高考数学教师备选作业第七章第七节立体几何体中的向量方法理高考_-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第七章 第七节 立体几何体中的向量方法 一、选择题 1若平面，的法向量分别为a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，则x的值为 ()A10 B10 C.12 D12 2已知AB(1,5，2)，BC(3,1，z)，若 AB BC，BP(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为 ()A.337，157，4 B.407，157，4 C.407，2,4 D4，407，15 3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为 ()A30 B45 C60 D90 4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，

2、M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ()A相交 B平行 C垂直 D不能确定 5.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 ()A45 B60 C90 D120 6.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF12ADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为 学习必备 欢迎下载()A.66 B.33 C.63 D.23 二、填空题 7已知 AB(2,2,1)，AC(4,5,3)，则平

3、面ABC的单位法向量是_ 8在如右图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，正方体的棱长为 2，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为_ 9正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_ 三、解答题 10如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求 AE与 DB夹角的余弦值 11已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC12，AB1，M是PB的中点(1)

4、证明：平面PAD平面PCD；(2)求AC与PB所成的角；(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值 12如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD平面则实数分别为如图在正方体中为的中点则异面直线与所成的角为如图所示在正方体中棱长为分别为和上的点则与平面的位置关系是相交垂直平行不能确定如图所示在三棱柱中底面点分别是棱的中点则直线和所成的角是如图平面的单位法向量是在如右图所示的正方体中是的中点正方体的棱长为则异面直线与所成角的余弦值为正四棱锥中为顶点在底面上的射影为侧棱的中点且则直线与平面所成的角是三解答题如图在中是上的高沿把折起使证明平面平面设

5、为所成二面角的余弦值如图四棱锥中底面四边形中学习必备欢迎下载求证平面平面设若直线与平面所成的角为求线段的长在线段上是否存在一个点使得点到点的距离都相等说明理由详解答案一选择题解析答案解析又平面由得答案解析学习必备 欢迎下载 2，CDA45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.()若直线PB与平面PCD所成的角为 30，求线段AB的长；()在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由 详解答案 一、选择题 1解析：，ab0 x10.答案：B 2解析：AB BC AB BC352z0，z4.又BP平面ABC，BPABx15y60，BPBC3x3y3

6、z0，由得x407，y157.答案：B 3.解析：以D点为原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则相关点的坐标为C(0,1,0)，E(12，12，1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，CE(12，12，1)，BD(1，1,0)CE BD121200.CE BD，即CEBD.答案：D 4.解析：分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 平面则实数分别为如图在正方体中为的中点则异面直线与所成的角为如图所示在正方体中棱长为分别为和上的点则与平面的位置关系是相交垂直平行不能确定如图所示在三棱柱中底面点分别是棱的中点则直线和所成的角是如图平面的单位法向量是在

7、如右图所示的正方体中是的中点正方体的棱长为则异面直线与所成角的余弦值为正四棱锥中为顶点在底面上的射影为侧棱的中点且则直线与平面所成的角是三解答题如图在中是上的高沿把折起使证明平面平面设为所成二面角的余弦值如图四棱锥中底面四边形中学习必备欢迎下载求证平面平面设若直线与平面所成的角为求线段的长在线段上是否存在一个点使得点到点的距离都相等说明理由详解答案一选择题解析答案解析又平面由得答案解析学习必备 欢迎下载 A1MAN23a，M(a，23a，a3)，N(23a，23a，a)MN(a3，0，23a)又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，11C D(0，a,0)MN 11C D0，MN 11C D

8、.11C D是平面BB1C1C的法向量，且MN 平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案：B 5.解析：以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0，1)，EF(0，1,1)，1BC(2,0,2)cos EF，1BC EF1BC|EF|1BC|22 812.EF与BC1所成角为 60.答案：B 6.解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，AG(a，a,0)，AC(0,2a,2

9、a)，BG(a，a,0)，BC(0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1(x1，y1,1)，平面则实数分别为如图在正方体中为的中点则异面直线与所成的角为如图所示在正方体中棱长为分别为和上的点则与平面的位置关系是相交垂直平行不能确定如图所示在三棱柱中底面点分别是棱的中点则直线和所成的角是如图平面的单位法向量是在如右图所示的正方体中是的中点正方体的棱长为则异面直线与所成角的余弦值为正四棱锥中为顶点在底面上的射影为侧棱的中点且则直线与平面所成的角是三解答题如图在中是上的高沿把折起使证明平面平面设为所成二面角的余弦值如图四棱锥中底面四边形中学习必备欢迎下载求证平面平面设若直线与平面所成的角为求线段的

10、长在线段上是否存在一个点使得点到点的距离都相等说明理由详解答案一选择题解析答案解析又平面由得答案解析学习必备 欢迎下载 由 BGn10 BGn10 ax1ay102ay12a0 x11y11 n1(1，1,1)sin|BGn1|BG|n1|2a2a 363.答案：C 二、填空题 7解析：设平面ABC的法向量n(x，y,1)，则n AB且n AC，即n AB0，且nAC0.即 2x2y10，4x5y30，即 x12，y1，n(12，1,1)，单位法向量为 n|n|(13，23，23)答案：(13，23，23)或(13，23，23)8解析：分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

11、则C(0,2,0)，E(0,1,2)，A(2,0,0)，AC(2,2,0)，DE(0,1,2)，cos AC，DE1010.答案：1010 9解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，a2，a2)，则 CA(2a,0,0)AP(a，a2，a2)，CB(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则 cos CB，n CBn|CB|n|a2a2 212，平面则实数分别为如图在正方体中为的中点则异面直线与所成的角为如图所示在正方体中棱长为分别为和上的点则与平面的位置关系是相交垂直平

12、行不能确定如图所示在三棱柱中底面点分别是棱的中点则直线和所成的角是如图平面的单位法向量是在如右图所示的正方体中是的中点正方体的棱长为则异面直线与所成角的余弦值为正四棱锥中为顶点在底面上的射影为侧棱的中点且则直线与平面所成的角是三解答题如图在中是上的高沿把折起使证明平面平面设为所成二面角的余弦值如图四棱锥中底面四边形中学习必备欢迎下载求证平面平面设若直线与平面所成的角为求线段的长在线段上是否存在一个点使得点到点的距离都相等说明理由详解答案一选择题解析答案解析又平面由得答案解析学习必备 欢迎下载 CB，n60.直线BC与平面PAC所成的角为 906030.答案：30 三、解答题 10解：(1)证明

13、：折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|1，以D为坐标原点，以 DB，DC，DA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，3)，E(12，32，0)，AE(12，32，3)，DB(1,0,0)，AE与 DB夹角的余弦值为 cos AE，DBAEDB|AE|DB|1222412222.11解：以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点

14、坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，12)(1)证明：因 AP(0,0,1)，DC(0,1,0)，故 AP DC0，所以APDC.由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC平面PAD.又DC在平面PCD上，故面PAD面PCD.(2)因 AC(1,1,0)，PB(0,2，1)，故|AC|2，|PB|5，AC PB2，所以 cosAC PB|AC|PB|105.(3)在MC上取一点N(x，y，z)，则存在 R，使 NC MC，NC(1 x,1y，z)，MC(1,0，12)，平面则实数分别为如图在正方

15、体中为的中点则异面直线与所成的角为如图所示在正方体中棱长为分别为和上的点则与平面的位置关系是相交垂直平行不能确定如图所示在三棱柱中底面点分别是棱的中点则直线和所成的角是如图平面的单位法向量是在如右图所示的正方体中是的中点正方体的棱长为则异面直线与所成角的余弦值为正四棱锥中为顶点在底面上的射影为侧棱的中点且则直线与平面所成的角是三解答题如图在中是上的高沿把折起使证明平面平面设为所成二面角的余弦值如图四棱锥中底面四边形中学习必备欢迎下载求证平面平面设若直线与平面所成的角为求线段的长在线段上是否存在一个点使得点到点的距离都相等说明理由详解答案一选择题解析答案解析又平面由得答案解析学习必备 欢迎下载

16、x1，y1，z12.要使ANMC，只需 AN MC0 即x12z0，解得 45.可知当 45时，N点坐标为(15，1，25)，能使 AN MC0.此时，AN(15，1，25)，BN(15，1，25)，有 BN MC0 由 AN MC0，BN MC0 得ANMC，BNMC.所以ANB为所求二面角的平面角|AN|305，|BN|305，AN BN45.cos AN，BNAN BN|AN|BN|23.平面AMC与平面BMC所成角的余弦值为23.12解：(1)证明：因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PA

17、D.(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.在 RtCDE中，DECDcos 45 1，CECDsin 45 1.设ABAPt，则B(t,0,0)，P(0,0，t)由ABAD4 得AD4t，所以E(0,3 t,0)，C(1,3 t,0)，D(0,4 t,0)，CD(1,1,0)，PD(0,4 t，t)平面则实数分别为如图在正方体中为的中点则异面直线与所成的角为如图所示在正方体中棱长为分别为和上的点则与平面的位置关系是相交垂直平行不能确定如图所示在三棱柱中底面点分别是棱的中点则直线和所成的角是如图平面的单位法向量是在如右图所示

18、的正方体中是的中点正方体的棱长为则异面直线与所成角的余弦值为正四棱锥中为顶点在底面上的射影为侧棱的中点且则直线与平面所成的角是三解答题如图在中是上的高沿把折起使证明平面平面设为所成二面角的余弦值如图四棱锥中底面四边形中学习必备欢迎下载求证平面平面设若直线与平面所成的角为求线段的长在线段上是否存在一个点使得点到点的距离都相等说明理由详解答案一选择题解析答案解析又平面由得答案解析学习必备 欢迎下载()设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，由n CD，n PD，得 xy0，tytz0.取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t)又 PB(t,0，t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为

19、30得 cos 60|n PB|n|PB|，即|2t24t|t2t2t2 2t212，解得t45或t4(舍去，因为AD4t0)，所以AB45.()假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到P，B，C，D的距离都相等，设G(0，m,0)(其中 0m4t)，则 GC(1,3 tm,0)，GD(0,4 tm,0)，GP(0，m，t)由|GC|GD|得 12(3tm)2(4 tm)2，即t3m；(1)由|GD|GP|得(4tm)2m2t2.(2)由(1)、(2)消去t，化简得m23m40.(3)由于方程(3)没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、C、D的距离都相等从而，在线段AD上

20、不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等 平面则实数分别为如图在正方体中为的中点则异面直线与所成的角为如图所示在正方体中棱长为分别为和上的点则与平面的位置关系是相交垂直平行不能确定如图所示在三棱柱中底面点分别是棱的中点则直线和所成的角是如图平面的单位法向量是在如右图所示的正方体中是的中点正方体的棱长为则异面直线与所成角的余弦值为正四棱锥中为顶点在底面上的射影为侧棱的中点且则直线与平面所成的角是三解答题如图在中是上的高沿把折起使证明平面平面设为所成二面角的余弦值如图四棱锥中底面四边形中学习必备欢迎下载求证平面平面设若直线与平面所成的角为求线段的长在线段上是否存在一个点使得点到点的距离都相等说明理由详解答案一选择题解析答案解析又平面由得答案解析