径分别为，故此两圆内切。条渐近线的夹角在面积为的中建立适当坐标系求以为焦点且过点的双曲线方程已知椭圆和双曲线有相同的焦点是两条曲线的一个交点求的值已知椭圆及点过左焦点与点的直线交椭圆于两点椭圆的右焦点为求的面积为椭圆上任意一点动点的轨迹的方程若直线与

7、曲线位于轴左边的部分交于相异两点求的取值范围直线程只有一个公共点求直线的方试题答案解双曲线方程为于是焦点坐标为设过点垂直于轴的直线交双曲线于故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为解所在直线为轴的中垂线为轴建立直角坐标系设如图所示则解得设双曲线方程为将点所求双曲线方程为点评选择坐标系应使双曲线方程为标准形式然后采用待定系数法求出方程解在椭圆上又点在双曲线上两式分别平方得两式相减得解 略解 2 如图，此两圆内切 7.解：（1）由题意得 AM 的方程为，BN的方程为：。两式相乘，得 （2）由 8.解：由 （1）此时直线 l：x3 与双曲线只有一个公共点（3，0）；条渐近线的夹角在面积为的中建立适当坐标

8、系求以为焦点且过点的双曲线方程已知椭圆和双曲线有相同的焦点是两条曲线的一个交点求的值已知椭圆及点过左焦点与点的直线交椭圆于两点椭圆的右焦点为求的面积为椭圆上任意一点动点的轨迹的方程若直线与曲线位于轴左边的部分交于相异两点求的取值范围直线程只有一个公共点求直线的方试题答案解双曲线方程为于是焦点坐标为设过点垂直于轴的直线交双曲线于故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为解所在直线为轴的中垂线为轴建立直角坐标系设如图所示则解得设双曲线方程为将点所求双曲线方程为点评选择坐标系应使双曲线方程为标准形式然后采用待定系数法求出方程解在椭圆上又点在双曲线上两式分别平方得两式相减得解 （2）当 b0 时，直线 l

9、方程为。当 当恒成立，此时直线 l 与双曲线必相交于两点。综上所述，满足条件的直线 l 共有三条：小结：含参数的直线方程，若化简为，则可知 l 必过定点（3，0），因（3，0）正好为双曲线实轴顶点。所以过此点的切线 x3 及过此点与渐近线平行的直线均与双曲线只有一个公共点。由此可见，重视几何图形特征分析会简化计算。条渐近线的夹角在面积为的中建立适当坐标系求以为焦点且过点的双曲线方程已知椭圆和双曲线有相同的焦点是两条曲线的一个交点求的值已知椭圆及点过左焦点与点的直线交椭圆于两点椭圆的右焦点为求的面积为椭圆上任意一点动点的轨迹的方程若直线与曲线位于轴左边的部分交于相异两点求的取值范围直线程只有一个公共点求直线的方试题答案解双曲线方程为于是焦点坐标为设过点垂直于轴的直线交双曲线于故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为解所在直线为轴的中垂线为轴建立直角坐标系设如图所示则解得设双曲线方程为将点所求双曲线方程为点评选择坐标系应使双曲线方程为标准形式然后采用待定系数法求出方程解在椭圆上又点在双曲线上两式分别平方得两式相减得解