材料力学第11章研究生考试专业课_研究生考试-专业课.pdf

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1、 11.1 杆 AB 的抗拉（压）刚度为 EA。求：（1）在 F1及 F2二力作用下，杆内的弹性应变能；（2）求 变量 F2 为何值时杆的弹性应变能最小？解：（1）Vd F N21 2l 2EA FN 1 F1 F 2，FN 2 F1 F2 2 l F N22 l 2EA EA F2 F22 l 2EA 22 2 F12 4F1F2 3 F22 l 2EA 2)VF2d 4F1 6F2 l 2EA 0，F2 F12l 2，F1，V d,min 3 1 d,min 3EA 图示结构中 AB 11.2 储存的应变能为 Vd。为刚性杆。求 F 的值。已知拉杆和抗拉刚度均为 EA，杆长为 l，杆内 解

2、：（1）FN1 a FN 2 2a 3a，即：FN1 2FN 2 3F 2 l1 联立，FN1l F N2 l l 2 2 2 EA EA 可求得 2FN 1 FN2 FN1 35F，FN2 6 F N2 N2 5 Vd FN22 l 2EA 2 18F2l，故 25EA 5 EAV d 3 2l 11.3 图示简支梁的抗弯刚度为 EI 不计剪力的影响，求梁的应变能。解：a）FA ql 8 M x1 FAx1 M x2 FBx2 l2 1 qlx1 8 Vd M2 38ql x1 12 2qx22 38 qlx2 8 12 2qx22 l/2 l/2(a)FB 2 l 2M 2 x2 0 2

3、EI l 2 9q2l 2x22 24q2lx23 16q2x24 0 dx1 0 2EI l 2 2 2 2 l 2 q2l 2x12 dx1 0 128EI 1 2 5 2 5 q l 9q l dx2 3072EI 3072EI 128EI 2 5 2 5 3q l q l 1024 EI 1280 EI dx2 x1 x2 FA B b）由对称性，可得 RA 1 q0l，4 qx Mx 1 RA x q 6 1 q0lx 4 2 l/2 M 2 x dx 1 l/2 2EI EI 0 25 17q l 15360 EI 2q0 x l 1 q0 x3 1 4q0lx 32 1 q0 x

4、3 dx 3l q0 144 EIl 2 2 q02 144 EIl 2 27 q02l7 144 EIl 2 3q0l 2x 4q0 x3 2 dx 9l 4 x2 24l 2 x4 16 x 6 dx EI RB 54 78 17q02l5 10080 EI 11.4 曲杆 AB 的直径为 性应变能。解：FRsin Vd 2M2 Rd 0 2EI 2 F 2 R3 1 cos2 0 4EI d，11.5 图示外伸梁，在集中力 下 C 点的挠度。解：由功的互等定律，Me F M Fla A F C，M e e 6EI 11.6 11.7 曲率半径为 R，弹性模量 E 为已知。求曲杆的弹 2

5、3 2 2 F2R3sin2 d 2EI F2R3 8EI 8F2R3 Ed4 F 单独作用下，截面 A 的转角为 Fla。求梁在集中力偶矩 Me 单独作用 6EI F MC M ela 6EI 悬臂梁受力如图所示，已知抗弯刚度为 Me l a EI A 截面的挠度和转角。解：M x 12 Fx qx 2 m qax 1 qx 2，其中 F 2 qa，m 0 Mx Mx x 1 F m a A Mx Mx dx 2 a 2qax 3 qx3 dx 4 qa 4 qa 11qa4 0 EI F 0 2EI 3EI 8EI 24EI a A Mx Mx dx 2 a 2qax qx dx 3 qa

6、 3 qa 3 2qa3 0 EI m 0 2 EI 2EI 6EI 3EI EI。试求 已知抗弯刚度为 EI。试求 q qa 简支梁 解：RA AB 受力如图所示，RB Mx RB x m M e x，其中 m l Mx 1 xl EI mx dx lM 0 lx x 2 M 2 dx EIl 2 2 EI Mel 3EI B 端的转角。Mel 6EI 11.8 图示结构中，折杆 ABE 的截面抗弯刚度为 EI（略去此 杆中的剪力和轴力对变形的影响），CD 杆抗拉刚度为 EA。试求截面 E 处的水平和铅垂位移。Me 变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简

7、支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲 1.5 11.9 线弹性圆截面小曲率杆及其受力情况如图所示，曲杆的抗

8、弯刚度为 EI。已知曲杆的直径为 d，其材料的弹性模量为 E，试求 C点的竖直位移和截面 B 的转角。解：M A 0，M FB 2R F R，FB 1F M B 2 2 R 1 M MB 0，M F R FA 2 R，FA 1F 2 2R M M FB R 1 1 cos FR 1 cos M 1 cos 1 FR 1 cos 2 2 2 1 M 1 M FAR 1 cos FR 1 cos 1 cos FR 1 cos 2 2 2 解：FN RC R 0.5F 1.5P 1.5 F，My Ry Fy，My MRy y，My 0 P M x1 2Ra Fa Px1 3Fa M x1 ，M x1

9、 2a 1 x1 R P1 M x2 2Ra Fa P a x2 R 0.5F 1.5P x 2 R 2a x2 F a 0.5 x2 P a 0.5x2 3Fa 1.5 Fx2 R FN P 2a x2 2a x2，M x2 a 0.5 x2 2a M y 0 EI Fy 2 dy 0 EI 8Fa 3 6Fa3 3EI EI My dy R a 6Fa 2 dx1 EI 12Fa3 a M x1 M x1 dx1 0 EI R 1 2 2a 6Fa2 6Fax 2 EI 4Fa3 12Fa3 EI EI EI M y M y 0 EI 2a dy 2a M x 2 M x2 0 EI 1.

10、5Fx22 2 dx2 3Fl dx2 FNl EA FN R 3Fl 38Fa3 2EA 3Fl 2EA 3EI 2EA a 3Fax1 dx1 0 EI 1 3Fa3 6 Fa3 2EI EI 2a a M x1 0 EI 3Fa2 3 Fax2 0.75Fx22 M x1 P dx1 2a M x 2 0 EI M x2 P dx2 FNl EA FN P EI 6Fa 3 2Fa3 9Fl EI EI 4EA 9Fl dx2 2 4EA 7Fa 3 9Fl 2EI 4 EA 变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁

11、的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲 1 R1 2 cos，1 cos 2 R1 F2 cos 1 1 cos 2 2M 0 EI 2 FR

12、3 1 cos 0 4EI 2M M Rd B Rd B 0 EI M 2 FR 2 1 cos2 d 4EI 2 2 FR 2 1 cos2 8EI FR 2 FR2 3 8 2M 0 EI F 2 FR3 1 cos 2 d 0 2EI Rd 2 FR3 1 0 FR3 EI 2M 0 EI 2 2 FR2 1 cos M Rd M 2 d 4EI 2 2 FR2 3 4cos cos 2 d 8EI cos 4EI 16EI 16EI 11.10 平面刚架，抗弯刚度为 解：FC F 2 P 2，F Bx F P 2 Mx x 2 2 2 F F P 22y My Mx x，Mx My M

13、y FR2 4EI 38 1 EI。求 A 点的铅垂和水平位移（不计轴力和剪力的影响）F 42y vA 2 0l8FExI2 dx A 0 8EI Fl3 12EI 11.11 图示刚架，各段的抗弯刚度均为 解：虚加力矩 m，如图，则 F1y x1 2F1l My m Fy，F1 M x1 F1 2Fl，x2 2F1l F2 x2 2F l My 0 EI 2l F1y dy 1 EI 2l 2 0 Fy 2dy 4Fl 2dx1 01 8Fl 4Fl3 4Fl 3 EI 3 2Py 4 0 8FEyI dx Fl3 12EI EI。不计轴力和剪力的影响，求截面 y，M x1 2l，1 m x

14、2 l M x1 0 EI l 4F 2Fl3，M x2 F1 M x1 F1 dx1 38Fl3 3EI M x 2 2l，2 m l M x2 M x2 0 EI F1 dx2 D 的水平位移和转角。变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹

15、性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲 2l M y M y dy m l M x1 M x1 0 EI 0 EI dx1 m lM x2 M x2 dx2 0 EI 2l EI 0 Fydy l 02Fldx1 l 2F l 0 x2 dx2 1 4Fl 2 EI 2Fl 2 2Fl2 Fl2 7Fl 2 EI 11.12 已知等截面小曲率曲杆的抗弯刚度为 的水平和铅垂位移。解：如图 EI，曲率半径为 R。若视 AB 杆为

16、刚性杆，试求曲杆 B 点 FR cos M u1 Mu2 R 1 cos R sin/2/2 M M u1 u1 Rd EI FR3 cos 1 cos d EI 32/2 FR cos cos d EI uB FR3 1 3 4 EI/2 M M u2 u 2 Rd EI FR3 cos sin d EI FR 3 4 3 4EI/2 FR3 2EI 11.13 由弯曲刚度为 EI 的薄钢条所构成的半径为 开口圆环，加多大的 开口间隙为 F 力。试问欲将此间隙闭合，解：如图 M1 0，Mu2 Rsin 变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度

17、为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲 EI 32/2 FR3 sin2 EI R3F 2EI 2EI R3 11.14

18、试求图示刚架在缺口 A 处由 F 引起的相邻截面的相对线位移。刚架各部分的 EI 相等。略去轴 力及剪力对变形的影响。解：如图 M y1 Fy1，M x1 Fh，M y3 2 F h h2 y3 M x2 Fh，2，M y2 Fy2 M y1 y，M x1 h，M y3 h y3 F 1 F，2F 2 M x2 h，M y2 y2 F，2 F 2 h/2 Fy12 EI 0a 4FEhI2 dx1 0 4EI 1 hF 0 2 h 2 y3 4EI dy3 a Fh 2 0 4EI dx2 h/2 0 Fy22 EI dy2 2 Fh3 2 Fh2a Fh3 24EI 4EI 4 EI 3 3

19、 2 Fh3 Fh3 Fh 2 h 3a 2EI 3EI 6 EI 11.15 图示桁架，每杆的抗拉刚度均为。试用虚功原理求 解：如图（1），则 2 FN1 2 F，FN 2 DB 杆的转角。FNu 4 故有 22F，FN4 F 2 如图（2），1，2a 对于图 BD FNu2，FNu 3 0，图 1 2a 2）所示的力系，F Nu 5 2F 对图 1 2a F 2EA 2 EA 5 F F l Ni Nui i 1 EA 2 1 F 2EA 1）所示的虚位移和虚变形做功，2 F 1 2a 2 2a 0 EA 根据虚功原理有 F a 0 2 2a EA F1 a 2 2a EA BD 2EA

20、2a 变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已

21、知等截面小曲 11.16 图示平面刚架，各杆的抗弯刚度均为 EI。试求刚架的支座反力。解：M x RC x F2 x 2l My RCl Fl Fy Mx My vl Mx Mx l M y M y C dx dy C C0 EI RC 0 EI R 1 0l RC x2 F x3 dx 0l RCl 2 Fl2 Fyl dy EI 0 2l 0 2 RCl3 Fl 3 RCl3 Fl 3 Fl3 4RCl3 9Fl 3 0 3EI 8EI EI 2EI 2EI 3EI 8EI l x，RC RC q=F/l 故有，RC F C 32 由平衡方程，可得 XA F，YA 5 F，M A 21Fl

22、 A 32 A 32 11.17 图示结构，横AB、CE 的抗弯刚度的轴力。解：如图 1 M x1 1 CE：M x1 FD x1 1 x1 2D F D 2 1 1 2 M x2 AB：M x2 FD x2 qx2 2 x2 2 FD 2 BD：F FD，FN 1 FD EI，竖杆 BD 的抗拉（压）刚度为 EA。试求竖杆 BD C D E v DD aM 2 0 EI x1 FDx12 dx1 2 0 4EI 33 FD a FDa 6EI 3EI 故，可得：FD M x2 M x2 FN a FN EA FD M x1 F 213 FDx2 2 qx2 EI FDa EA dx1 4 q

23、a4 8EI 3 qa3 4 a2 2 I A EI dx2 3 FDa 2EI FDa EA 4 qa4 8EI dx2 FDa EA q 11.18 图示结构，横梁 AB 的抗弯刚度为 的铅垂位移。解：CB：FN F，FN 1 EI，竖杆 BC 的抗拉（压）刚度为 变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的

24、剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲 AB：M x1 Fx1，M x1 x1；F 1 2 M x2 M x2 F x2 a qx2 x 2 a；2 F a v M x1 M x1 a M x2 M x2 Fa CC dx1 2 dx2 0 EI F 0 EI F2 EA 1 a2 a 2 12 Fa 8Fa3 7qa4 Fa 0 Fx1 dx1 F x2 a

25、 qx2 x2 a dx2 0 EI 0 0 2 2 2 EA 3EI 24EI EA 可得，F 7qa；故有，By Fa 7qa2 72 EA 72EA 11.19 一薄壁圆环，由 ACB 与 ADB 在 A、B 处铰接，两段的抗弯刚度分别是 EI。今欲使 C、D 两处的弯矩 MC MD，求 值。解：由对称性可知在对称截面，只有对称载荷，如图 a，FC 2M C 2M 3R 3R；考虑曲杆 BD，由平衡方程，可知 FD 2M D R 2M R；F 进一 步，可得 M 3 3 FR，故 FC 1F，FD 3F。不 妨 令 M C M D M。考 虑 曲 杆 BC，由 平 衡 方 程，可 知 8

26、 4 4 y EI C R。O 。x 30。30。A B EI EI 和 F y C MC FC M1 1 F1R 1 cos 21 3 F1Rsin 21 1 FR 1 cos 8 3 FR sin 8 M1 1 3 1 R 1 cos Rsin F1 2 2 则 如图 b-d，B F 1=F/4 1 FR2 1 cos 2 3 FR2 sin 1 cos 3 FR2 sin2 16 8 16 116 FR2 3 2cos 2 3sin 2 3 sin cos cos 2(by u B1 23 M 1 0 EI M1 F1 Rd 1 3 1 FR2 1 cos EI 0 16 3 FR2 s

27、in B F1=F/4 cos 3 FR2 sin2 Rd 16 FR 3 2 3 3 2 cos 2 3 sin 16EI 0 2 3 sin cos cos 2 d FR3 16EI 2sin 2 3 cos 3 sin 2 sin 2 2(c)变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影

28、响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲FR3 2 3 3 3 3 3 3 FR3 4 3 3变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图

29、示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲 F2=3F/4 F2=3F/4 Ox F2=3F/4 B M2(e)(f)如图 e-g，2 F2R sin 3 FR 1 cos 8 3 3 FR sin 8 M 1 R 1 cos 2 3 R F2 2 cos 12F2R1 1 3 3 33 1 3 R sin 3 FR 1 c

30、os FR sin R 1 cos EI 0 8 8 2 2 2 cos cos2 cos 2 3 sin 3FR3 3FR3 3 2 sin 23 cos 3sin2 sin 2 3 16 EI 2 0 3FR3 33 3 33 3FR3 3 16 EI 4 4 16 EI 因为 uB1 FR3 4 33 u B2 3FR3 3，故 6 6 3 0.476 32EI 16 EI 4 3 3 2 3 sin 11.20 已知图示刚架中两杆的抗弯刚度均为 EI，试绘出此刚架的弯矩图。解：由于结构是反对称结构，故可简化为如图（a）所示的结构。2Fy，2 Fs y1，2 2 Fs 2a 故有 4Fs

31、a3 2Fsa3 3 Fsa3 3 Fsa3 2 2Fa 3 2Fa3 3EI EI EI 6EI 4EI 6EI 9Fsa3 2 2Fa 3 0 2EI 3EI 2EI 22 2a y2 2Fy2 2a y2 dy2 2 EI 2 变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试

32、求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲 可得：Fs 4272F 故有，Fx 23F，Fy 4 F，M 5 Fa x 27 y 27 9 弯矩图如图。11.21 试求图示刚架中的最大弯矩及其作用位置。已知各段的抗 弯刚度均为 EI。解：由于结构是反对称结构，故可简化为如图所示的结构。Mx Fsx M e，M x x s 2 Fs My Fsa M e，M y 2，Fs 故有 Fs a 2 Fs x

33、2 0 M x M x dx Fs 0 EI EI 2EI Mexdx a 2Fs a2 2EI Meady Fs 4Fsa3 dy 3M ea2 3EI 4EI 即有，Fs 9M e。16 a。Mx Me 9 x 8a 16a Me 16 Me 故中截面 C 的弯矩最大，其值为 M max Me。2 11.22 求图示静不定梁跨中截面的转角和挠度。已知梁的抗弯刚度为 EI，不计轴力的影响。F(a)解：(a)由于结构是反对称结构，(b)c 0；进一步，结构可简化为如图所示 Me/2 x Mx Fsx M e M x 2，Fs V a M x M x l2Fsx2 Mex Fsl3 Mel2 w

34、c dx s e dx e0 Fs 0 EI Fs 0 2EI 3EI 4EI 即有，Fs 3Me。4l 因为，M u x 1 故 aM x M u x l 2Fsx M e Fsl2 M el M el c u dx s e dx s e e 0 EI 0 2EI 2EI 2EI 8EI 故有 A C Fs A F/2 m 变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为

35、试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲b）由于是对称结构以及小变形假设，故可简化为如图所示的结构。Mx m，m 故有 11.23 小曲率圆环，轴线半径为 图所示。试求环内的最大弯矩。解：由于是对称结构，故可简化为如图所示 的结构。由平衡方程，可得 3F 3 进一步简化为如图结构。Mx 1 MD 故有 V

36、 MD 3 FR 2 3M 0 EI M D Rd 3 3FR2 1 cos RM D d 0 3EI d 9EI FR2 2EI RM D 0 9EI 0 因此，MD FR 0.3FR 3FR 1 3 3FR sin cos FR M max M D 9 3 FR 0.3FR Mx 即有，4m l 因为，Mu 故，wc lM x M u 0 EI l M x M x 0 EI dx m l Fx 2m dx 2EI 2 Fl 2 ml 0 4EI EI x dx l Fx 2 2mx dx 0 2EI Fl3 6EI ml2 2EI ml 2。6EI 3FR 1 cos FND R，受力如

37、M 变能为中解为刚性杆求的值已知拉杆和抗拉刚度均为杆长为杆内即联立可求得故图示简支梁的抗弯刚度为解不计剪力的影响求梁的应变能由对称性可得曲杆的直径为性应变能解曲率半径为弹性模量为已知求曲杆的弹图示外伸梁在集抗弯刚度为解试求截面的挠度和转角其中简支梁解受力如图所示已知抗弯刚度为试求端的转角其中图示结构中折杆的截面抗弯刚度为略去此杆中的剪力和轴力对变形的影响杆抗拉刚度为试求截面处的水平和铅垂位移解线弹性圆截面面的转角解平面刚架抗弯刚度为解求点的铅垂和水平位移不计轴力和剪力的影响图示刚架各段的抗弯刚解虚加力矩度均为如图则不计轴力和剪力的影响求截面的水平位移和转角曲率半径为若视杆为刚性杆试求曲杆点已知等截面小曲