基本不等式与利用均值不等式求最值高考_-.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 基本不等式 一、知识回顾 1.几个重要不等式（1）0,0|,2aaRa则若（2）2222,2(2|2)abRababababab若、则或（当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么.2abab（当仅当 a=b 时取等号）最值定理：若,x yRxyS xyP 则：1 如果 P 是定值,那么当 x=y 时，S 的值最小；2 如果 S 是定值,那么当 x=y 时，P 的值最大.注意：1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；3均值不等式具有放缩功能，如果有多处

2、用到，请注意每处取等的条件是否一致。0,2baabab(5)若则（当仅当 a=b 时取等号）2.几个著名不等式 （1）平均不等式：如果 a,b 都是正数，那么 222.1122abababab（当仅当 a=b 时取等号）（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有 12121212()()()()()()2222xxf xf xxxf xf xff或 则称 f(x)为凸（或凹）函数.二、课前预习 1、（05 福建卷）下列结论正确的是_.A当101,lg2lgxxxx且时 B10,2xxx当时 Cxxx1,2 时当的

3、最小值为 2 D当xxx1,20时无最大值 2、下列函数中，最小值为 22的是_.Axxy2 B)0(sin2sinxxxy Cxxeey2 D2log2log2xxy 3、若,210a则下列不等式中正确的是 _.学习好资料 欢迎下载 Alog(1)1aa Bxxa)21(C)1cos()1cos(aa Dnnaa)1(4、若实数a、b 满足的最小值是则baba22,2_.5、函数11122xxy的值域为 6、已知 x0，y0 且 x+y=5，则 lgx+lgy 的最大值是 7、若正数,a b满足3abab ，则ab的取值范围是_.三、例题分析 例 1、(1)已知 x0，y0 且 x+2y=1

4、，求 xy 的最大值，及 xy 取最大值时的 x、y 的值 (2)x、y、a、bR+，a、b 为常数，且1ybxa，求 x+y 的最小值.例 2(1)利用基本不等式求22xxy的最值？当 0 x0、b0、a2+b21 且 ab 则、的大小顺序为_.A)B)C)D)4、知 x、yR，则使yxtyx恒成立的实数t的取值范围是_.5、已知0,0 ba且1222ba，求21ba的最大值_.6、设实数x,y,m,n满足条件122 nm，922yx，求nymx 的最大值。7x0，当 x=_地，y=42xx3的最小值_.80 xb0 则bbaa)(1的最小值_.11已知 x2+y2=1，求(1xy)(1+x

5、y)的最值。12将一块边长为 42cm 的正方形铁皮剪去四个角（四个全等的小正方形）做成一个无盖铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为_cm.13某工厂生产机器产品第二年比第一年增长的百分率 P1，第三年比第二年增长的百分率为 P2，第四年比第三年增长的百分率为 P3，设年平均增长率为 P，且 P1+P2+P3为定值，则 P 的最大值为_.14、某公司租地建仓库，每月士地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费 y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 公里处建仓库，这这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_

6、.15、一批救灾物资随17 列火车以 v 千米/小时的速度匀速直达 400 千米处的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于2)20(v千米，问这批物资全部运到灾区最少需要 _小时.16求半径为 R 的球的内接圆柱的体积的最大值，且求出圆柱体积最大时的底面半径.利用均值不等式求最值的九种技巧 利用均值（基本）不等式求最值是历年高考的热点内容之一.利用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备.下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧，供同学们参考.一、添、减项（配常数项）例 1 求函数 y=3x2+

7、162+x2 的最小值.分析 3x2+162+x2 是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而 12+x2 可与 x2+2相约，即其积为定积 1，因此可以先添、减项 6，即 y=3x2+6+162+x2-6，再用均值不等式.解 x2+20,y=3x2+162+x2=3(x2+2)+162+x2-6 23(2+x2)162+x2-6=83-6,当且仅当 3(2+x2)=162+x2，即 x2=433-2时,等号成立.所以 y 的最小值是 83-6.时取等号最值定理若则如果是定值那么当时的值最小如果是定值那么当时的值最大注意前提一正二定三相等如果没有满足前提则应根据题目创设情境还要注意选择恰

8、当的公式和定积最大积定和最小可用来求最值均值不等式具有放缩数那么当仅当时取等号琴生不等式特例与凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义中任意两点有或则称为凸或凹函数二课前预习福建卷下列结论正确的是当且时时当时当的最小值为当时无最大值下列函数中最小值为的是若则足则的取值范围是三例题分析例已知且求的最大值及取最大值时的的值为常数且求的最小值例利用基本不等式求的最值当时如何求的最大值已知求函数的最小值例江苏卷设数列的前项和为已知且求数列的通项公式证明不等式对任何学习好资料 欢迎下载 评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.二、配系

9、数（乘、除项）例 2 已知 x0，y0，且满足 3x+2y=12，求 lgx+lgy 的最大值.分析 lgx+lgy=lg(x+y),xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式 x+y 是否定值，而已知是 3x 与 2y 的和为定值 12，故应先配系数，即将 xy 变形为 3x2y6，再用均值不等式.解 x,y0,lgx+lgy=lg(xy)=lg3x 2y6lg163x+2y22=lg161222=lg6，当且仅当 3x=2y，即 x=2，y=3 时，等号成立.所以 lgx+lgy 的最大值是 lg6.评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用 aba+b22来解决

10、.三、裂项 例 3 已知 x-1，求函数 y=(x+5)(x+2)x+1的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出(x+1)，借助于裂项解决问题.解 x+10,y=(x+1)+4(x+1)+1x+1 =(x+1)+4x+1+5 2(x+1)4x+1+5=9，当且仅当 x+1=4x+1，即 x=1 时，取等号.所以 ymin=9.四、取倒数 例 4 已知 0 x12，求函数 y=(x+1)2x(1-2x)的最小值.分析 分母是 x 与(1-2x)的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为（1+x）(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.时取等号最值定理若则如

11、果是定值那么当时的值最小如果是定值那么当时的值最大注意前提一正二定三相等如果没有满足前提则应根据题目创设情境还要注意选择恰当的公式和定积最大积定和最小可用来求最值均值不等式具有放缩数那么当仅当时取等号琴生不等式特例与凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义中任意两点有或则称为凸或凹函数二课前预习福建卷下列结论正确的是当且时时当时当的最小值为当时无最大值下列函数中最小值为的是若则足则的取值范围是三例题分析例已知且求的最大值及取最大值时的的值为常数且求的最小值例利用基本不等式求的最值当时如何求的最大值已知求函数的最小值例江苏卷设数列的前项和为已知且求数列的通项公式证明不等式对任何学习好资料 欢迎

12、下载 解 由 0 x12，得 1+x0，1-2x0.取倒数，得 1y=x(1-2x)(1+x)2=13 3x1+x1-2x1+x 133x1+x+1-2x1+x22=112，当且仅当 3x1+x=1-2x1+x，即 x=15 时，取等号.故 y 的最小值是 12.五、平方 例 5 已知 x0，y0，且 2x2+y23=8，求x6+2y2 的最大值.分析 条件式中的 x 与 y 都是平方式，而所求式中的 x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式x6+2y2 平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.解(x6+2y2)2=x2(6+2y2)=32x21+y23

13、32x2+1+y2322=3922，当且仅当 2x2=1+y23，即 x=32，y=422 时，等号成立.故 x6+2y2 的最大值是 923.评注 本题也可将 x 纳入根号内，即将所求式化为 x2(6+2y2)，先配系数，再运用均值不等式的变式.六、换元（整体思想）例 6 求函数 y=x+22x+5 的最大值.分析 可先令 x+2=t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.解 令 x+2=t，则 t0，x=t2-2，则 y=t2t2+1(t0).时取等号最值定理若则如果是定值那么当时的值最小如果是定值那么当时的值最大注意前提一正二定三相等如果没有满足前提则应根据题目创设情境还要

14、注意选择恰当的公式和定积最大积定和最小可用来求最值均值不等式具有放缩数那么当仅当时取等号琴生不等式特例与凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义中任意两点有或则称为凸或凹函数二课前预习福建卷下列结论正确的是当且时时当时当的最小值为当时无最大值下列函数中最小值为的是若则足则的取值范围是三例题分析例已知且求的最大值及取最大值时的的值为常数且求的最小值例利用基本不等式求的最值当时如何求的最大值已知求函数的最小值例江苏卷设数列的前项和为已知且求数列的通项公式证明不等式对任何学习好资料 欢迎下载 当 t=0 时，y=0；当 t0 时，y=12t+1t122t1t=24.当且仅当 2t=1t，即 t=2

15、2 时，取等号.所以 x=-32时，y 取最大值为 24.七、逆用条件 例 7 已知 1x+9y=1(x 0,y0),则 x+y 的最小值是.分析 直接利用均值不等式，只能求 xy 的最小值，而无法求 x+y 的最小值.这时可逆用条件，即由 1=1x+9y，得 x+y=(x+y)1x+9y，然后展开即可解决问题.解 由 x0，y0，1x+9y=1,得 x+y=(x+y)1x+9y=yx+9xy+102yx9xy+10=16，当且仅当 yx=9xy，即 x=4，y=12 时，等号成立.故 x+y 的最小值是 16.评注 若已知 x0，y0，x+y=1(或其他定值)，要求 1x+9y 的最大值，则

16、同样可运用此法.八、巧组合 例 8 若 a,b,c0 且 a(a+b+c)+bc=4-23,求 2a+b+c 的最小值.分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用 a+b2ab 来解决.换个思路，可考虑将 2a+b+c 重新组合，变成(a+b)+(a+c)，而（a+b）(b+c)等于定值 4-23，于是就可以利用均值不等式了.解 由 a,b,c0，知 2a+b+c=(a+b)+(a+c)2(a+b)(a+c)=2a2+ab+ac+bc=24-23=23-2，当且仅当 b=c,即 b=c=3-1-a时，等号成立.故 2a+b+c 的最小值为 23-2.九、消元 时取等号最值定理若则如果是定值

17、那么当时的值最小如果是定值那么当时的值最大注意前提一正二定三相等如果没有满足前提则应根据题目创设情境还要注意选择恰当的公式和定积最大积定和最小可用来求最值均值不等式具有放缩数那么当仅当时取等号琴生不等式特例与凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义中任意两点有或则称为凸或凹函数二课前预习福建卷下列结论正确的是当且时时当时当的最小值为当时无最大值下列函数中最小值为的是若则足则的取值范围是三例题分析例已知且求的最大值及取最大值时的的值为常数且求的最小值例利用基本不等式求的最值当时如何求的最大值已知求函数的最小值例江苏卷设数列的前项和为已知且求数列的通项公式证明不等式对任何学习好资料 欢迎下载 例

18、 9（2008 年江苏卷）设 x，y，z 为正实数，x-2y+3z=0，则 y2xz 的最小值是.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得 y=x+3z2，则可对 y2xz 进行消元，用 x，z表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.解 由 x,z0,y=x+3z2，可得 y2xz=x2+9z2+6xz4xz 6xz+6xz4xz=3，当且仅当 x=3z，即x=y,z=y3 时，取“=”.故 y2xz 的最小值为 3.巩 固 练 习 1.当 0 x2 时，f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x的最小值为.2.若 x,y 是正数，则 x+12y2+y+12x2 的最小值是.3

19、.已知对于 x,yR 且 xy,不等式 x+yax+y 恒成立，求实数 a 的最小值.4.如右图，要设计一张矩形广告，该广告要包含左右两个全等的矩形栏目（即右图中阴影部分），这两个栏目的面积之和为 18 000cm2，四周空白的宽度均为 10cm,中缝空白的宽度为 5cm,怎样确定该广告的高与宽的尺寸（单位：cm）,才能使该广告的面积最小？时取等号最值定理若则如果是定值那么当时的值最小如果是定值那么当时的值最大注意前提一正二定三相等如果没有满足前提则应根据题目创设情境还要注意选择恰当的公式和定积最大积定和最小可用来求最值均值不等式具有放缩数那么当仅当时取等号琴生不等式特例与凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义中任意两点有或则称为凸或凹函数二课前预习福建卷下列结论正确的是当且时时当时当的最小值为当时无最大值下列函数中最小值为的是若则足则的取值范围是三例题分析例已知且求的最大值及取最大值时的的值为常数且求的最小值例利用基本不等式求的最值当时如何求的最大值已知求函数的最小值例江苏卷设数列的前项和为已知且求数列的通项公式证明不等式对任何