高二数学椭圆试题中考_-.pdf

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1、高二数学椭圆试题 一：选择题 1.已知方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m的取值范围是（）A m 2 或 m 1 B m 2 C 1m 2 D m 2 或2m 1 解：椭圆的焦点在 x 轴上 m22+m，即 m22m 0 解得 m 2 或 m 1 又2+m 0 m 2 m的取值范围：m 2 或2m 1 故选 D 2.已知椭圆，长轴在 y 轴上、若焦距为 4，则 m等于（）A 4 B 5 C 7 D 8 解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然 m 210m，即 m 6，解得 m=8 故选 D 3椭圆（1m）x2my2=1 的长轴长是（）A B C D 解：由椭圆（1m）x2my2=1，化成标准

2、方程：由于，椭圆（1m）x2my2=1 的长轴长是 2a=2=故选 B 4已知点 F1、F2分别是椭圆+=1（k1）的左、右焦点，弦 AB过点 F1，若ABF2的周长为 8，则椭圆的离心率为（）A B C D 解：由椭圆定义有 4a=8 a=2，所以 k+2=a2=4 k=2 从而 b2=k+1=3，c2=a2b2=1，所以，故选 A 5已知ABC的周长为 20，且顶点 B（0，4），C（0，4），则顶点 A的轨迹方程是（）A（x0）B（x0）C（x0）D（x0）解：ABC的周长为 20，顶点 B（0，4），C（0，4），BC=8，AB+AC=20 8=12，128 点 A到两个定点的距离之和

3、等于定值，点 A的轨迹是椭圆，a=6，c=4 b2=20，椭圆的方程是 故选 B 6方程=10，化简的结果是（）A B C D 解：根据两点间的距离公式可得：表示点 P（x，y）与点 F1（2，0）的距离，表示点 P（x，y）与点 F2（2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2 10，所以由椭圆的定义可得：点 P的轨迹是椭圆，并且 a=5，c=2，所以 b2=21 所以椭圆的方程为：故选 D 7设 是三角形的一个内角，且，则方程 x2sin y2cos=1 表示的曲线是（）A 焦点在 x 轴上的双曲线 B 焦点在 x 轴上的椭圆 C 焦点在 y 轴上的

4、双曲线 D 焦点在 y 轴上的椭圆 解：因为（0，），且 sin+cos=，所以，（，），且|sin|cos|，所以（，），从而 cos 0，从而 x2sin y2cos=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 故选 D 8.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C D 解：设点 P在 x 轴上方，坐标为，F1PF2为等腰直角三角形|PF2|=|F1F2|，即，即 故椭圆的离心率 e=故选 D 9.从椭圆上一点 P向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B是椭圆与 y 轴正半

5、轴的交点，且 ABOP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A B C D 解：依题意，设 P（c，y0）（y00），则+=1，y0=，P（c，），又 A（a，0），B（0，b），ABOP，kAB=kOP，即=，的取值范围或故选已知椭圆长轴在轴上若焦距为则等于解将椭圆的方程转化为标准形式为显然即解得故选椭圆的长轴长是解由椭圆化成标准方程由于椭圆的长轴长是故选已知点分别是椭圆的左右焦点弦过点为则椭圆的离心率为若的距离之和等于定值点的轨迹是椭圆椭圆的方程是故选方程化简的结果是的距解根据两点间的距离公式可得表示点与点的距离表示点与点离所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆并且所以所

6、以椭圆的方程为故选轴上的椭圆为等解因为且所以且所以从而从而表示焦点在轴上的椭圆故选设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若腰直角三角形则椭圆的离心率是解设点在轴上方坐标为为等腰直角三角形即即故椭圆的离心率故选b=c 设该椭圆的离心率为 e，则 e2=，椭圆的离心率 e=故选 C 10.若点 O和点 F分别为椭圆的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A 2 B 3 C 6 D 8 解：由题意，F（1，0），设点 P（x0，y0），则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=2，因为2x02，所以当 x0=2 时，取得最大值，故选 C 11.如

7、图，点 F为椭圆=1（ab0）的一个焦点，若椭圆上存在一点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF相切于线段 PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A B C D 解：设线段 PF的中点为 M，另一个焦点 F，由题意知，OM=b，又 OM是FPF的中位线，OM=PF=b，PF=2b，由椭圆的定义知 PF=2a PF=2a2b，又 MF=PF=（2a2b）=ab，又 OF=c，直角三角形 OMF 中，由勾股定理得：（ab）2+b2=c2，又 a2b2=c2，可求得离心率 e=，故答案选 B 12椭圆顶点 A（a，0），B（0，b），若右焦点 F到直线 AB的距离等于，则椭圆的离心率 e=（）A B

8、 C D 解：由题意可得直线 AB的方程为即 bx+ayab=0，F（c，0）F（c，0）到直线 AB的距离 d=，|AF|=a c 则 a2=3b2 a2=3a23c2 即 3c2=2a2=故选 B 13已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点为 F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1|PF2|的最大值的取值范围是2c2，3c2，其中 c=则椭圆的离心率的取值范围为（）A ，B ，1）C ，1）D ，解：|PF1|PF2|的最大值=a2，由题意知 2c2a23c2，的取值范围或故选已知椭圆长轴在轴上若焦距为则等于解将椭圆的方程转化为标准形式为显然即解得故选椭圆的长轴长是解由椭圆化成标准方程由于

9、椭圆的长轴长是故选已知点分别是椭圆的左右焦点弦过点为则椭圆的离心率为若的距离之和等于定值点的轨迹是椭圆椭圆的方程是故选方程化简的结果是的距解根据两点间的距离公式可得表示点与点的距离表示点与点离所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆并且所以所以椭圆的方程为故选轴上的椭圆为等解因为且所以且所以从而从而表示焦点在轴上的椭圆故选设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若腰直角三角形则椭圆的离心率是解设点在轴上方坐标为为等腰直角三角形即即故椭圆的离心率故选，故椭圆 m的离心率 e 的取值范围 故选 A 14在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭

10、圆离心率的取值范围是（）A B C D 解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，根据椭圆的几何性质，|PF2|a c，故，即 a3c，故，即，又 e1，故该椭圆离心率的取值范围是 故选 B 二：填空题 15.已知 F1、F2是椭圆 C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆 C上一点，且若PF1F2的面积为 9，则 b=3 解：由题意知PF1F2的面积=，b=3，故答案为 3 16若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是 4k7 解：+=1表示焦点在 y 轴上的椭圆，k17k0 4k7 故 k 的取值范围是 4k7 故答案为：4k7 17.已知椭

11、圆的焦距为 2，则实数 t=2，3，6 解：当 t25t 0 即 t 5 时，a2=t2，b2=5t 此时 c2=t25t=6 解可得，t=6 或 t=1（舍）当 0t25t 即 0t 5 时，a2=5t，b2=t2 此时 c2=a2b2=5tt2=6 解可得，t=2 或 t=3 综上可得，t=2 或 t=3 或 t=6 故答案为：2，3，6 18.在平面直角坐标系 xOy中，已知ABC顶点 A（4，0）和 C（4，0），顶点 B在椭圆上，则=解：利用椭圆定义得 a+c=25=10b=24=8 由正弦定理得=故答案为 19.在平面直角坐标系 xOy中，椭圆的焦距为 2c，以 O为圆心，a 为半

12、径作圆 M，若过作圆 M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 的取值范围或故选已知椭圆长轴在轴上若焦距为则等于解将椭圆的方程转化为标准形式为显然即解得故选椭圆的长轴长是解由椭圆化成标准方程由于椭圆的长轴长是故选已知点分别是椭圆的左右焦点弦过点为则椭圆的离心率为若的距离之和等于定值点的轨迹是椭圆椭圆的方程是故选方程化简的结果是的距解根据两点间的距离公式可得表示点与点的距离表示点与点离所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆并且所以所以椭圆的方程为故选轴上的椭圆为等解因为且所以且所以从而从而表示焦点在轴上的椭圆故选设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若腰直角三角形则椭圆

13、的离心率是解设点在轴上方坐标为为等腰直角三角形即即故椭圆的离心率故选 解：设切线 PA、PB互相垂直，又半径 OA垂直于 PA，所以OAP是等腰直角三角形，故，解得，故答案为 20.若椭圆的焦点在 x 轴上，过点（1，）做圆 x2+y2=1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是 解：设切点坐标为（m，n）则 即 m2+n2=1 m 即 AB的直线方程为 2x+y2=0 线 AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 2c2=0；b2=0 解得 c=1，b=2 所以 a2=5 故椭圆方程为 故答案为 三：解答题 21.已知 F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭

14、圆上一点（1）求|PF1|PF2|的最大值；（2）若F1PF2=60且F1PF2的面积为，求 b 的值 解：（1）P点在椭圆上，|PF1|+|PF2|=|2a=20，|PF1|0，|PF2|0，|PF1|PF2|=100，|PF1|PF2|有最大值 100（2）a=10，|F1F2|=2c 设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20，在F1PF2中，F1PF2=60，所以根据余弦定理可得：t12+t222t1t2cos60=4c2，由2得 3t1t2=4004c2，所以由正弦定理可得：=所以 c=6，b=8 22.如图，F1、F2分别是椭圆 C：（ab0）的左

15、、右焦点，A是椭圆 C的顶点，B是直线 AF2与椭圆 C的另一个交点，F1AF2=60（）求椭圆 C的离心率；（）已知AF1B的面积为 40，求 a，b 的值 解：（）F1AF2=60a=2ce=的取值范围或故选已知椭圆长轴在轴上若焦距为则等于解将椭圆的方程转化为标准形式为显然即解得故选椭圆的长轴长是解由椭圆化成标准方程由于椭圆的长轴长是故选已知点分别是椭圆的左右焦点弦过点为则椭圆的离心率为若的距离之和等于定值点的轨迹是椭圆椭圆的方程是故选方程化简的结果是的距解根据两点间的距离公式可得表示点与点的距离表示点与点离所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆并且所以所以椭圆的方程为故选

16、轴上的椭圆为等解因为且所以且所以从而从而表示焦点在轴上的椭圆故选设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若腰直角三角形则椭圆的离心率是解设点在轴上方坐标为为等腰直角三角形即即故椭圆的离心率故选（）设|BF2|=m，则|BF1|=2a m，在三角形 BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120 （2am）2=m2+a2+amm=AF1B面积 S=|BA|F1F2|sin60 =40 a=10，c=5，b=5 23.已知中心在坐标原点 O的椭圆 C经过点 A（2，3），且点 F（2，0）为其右焦点（1）求椭圆 C的方程；（2）是否存在平行于

17、OA的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C有公共点，且直线 OA与 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）依题意，可设椭圆 C的方程为（a0，b0），且可知左焦点为 F（2，0），从而有，解得 c=2，a=4，又 a2=b2+c2，所以 b2=12，故椭圆 C的方程为（2）假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y=x+t，由得 3x2+3tx+t212=0，因为直线 l 与椭圆有公共点，所以有=（3t）243（t212）0，解得4t4，另一方面，由直线 OA与 l 的距离 4=，从而 t=2，由于2 4，4，所以符合题意的直线 l 不存在 24.设 F1

18、，F2分别是椭圆的左、右焦点，过 F1斜率为 1 的直线 与 E相交于 A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求 E的离心率；（2）设点 P（0，1）满足|PA|=|PB|，求 E的方程 解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又 2|AB|=|AF2|+|BF2|，得 l 的方程为 y=x+c，其中 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A、B两点坐标满足方程组 化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）=0 则 因为直线 AB斜率为 1，得，故 a2=2b2 所以 E的离心率（II）设 AB的中点为 N（x0，y0），由（I）

19、知，由|PA|=|PB|，得 kPN=1，即 得 c=3，从而 故椭圆 E的方程为 25.设椭圆的左焦点为 F，离心率为，过点 F且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设 A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点 F且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D两点 若，求 k 的值 解：（I）根据椭圆方程为 的取值范围或故选已知椭圆长轴在轴上若焦距为则等于解将椭圆的方程转化为标准形式为显然即解得故选椭圆的长轴长是解由椭圆化成标准方程由于椭圆的长轴长是故选已知点分别是椭圆的左右焦点弦过点为则椭圆的离心率为若的距离之和等于定值点的轨迹是椭圆椭圆的方程是故选方程化简的结果是的距解根据两

20、点间的距离公式可得表示点与点的距离表示点与点离所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆并且所以所以椭圆的方程为故选轴上的椭圆为等解因为且所以且所以从而从而表示焦点在轴上的椭圆故选设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若腰直角三角形则椭圆的离心率是解设点在轴上方坐标为为等腰直角三角形即即故椭圆的离心率故选过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，=，离心率为，=，解得 b=，c=1，a=椭圆的方程为；（II）直线 CD：y=k（x+1），设 C（x1，y1），D（x2，y2），由消去 y 得，（2+3k2）x2+6kx+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又 A

21、（，0），B（，0），=（x1，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1）=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2，=6+=8，解得 k=26.设椭圆 E：，O为坐标原点（）求椭圆 E的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒在两个交点 A，B且？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由 解：（1）因为椭圆 E：（a，b0）过 M（2，），N（，1）两点，所以解得 所以椭圆 E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A，B，且，设该圆的切线方程为 y=kx+m解方程组 得 x2+

22、2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，则=16k2m24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，即 8k2m2+40，要使，需使 x1x2+y1y2=0，即，所以 3m28k28=0，所以又 8k2m2+40，所以，所以，即或，因为直线 y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，所求的圆为，此时圆的切线 y=kx+m都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A，B，且 因为，所以，=，的取值范围或故选已知椭圆长轴在轴上若焦距为则等于解将椭圆的方程

23、转化为标准形式为显然即解得故选椭圆的长轴长是解由椭圆化成标准方程由于椭圆的长轴长是故选已知点分别是椭圆的左右焦点弦过点为则椭圆的离心率为若的距离之和等于定值点的轨迹是椭圆椭圆的方程是故选方程化简的结果是的距解根据两点间的距离公式可得表示点与点的距离表示点与点离所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆并且所以所以椭圆的方程为故选轴上的椭圆为等解因为且所以且所以从而从而表示焦点在轴上的椭圆故选设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若腰直角三角形则椭圆的离心率是解设点在轴上方坐标为为等腰直角三角形即即故椭圆的离心率故选当 k0 时 因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”2

24、当 k=0 时，27.已知直线 x2y+2=0 经过椭圆的左顶点 A和上顶点 D，椭圆 C的右顶点为 B，点 S 是椭圆C上位于 x 轴上方的动点，直线 AS，BS与直线分别交于 M，N两点（1）求椭圆 C的方程；（2）求线段 MN的长度的最小值；（3）当线段 MN的长度最小时，在椭圆 C上是否存在这样的点 T，使得TSB的面积为？若存在，确定点 T的个数，若不存在，说明理由 解：（1）由已知得，椭圆 C的左顶点为 A（2，0），上顶点为 D（0，1），a=2，b=1 故椭圆 C的方程为（4 分）（2）依题意，直线 AS的斜率 k 存在，且 k0，故可设直线 AS的方程为 y=k（x+2），从

25、而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0 设 S（x1，y1），则得，从而 即，（6 分）又 B（2，0）由得，（8 分）故 又 k0，当且仅当，即时等号成立 时，线段 MN的长度取最小值（10 分）（2）另解：设 S（xs，yS），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由 kAM=kAS，可得同理可得：又 所以，=不仿设 yM0，yN0 当且仅当 yM=yN时取等号，即时，线段 MN的长度取最小值 （3）由（2）可知，当 MN取最小值时，此时 BS的方程为，（11 分）要使椭圆 C上存在点 T，使得TSB的面积等于，只须 T到直线 BS的距离等于，所以 T在平行于 B

26、S且与 BS距离等于的直线 l 上 设直线 l：x+y+t=0，则由，解得或 又因为 T为直线 l 与椭圆 C的交点，所以经检验得，此时点 T有两个满足条件（14分）的取值范围或故选已知椭圆长轴在轴上若焦距为则等于解将椭圆的方程转化为标准形式为显然即解得故选椭圆的长轴长是解由椭圆化成标准方程由于椭圆的长轴长是故选已知点分别是椭圆的左右焦点弦过点为则椭圆的离心率为若的距离之和等于定值点的轨迹是椭圆椭圆的方程是故选方程化简的结果是的距解根据两点间的距离公式可得表示点与点的距离表示点与点离所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆并且所以所以椭圆的方程为故选轴上的椭圆为等解因为且所以且所

27、以从而从而表示焦点在轴上的椭圆故选设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若腰直角三角形则椭圆的离心率是解设点在轴上方坐标为为等腰直角三角形即即故椭圆的离心率故选 的取值范围或故选已知椭圆长轴在轴上若焦距为则等于解将椭圆的方程转化为标准形式为显然即解得故选椭圆的长轴长是解由椭圆化成标准方程由于椭圆的长轴长是故选已知点分别是椭圆的左右焦点弦过点为则椭圆的离心率为若的距离之和等于定值点的轨迹是椭圆椭圆的方程是故选方程化简的结果是的距解根据两点间的距离公式可得表示点与点的距离表示点与点离所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆并且所以所以椭圆的方程为故选轴上的椭圆为等解因为且所以且所以从而从而表示焦点在轴上的椭圆故选设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若腰直角三角形则椭圆的离心率是解设点在轴上方坐标为为等腰直角三角形即即故椭圆的离心率故选