三角函数与解三角形中的高考热点问题高考_-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 热点探究课(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题 命题解读 从近五年浙江卷高考试题来看，解答题第 1 题(全国卷 T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用 热点 1 三角函数的图象与性质(答题模板)要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三

2、角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换 (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)2 3sinx24 cosx24sin(x)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间0，上的最大值和最小值.【导学号：51062131】思路点拨(1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将 f(x)化为正弦型函数，然后求其周期(2)先利用平移变换求出 g(x)的解析式，再求其在给定区间上的最值 规范解答(1)f(x)2 3sinx24 cosx24sin(x)3

3、分 学习必备 欢迎下载 3cos xsin x2sinx3，5 分 于是 T212.6 分(2)由已知得 g(x)fx62sinx6.8 分 x 0，x66，76，sinx612，1，10 分 g(x)2sinx6 1,2.13 分 故函数 g(x)在区间0，上的最大值为 2，最小值为1.14 分 答题模板 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为：第一步(化简)：将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式 第二步(用辅助角公式)：构造f(x)a2b2sin xaa2b2cos xba2b2.第三步(求性质)：利用 f(x)a2b2sin(x)研究三角函数的性质 第四步(反思)：反

4、思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 温馨提示 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式 asin bcos a2b2 sin()其中tan ba，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2求 g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解 对点训练 1(2017 石家庄模拟)已知函数 f(x)Asin x Bcos x(A，B，是常数，0)的最小正周期为 2，并且当 x13时，f(x)max2.(1)求 f(x)的解析式；答题第题全国卷交替考查三角函数解三角形与数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角恒等变换与解三角形的

5、综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用倍角公式再利用诱导公式辅助角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最学习必备 欢迎下载(2)在闭区间214，234上是否存在 f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说

6、明理由 解(1)因为 f(x)A2B2sin(x )，由它的最小正周期为 2，知22，.2 分 又因为当 x13时，f(x)max2，知13 2k 2(k Z)，2k 6(k Z)，4分 所以 f(x)2sin x2k 62sin x6(k Z)故 f(x)的解析式为 f(x)2sin x6.6 分(2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令 x6k 2(k Z)，解得 xk13(k Z).9 分 由214k13234，解得5912k6512，11 分 又 k Z，知 k5，13 分 由此可知在闭区间214，234上存在 f(x)的对称轴，其方程为

7、x163.14 分 热点 2 解三角形 从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值 ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍(1)求sin Bsin C；(2)若 AD1，DC22，求 BD 和 AC 的长 答题第题全国卷交替考查三角函数解三角形与数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角恒等变换与解三角形的综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶

8、性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用倍角公式再利用诱导公式辅助角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最学习必备 欢迎下载 解(1)S ABD12AB ADsin BAD，S ADC12AC ADsin CAD.2 分 因为 S ABD2S ADC，BAD CAD，所以 AB2AC.由正弦定理，得sin Bsin CACAB12.

9、6 分(2)因为 S ABD S ADCBD DC，所以 BD 2.8 分 在 ABD 和 ADC 中，由余弦定理，知 AB2AD2BD22AD BDcos ADB，AC2AD2DC22AD DCcos ADC.12 分 故 AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)，知 AB2AC，所以 AC1.14 分 规律方法 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则

10、两个定理都有可能用到 对点训练 2 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知asin 2B 3bsin A.(1)求 B；(2)若 cos A13，求 sin C 的值 解(1)在 ABC 中，由asin Absin B，可得 asin Bbsin A2 分 又由 asin 2B 3bsin A，得 答题第题全国卷交替考查三角函数解三角形与数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角恒等变换与解三角形的综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等

11、都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用倍角公式再利用诱导公式辅助角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最学习必备 欢迎下载 2asin Bcos B 3bsin A 3asin B，所以 cos B32，得 B6.6 分(2)由 cos A13，可得 sin A2 23，则 sin Csin(AB)sin(AB)sinA6 32sin A12cos A2 616.14

12、分 热点 3 三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化 (2017 浙江高考冲刺卷(二)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 sin Acos A105，cos B2 55.(1)求角 C；(2)若ABC 的面积为 2，求 a 的值.【导学号：51062132】解(1)sin Acos A105，12sin Acos A25，2 分 2sin Acos A35，A为锐角 sin Acos A12sin

13、 Acos A2 105.3 分 由 sin Acos A105，sin Acos A2 105，得 sin A1010，cos A3 1010.答题第题全国卷交替考查三角函数解三角形与数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角恒等变换与解三角形的综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用倍角公式再利用诱导公式辅

14、助角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最学习必备 欢迎下载 cos B2 55，B 为锐角，sin B1cos2B55.则 cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B22，而 0C，C34.8 分(2)由正弦定理得basin Bsin A 2，则 b 2a.由(1)得 sin C22，ABC 的面积 S12absin C12a 2a2212a22，a2.14 分 规律方法 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、

15、余弦定理 2解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化 对点训练 3 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 tan 4A 2.(1)求sin 2Asin 2Acos2A的值；(2)若 B4，a3，求ABC 的面积 解(1)由 tan4A 2，得 tan A13，所以sin 2Asin 2Acos2A2tan A2tan A125.5 分(2)由 tan A13，A(0，)，得 sin A1010，cos A3 1010.8 分 答题第题全国卷交替考查三角函数解三角形与

16、数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角恒等变换与解三角形的综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用倍角公式再利用诱导公式辅助角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最学习必备 欢迎下载 由 a3，B4

17、及正弦定理asin Absin B，得 b3 5.11 分 由 sin Csin(AB)sinA4，得 sin C2 55.设ABC 的面积为 S，则 S12absin C9.14 分 热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题 1在ABC 中，AC6，cos B45，C4.(1)求 AB的长；(2)求 cosA6的值 解(1)因为 cos B45，0B，所以 sin B1cos2B145235.2 分 由正弦定理知ACsin BABsin C，所以 ABAC sin Csin B622355 2.6 分(2)在 ABC 中，ABC，所以 A(BC)，于是 cos Acos(BC)c

18、osB4 cos Bcos 4sin Bsin 4.9 分 又 cos B45，sin B35，故 cos A45223522210.12 分 答题第题全国卷交替考查三角函数解三角形与数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角恒等变换与解三角形的综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用倍角公式再利用诱导公式辅助

19、角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最学习必备 欢迎下载 因为 0A，所以 sin A1cos2A7 210.因此，cosA6cos Acos 6sin Asin 6 210327 210127 2 620.14 分 2设 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移3个单位，得到函数 yg(x)的图象，求 g6的值.【导学号：51

20、062133】解(1)f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2 2 3sin2x(12sin xcos x)3(1cos 2x)sin 2x1 sin 2x 3cos 2x 31 2sin2x3 31，4 分 由 2k 22x32k 2(k Z)，得 k 12xk 512(k Z)，所以f(x)的单调递增区间是k 12，k 512(kZ)或k 12，k 512 k Z.7 分(2)由(1)知 f(x)2sin2x3 31，9 分 把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y2sinx3 31 的图象，答题第题全国卷交替考查三角函数解三角

21、形与数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角恒等变换与解三角形的综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用倍角公式再利用诱导公式辅助角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最学习必备 欢迎下载 再把得到的

22、图象向左平移3个单位，得到 y2sin x 31 的图象，即 g(x)2sin x 31，所以 g62sin 6 31 3.14 分 3设 f(x)sin xcos xcos2x4.(1)求 f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 fA20，a1，求ABC 面积的最大值 解(1)由题意知 f(x)sin 2x21cos2x22 sin 2x21sin 2x2sin 2x12.2 分 由22k 2x22k，k Z，可得4k x4k，k Z；3 分 由22k 2x322k，k Z，可得4k x34k，k Z.6 分 所以 f(x)的单调递增区间是4

23、k，4k(k Z)，7 分 单调递减区间是4k，34k，(k Z)(2)由 fA2sin A120，得 sin A12，由题意知 A为锐角，所以 cos A32.9 分 答题第题全国卷交替考查三角函数解三角形与数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角恒等变换与解三角形的综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用

24、倍角公式再利用诱导公式辅助角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最学习必备 欢迎下载 由余弦定理 a2b2c22bccos A，可得 1 3bcb2c22bc，12 分 即 bc2 3，当且仅当 bc 时等号成立 因此12bcsin A2 34.所以 ABC 面积的最大值为2 34.14 分 4(2017 浙江名校交流卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知2abccos ACcos C.(1)求角 C 的大小；(2)若 c 3，求使ABC 周长最大时 a，b

25、 的值 解(1)2abccos ACcos C，2sin Asin Bsin Ccos ACcos C，2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos B0，2sin Acos Csin A0，4 分 又 sin A0，cos C12，C23.6 分(2)3sin 23asin Absin3A，a2sin A，b2sin3A，10 分 ABC 的周长 32sin A2sin3A 3sin A 3cos A 32sinA3，当 A6时，ABC 的周长最大，此时 ab1.14 分 答题第题全国卷交替考查三角函数解三角形与数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角

26、恒等变换与解三角形的综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用倍角公式再利用诱导公式辅助角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最学习必备 欢迎下载 答题第题全国卷交替考查三角函数解三角形与数列本专题的热点题型有一是三角函数的图象与性质二是解三角形三是三角恒等变换与解三角形的综合问题中档难度在解题过程中应挖掘题目的隐含条件注意公式的内在联系灵活地正用图象变换研究三角函数的单调性奇偶性周期性对称性求三角函数的单调区间最值等都应先进行三角恒等变换将其化为一个角的一三角函数求解这类问题要灵活利用两角和差公式倍角公式辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换本最小值导学号思路点拨先逆用倍角公式再利用诱导公式辅助角公式将化为正弦型函数然后求其周期先利用平移变换求出的解析式再求其在给定区间上的最值分规范解答学习必备欢迎下载分分于是由已知得分分分故函数在区间上的最