人教版七年级上册第三章一元一次方程知识要点梳理中考_-初中教育.pdf

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1、第三章 一元一次方程知识要点梳理 一.元一次方程及解的概念 1、一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a0)。2、方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解 注意：（1）一元一次方程必须满足的 3 个条件：只含有一个未知数；未知数的次数是 1 次；整式方程（2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等 二.方程变形解方程的重要依据 1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果

2、仍相等。即：如果，那么；(c 为一个数或一个式子)。等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。即：如果，那么；如果，那么 2、分数的基本的性质 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。即：（其中 m 0）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：=1.6，将其化为的形式：=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。三.解一元一次方程的一般步骤 1、解一元一次方程的基本思路 通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成 xa 的形式

3、。2、解一元一次方程的一般步骤是 变形名称 具体做法 变形依据 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式基本性质 2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质 1 合并同类项 把方程化成 axb(a 0)的形式 合并同类项法则 系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程 的解 x 等式基本性质 2 注意：(1)解方程时应注意：解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并

4、简化。去分母时，不要漏乘没有分母的项。去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“”号，括号内各项要改变符号。(2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况：移项时忘记改变符号；去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；3、理解方程 ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:(1)a 0 时，方程有唯一解；次数都是的方程叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是其中是未知数是已知数且方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解注意一元一次方程必须满足的个条件只含有一个未知数未知数的

5、次数是次整式方程叫做方程的同解原理等式的性质等式两边加或减同一个数或式子结果仍相等即如果那么为一个数或一个式子等式的性质等式两边乘同一个数或除以同一个不为的数结果仍相等即如果那么如果那么分数的基本的性质分数的分子分母同母中的小数化为整数如方程将其化为的形式方程的右边没有变化这要与去分母区别开三解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的基本思路通过对方程变形把含有未知数的项归到方程的一边把常数项归到方程的另一边最终把方程(2)a=0，b=0 时，方程有无数个解；(3)a=0，b0 时，方程无解。四.列一元一次方程解应用题的一般步骤 1、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，分析题中已知什么

6、，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系（2）设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程（4）解方程（5）检验，看方程的解是否符合题意（6）写出答案 2、解应用题的书写格式：设根据题意解这个方程答。(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母 x 表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含 x 的代数式表示。(2)解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。(3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。(4)

7、一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。重复利用同一个条件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。五.常见的一些等量关系 常见列方程解应用题的几种类型：类型 基本数量关系 等量关系(1)和、差、倍、分问题 较大量较小量多余量 总量倍数倍量 抓住关键性词语(2)等积变形问题 变形前后体积相等(3)行程问题 相遇问题 路程速度时间 甲走的路程乙走的路程两地距离 追及问题 同地不同时出发：前者走的路程次数都是的方程叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是其中是未知数是已知数且方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解注意一元一次方程必须满足的个条件只含有一个未

8、知数未知数的次数是次整式方程叫做方程的同解原理等式的性质等式两边加或减同一个数或式子结果仍相等即如果那么为一个数或一个式子等式的性质等式两边乘同一个数或除以同一个不为的数结果仍相等即如果那么如果那么分数的基本的性质分数的分子分母同母中的小数化为整数如方程将其化为的形式方程的右边没有变化这要与去分母区别开三解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的基本思路通过对方程变形把含有未知数的项归到方程的一边把常数项归到方程的另一边最终把方程追者走的路程 同时不同地出发：前者走的路程两地距离追者所走的路程 顺逆流问题 顺流速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度 顺流的距离逆流的距离(4)劳力调配问题

9、 从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(5)工程问题 工作总量工作效率工作时间 各部分工作量之和1(6)利润率问题 商品利润商品售价商品进价 商品利润率100 售价进价(1 利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(7)数字问题 设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为 a，b，则这个两位数可表示为 10ab 抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系(8)储蓄问题 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数(1 利息税率)(9)按比例分配问题 甲乙丙abc 全部数量各种成分的数量之和(设一份为 x)(10)日历中的问题 日历中每一

10、行上相邻两数，右边的数比左边的数大 1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大 7 日历中的数 a 的取值范围是 1a31，且都是正整数 六.整式、等式与方程的关系 1、正确理解代数式、等式和方程的概念 代数式：像1,0，a，2x5 等，这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子，叫次数都是的方程叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是其中是未知数是已知数且方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解注意一元一次方程必须满足的个条件只含有一个未知数未知数的次数是次整式方程叫做方程的同解原理等式的性质等式两边加或减同一个数或式子结果仍相等即如果那么为一个数或一个式子等式的性质

11、等式两边乘同一个数或除以同一个不为的数结果仍相等即如果那么如果那么分数的基本的性质分数的分子分母同母中的小数化为整数如方程将其化为的形式方程的右边没有变化这要与去分母区别开三解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的基本思路通过对方程变形把含有未知数的项归到方程的一边把常数项归到方程的另一边最终把方程做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m nnm等都叫做等式，而像，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。方程：含有未知数的等式叫做方程。如 5x311，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：是等式；含有未知数。两者缺一不可。2、整式、等式

12、与方程的区别和联系 区别：定义不同。从是否含有等号来看。方程首先是一个等式，它是用“”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。等式含有“”，表示左右两边相等，方程是个特殊的等式，即其中必须含有未知数。所以有：方程是等式，但等式却不一定是方程。联系：当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这个等式就是方程。如：要使代数式 5x1 的值等于 0，即求方程 5x10 的解。当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个方程。如：要使整式 x5 的值与整式x5 的值相等，即求方程的解。当含有字母的整式的运算结果

13、等于另一个整式时，也构成方程。如：要使整式x4 的值比 的值大 3，即求方程的解。通过上面的描述，我们知道，方程是由整式构成的，但整式不是方程。次数都是的方程叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是其中是未知数是已知数且方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解注意一元一次方程必须满足的个条件只含有一个未知数未知数的次数是次整式方程叫做方程的同解原理等式的性质等式两边加或减同一个数或式子结果仍相等即如果那么为一个数或一个式子等式的性质等式两边乘同一个数或除以同一个不为的数结果仍相等即如果那么如果那么分数的基本的性质分数的分子分母同母中的小数化为整数如方程将其化为的形式方程的右边没有

14、变化这要与去分母区别开三解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的基本思路通过对方程变形把含有未知数的项归到方程的一边把常数项归到方程的另一边最终把方程七、规律方法指导 解一元一次方程的注意事项：1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于除号，去分母后分子各项应加括号；3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；5、系数化为 1 时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析

15、，找到最佳解法。列方程解应用题的注意事项：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：设未知数。根据等量关系列方程。解方程。检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。作答。列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析 次数都是的方程叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是其中是未知数是已知数且方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解注意一元一次方程必须满足的个条件只含有一个未知数未知数的次数是次整式方程叫做方程的同解原理等式的性质等式两边加或减同一个数或式子结果仍相等即如果那么为一个数或一个式子等式的性质等式两边乘同一个数或除以同一个不为的数结果仍相等即如果那么如果那么分数的基本的性质分数的分子分母同母中的小数化为整数如方程将其化为的形式方程的右边没有变化这要与去分母区别开三解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的基本思路通过对方程变形把含有未知数的项归到方程的一边把常数项归到方程的另一边最终把方程