有理数的乘方及混合运算知识讲解中学学案_-中学学案.pdf

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1、有理数的乘方及混合运算(提高)学习目标】1 理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算?【要点梳理】要点一、有理数的乘方 定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕(power).指数 即有：a-a-a=an.在 an中，a 叫做底数，n 叫做指数.n 个 I 底数 要点诠释：(1)乘方与幕不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幕是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方?例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写.要点二、乘

2、方运算的符号法则(1)正数的任何次幕都是正数；(2)负数的奇次幕是负 数，负数的偶次幕是正数；(3)0 的任何正整数次幕都是 0;(4)任何一个数的偶次幕都是非负数，即.j 要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幕的符号，然后再计 算幕的 绝对值.(2)任何数的偶次幕都是非负数.【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数的混合运算】要点三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高

3、级到低级 进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二 级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；(2)在含有多 重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的 顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.【典型例题】类型一、有理数的乘方 仇计算:(1)34；-34；(-3)4；-(-3)-；(2)3；2(、-3 3)2)3；(-2)3 3 3 3 3 答案与解析】由乘方的定义可得:(1)3 4=3X 3x 3X 3=81;-43=-(3x 3x 3x 3)=-81;(_3)4=(一 3)(-3)(-3)(-3)=81;_(_3)4-_(一 3)(-3)(-3)(一 3)

4、-81 2、8.3 27；(-2)3 _(-2)(-2)(-2)-8 3 _ _ 3【总结升华】注意(-a)n与-an的意义的区别.(-a)2n(n 为正整数).举一反三:【变式 1】比较(-5)3与-53的异同.【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5 的 3 次方，即(-5)X(-5)X(-5)=-125，而-53表示 5 的 3 次方的相 反数，即-53=-(5X 5X 5).因此，它们的底数不同，表示的意义不同.【变式 2】(2015?杭州模拟)若 n为正整数，(-1)2n=()A.1 B.-1 C.2n D.不确定【答案】A.因为 n为正整数，2n 一定是

5、偶数，所以(-1)2n=1.24，5严，5-(-2)2010 答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得:(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009 运算的结果是负 运算的结果是正;-(-2)2010 运算的结果是负.【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0,指数不 为 0 时，结果是 0;当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇 结果为负.23 3 2 2 2 8 2 3 2 2 2 二 ；(3)弋)(3(3 8 27 2n 2n-1 2n-1 a(n 为正整数)，(-a)二-a，判断下列各运算结果的符

6、号.i5 类型二、乘方运算的符号法则 运算进一步掌握有理数的混合运算要点梳理要点一有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幕指数即有在中叫做底数叫做指数个底数要点诠释乘方与幕不同乘方是几个相同因数的乘法运算幕是乘方运算的就是指数通常省略不写要点二乘方运算的符号法则数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数负数的奇次幕是负数负的任何正整数次幕都是任何一个数的偶次幕都是非负数即要点诠释有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样的混合运算要点三有理数的混合运算有理数混合运算的顺序先乘方再乘除最后加减同级运算从左到右进行如有括号先做括号内的运算小括号中括号大括号依次进行要点诠释有理数运

7、算分三级并且从高级到低级进行运算加减法是第一 举一反三:n-|4 n【变式】当 n 为奇数时,(-)4【答案】0 类型三、有理数的混合运算 3?计算：(1)(2)-(-3)2+(-2)3十(-3)-(-5)73-6X(-7)2-(-1)10-(-21 4-24+21 4)(3)(4)(1y 1 1 3)-II-2 1+11+2 -13 丿1 2丿 1 4 3 4 3 24-答案与解析】(1)-(-3)2+(-2)3r(-3)-(-5)=-9+(-8)-(-3+5)=-9+(-8)2=-9+(-4)=-13(2)73-6 X(-7)2-(-1)10-(-21 4-24+21 4)=(7X 72-

8、6X 72-1)-(-21 4+21 4-24)=72X(7-6)-1-(-24)=(49-1)-(-24)=-2(1、3(12)1丿1+2疋 1 3(42)(3)有绝对值的 112 原式二一丄 1$-(2-2)8 2 3(4)将带分数化为假分数，先去掉绝对值，然后再按混合运算 2 1 1 丄 一 1 二一丄 1 3 8 3 小数化为分数后再进行运算 11 24 4 2 4 3 丄，(-5)气 45 24 16 2 4 3 4 1 2 5 7 24 24 125 16 5 2 3 1 39 60 56 125=12 0-1 2 1.2 11 4 2 4 213(一 0.2)24-(J【总结升华

9、】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前 提.运算进一步掌握有理数的混合运算要点梳理要点一有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幕指数即有在中叫做底数叫做指数个底数要点诠释乘方与幕不同乘方是几个相同因数的乘法运算幕是乘方运算的就是指数通常省略不写要点二乘方运算的符号法则数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数负数的奇次幕是负数负的任何正整数次幕都是任何一个数的偶次幕都是非负数即要点诠释有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样的混合运算要点三有理数的混合运算有理数混合运算的顺序先乘方再乘除最后加减同级运算从左到右进行如有括号先做括号内的运算小括号中括号

10、大括号依次进行要点诠释有理数运算分三级并且从高级到低级进行运算加减法是第一 运算进一步掌握有理数的混合运算要点梳理要点一有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幕指数即有在中叫做底数叫做指数个底数要点诠释乘方与幕不同乘方是几个相同因数的乘法运算幕是乘方运算的就是指数通常省略不写要点二乘方运算的符号法则数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数负数的奇次幕是负数负的任何正整数次幕都是任何一个数的偶次幕都是非负数即要点诠释有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样的混合运算要点三有理数的混合运算有理数混合运算的顺序先乘方再乘除最后加减同级运算从左到右进行如有括号先做括号内的运算小括

11、号中括号大括号依次进行要点诠释有理数运算分三级并且从高级到低级进行运算加减法是第一 举一反三:高清课堂：有理数的乘方及混合运 356849 典型例题 1】运算进一步掌握有理数的混合运算要点梳理要点一有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幕指数即有在中叫做底数叫做指数个底数要点诠释乘方与幕不同乘方是几个相同因数的乘法运算幕是乘方运算的就是指数通常省略不写要点二乘方运算的符号法则数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数负数的奇次幕是负数负的任何正整数次幕都是任何一个数的偶次幕都是非负数即要点诠释有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样的混合运算要点三有理数的混合运算有理数混合

12、运算的顺序先乘方再乘除最后加减同级运算从左到右进行如有括号先做括号内的运算小括号中括号大括号依次进行要点诠释有理数运算分三级并且从高级到低级进行运算加减法是第一 (2)-1(3)(1 4-1 X 2 6-1 1+-2.75)3 8-3 3 X(-24)+(-1)2011 2(4)(H-23-31【答案】（1）原 式(5=1 1 卜(_7)=-X J1 6 八1 6 1)(2-9-7 7=-6 4.计 或原式=(1-1+2 1(2)原式=-1-X、原/6式4=-1H(+)4X(-24)-12-27 3 8 1+|-8-3|1 原式=-0.001 0.04=-1000-25+11=-1014)二一

13、 X-7(-2)2011-2 2012 算：答案与解 2011-22012 总结升华】举一反三:6 35 8=-3=2-13-+6-X6-299=22二-字 逆用分配律可得:_22011.2012 _ 2011(_1 2)_1 2 2011 22011 灵活运用运算律，简化运算.另外有 22n勺-22n=22n；22n _22n 22n，变式 1】计算：220-尹-218-217-2 花-24-23-22-2 答案】原式=219-218-217-2 花-24-23-22-2=218-217-2 花-24-23-22-2-2=2 4 7(-J 3 3 答案】(-3)7(_土)7=(_3(4)7=

14、1 4 3 4 3 变式 2】计算：(-)7 4 3 7 4 7 运算进一步掌握有理数的混合运算要点梳理要点一有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幕指数即有在中叫做底数叫做指数个底数要点诠释乘方与幕不同乘方是几个相同因数的乘法运算幕是乘方运算的就是指数通常省略不写要点二乘方运算的符号法则数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数负数的奇次幕是负数负的任何正整数次幕都是任何一个数的偶次幕都是非负数即要点诠释有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样的混合运算要点三有理数的混合运算有理数混合运算的顺序先乘方再乘除最后加减同级运算从左到右进行如有括号先做括号内的运算小括号中括号大

15、括号依次进行要点诠释有理数运算分三级并且从高级到低级进行运算加减法是第一类型四、探索规律运算进一步掌握有理数的混合运算要点梳理要点一有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幕指数即有在中叫做底数叫做指数个底数要点诠释乘方与幕不同乘方是几个相同因数的乘法运算幕是乘方运算的就是指数通常省略不写要点二乘方运算的符号法则数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数负数的奇次幕是负数负的任何正整数次幕都是任何一个数的偶次幕都是非负数即要点诠释有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样的混合运算要点三有理数的混合运算有理数混合运算的顺序先乘方再乘除最后加减同级运算从左到右进行如有括号先做括号

16、内的运算小括号中括号大括号依次进行要点诠释有理数运算分三级并且从高级到低级进行运算加减法是第一Os.(2015?滕州市校级二莫)求 1+2+2 2+23+?+22013 的值，可令 S=1+2+2 2+23+?+22013,则 2S=2+2 2+23+?+22014，因此 2S-S=2 2014-1.仿照以上推理，计算出 2 3 2014_ 1+5+5+5+-+5 評 15 _ 1【答案】二 4 2 3 2014 解：设 S=1+5+5+5+?+5,则 5S=5+5 2+53+-+5 2015 ,2 3 2015、/彳匕=2 3 2014、=2015.5S-S=(5+5+5+-+5 )-(1+

17、5+5+5+-+5)=5-1 評 15 _ 1 所以，S=1.4【总结升华】根据题目信息，设 S=1+5+5 2+53+-+5 2014,表示出 5S=5+5 2+53+?+5201 l然后 相减求出 S 即可.举一反三：【变式】观察下面三行数：-3,9,-27,81,-243,729,0,12,-24,84,-240,732,-1,3,-9,27,-81,243,(1)第行数按什么规律排列？(2)第行数与第行数分别有什么关系？(3)取每行数的第 10 个数，计算这三个数的和.【答案】(1)第行数的规律是：-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,;(2)第行数是第行数相应的数加 3,即：-3

18、+3,(-3)2+3,(-3)3+3,(-3)4+3,;第 11111 行数是第行数相应的数的，即-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,；3 3 3 3 3(-3)10 3(-3)10 丄=59049+59052+19683=(3)每行数中的第 10 个数的和是：(-3)10 运算进一步掌握有理数的混合运算要点梳理要点一有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幕指数即有在中叫做底数叫做指数个底数要点诠释乘方与幕不同乘方是几个相同因数的乘法运算幕是乘方运算的就是指数通常省略不写要点二乘方运算的符号法则数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数负数的奇次幕是负数负的任何正整数次

19、幕都是任何一个数的偶次幕都是非负数即要点诠释有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样的混合运算要点三有理数的混合运算有理数混合运算的顺序先乘方再乘除最后加减同级运算从左到右进行如有括号先做括号内的运算小括号中括号大括号依次进行要点诠释有理数运算分三级并且从高级到低级进行运算加减法是第一137784.运算进一步掌握有理数的混合运算要点梳理要点一有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幕指数即有在中叫做底数叫做指数个底数要点诠释乘方与幕不同乘方是几个相同因数的乘法运算幕是乘方运算的就是指数通常省略不写要点二乘方运算的符号法则数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数负数的奇次幕是负数负的任何正整数次幕都是任何一个数的偶次幕都是非负数即要点诠释有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样的混合运算要点三有理数的混合运算有理数混合运算的顺序先乘方再乘除最后加减同级运算从左到右进行如有括号先做括号内的运算小括号中括号大括号依次进行要点诠释有理数运算分三级并且从高级到低级进行运算加减法是第一