解三角形常用知识点归纳与题型总结中考_-中考.pdf

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1、 解三角形常用知识点归纳与题型总结 1、三角形三角关系：A+B+C=180；C=180(A+B)；.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.锐角三角形性质：若 ABC 则6090,060AC .2、三角形三边关系：a+bc;a-bc 3、三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC sincos,cossin,tancot222222ABCABCABC（1）和角与差角公式 sin()sincoscossin;cos()coscossinsin m;tantantan()1tantan m.（2）二倍角公式 sin2=2co

2、ssin.2222cos 2cossin2cos112sin 221tan1tan.221 cos 21cos 2sin,cos22（3）辅助角公式（化一公式）)sin(cossin22xbaxbxay 其中abtan 4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC 5、正弦定理的变形公式：化角为边：2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC；化边为角：sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC=2R 6、两类正弦定理解三角形的问题：已

3、知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac=2R2sinAsinBsinC=Rabc4=2)(cbar=)()(cpbpapp(海伦公式)8、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC 9、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab 注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。

4、在变形中，注意三角形中其他条件的应用：10、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角 11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C o；若222abc，则90C o；若222abc，则90C o 12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点 重心三角形三条中线的相交于一点 外心三角形三边垂直平分线相交于一点 内心三角形三内角的平分线相交于一点 旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两

5、边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题 1（15 北京理科）在中，则 试题分析：2.（2005 年全国高考湖北卷)在ABC 中，已知66cos,364BAB，AC 边上的中线ABC4a 5b6c sin2sinAC222sin 22 sincos2sinsin2AAAabcaCCcbc2425361616256 限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团

6、有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规BD=5，求 sinA 的值 分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA 解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且36221 ABDE，设 BEx 在B

7、DE 中利用余弦定理可得：BEDEDBEEDBEBDcos2222，xx6636223852，解得1x，37x（舍去）故 BC=2，从而328cos2222BBCABBCABAC，即3212AC又630sinB，故2 2123sin306A，1470sinA 在ABC 中，已知 a2，b2 2，C15，求 A。答案：000018030BAAA，且，题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状 1.(2005 年北京春季高考题)在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 解法 1：由CBAs

8、incossin2sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即 sinAcosBcosAsinB0，得 sin(AB)0，得 AB故选(B)解法 2：由题意，得 cosBsin2sin2CcAa，再由余弦定理，得 cosB2222acbac 2222acbac2ca，即 a2b2，得 ab，故选(B)评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法 1)，统一化为边，再判断(如解法 2)题型之三：解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题 1.限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工

9、程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规2在 ABC中，sincosAA22，AC 2，AB 3，求Atan的值和 ABC的面积。

10、答案：SACABAABC 1212232643426sin()3.（07 浙江理 18）已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC（I）求边AB的长；（II）若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数 解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB （II）由ABC的面积11sinsin26BC ACCCgg，得13BC AC g，由余弦定理，得222cos2ACBCABCAC BCg22()2122ACBCAC BCABAC BCgg，所以60C o 题型之四：三角形中求值问题 1.(2005 年全国高考天津卷)在ABC中，CBA、所对的边长分别

11、为cba、，设cba、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值 限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地

12、面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理 解：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A 在ABC中，C=1AB=1B.由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinBBBB解得,2cotB从而.21tanB 2ABC的三个内角为A BC、，求当 A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=，得B+C2=2 A2，所以有 cosB+C2=sinA2。

13、cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=12sin2A2+2sinA2=2(sinA2 12)2+32；当 sinA2=12，即 A=3 时,cosA+2cosB+C2取得最大值为32。3在锐角ABC中，角A BC，所对的边分别为abc，已知2 2sin3A，（1）求22tansin22BCA的值；（2）若2a，2ABCS，求b的值。解析：（1）因为锐角ABC 中，ABC，2 2sin3A，所以 cosA13，则 22222BCsinBCAA2tansinsinBC222cos21cos BC11cos A171cos A1cosBC21cosA33（）（）（）（2）ABCABC1

14、12 2S2Sbcsin Abc223VV因为，又，则 bc3。将 a2，cosA13，c3b代入余弦定理：222abc2bccos A 中，得42b6b90 解得 b3。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工

15、程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规4在ABC中，内角A BC，对边的边长分别是abc，已知2c，3C（）若ABC的面积等于3，求ab，；（）若sinsin()2sin 2CBAA，求ABC的面积 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力 解：（）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32

16、abC，得4ab 4 分 联立方程组2244ababab ，解得2a，2b 6 分（）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，8 分 当cos0A时，2A，6B，4 33a，2 33b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba ，解得2 33a，4 33b 所以ABC的面积12 3sin23SabC 12 分 题型之五（解三角形中的最值问题）1.（2013 江西理）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos(cos3sin)cos0CAAB.（1）求角 B 的大小；(

17、2)若1ac，求 b 的取值范围 答案：（1）60(2)12，1）2（2013 新课标）在内角的对边分别为,已知.()求;()若,求面积的最大值.答案：（1）45(2)2+1 限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方

18、面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规 限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质

19、量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规 5.(2014 新课标理)已知,a b c分别为ABC的三个内角,A B C的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为 3 .限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市

20、上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规 6.在内角的对边分别为,且=3(1)求角 A 的大小(2)若 a=4,求 3b-c的最大值 答案：（1）60(2)8 7.（2007 全国 1 理）设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=2bsin

21、A.（）求 B 的大小；（）求 cosA+sinC 的取值范围.解析：（）由2 sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC为锐角三角形得6B （）cossincossinACAA cossin6AA 13coscossin22AAA3sin3A 由ABC为锐角三角形知，2A0，6A2 解得2A3 所以653A32，所以13sin232A由此有333sin3232A，所以，cossinAC的取值范围为3 322，8.三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2 2（2A-2）=(a-b)sinB,三角形外接圆的半径为 2(1)求角 C

22、的大小(2)求面积的最大值.答案：（1）60(2)3 32 限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土

23、垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规9，ABC的三个内角为A BC、，求当 A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=，得B+C2=2 A2，所以有 cosB+C2=sinA2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=12sin2A2+2sinA2=2(sinA2 12)2+32；当 sinA2=12，即 A=3 时,cosA+2cosB+C2取得最大值为32。题型之六（图形中的解三角形）注意灵活利用图形来分析 2.限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水

24、工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规 题型之七：正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛

25、的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题 1.如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B 两点，望对岸标记物 C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。图 1 A B C D 限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装

26、工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规分析：求河的宽度，就是求ABC 在 AB 边上的高，而在河的一边，已测出 AB 长、CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得sinsinACABCBAACB，AC=AB=120m，又11sin22ABCSAB ACCABAB CDV，解得 CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险

27、问题 2 某舰艇测得灯塔在它的东 15 北的方向，此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东 30 北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔S 在东 15 北的方向上；舰艇航行半小时后到达 B 点，测得 S 在东 30 北的方向上。在ABC 中，可知 AB=30 0.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，过点 S 作 SC直线 AB，垂足为 C，则 SC=15sin30=7.5。这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里，而灯塔周围 10 海里内有暗礁，故继续航行有触

28、礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追击问题 3 如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45 方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15 方向航行，若甲船以 28n mile/h 的速度航 行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？解析：设用 t h，甲船能追上乙船，且在 C 处相遇。在ABC 中，AC=28t

29、，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=。=18045 15=120。根据余弦定理2222cosACABBCAB BC，2212881202 9 20()2ttt ，212860270tt，（4t3）（32t+9）=0，解得 t=34，t=932（舍）AC=2834=21 n mile，BC=2034=15 n mile。根据正弦定理，得315sin5 32sin2114BCAC，又=120，为锐角，=arcsin西 北 南 东 A B C 30 15 图 2 图 3 A B C 北 45 15 限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排

30、水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规5 314，又5 3147 21422，arcsin5 3144，甲船沿南偏东4arc

31、sin5 314的方向用34h 可以追上乙船。点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB 边已知，另两边未知，限公司年月日厨房施工方案目录一工程概况二主要施工工艺一防水工程二陶粒混凝土垫层施工工艺三给排水工程与布线四瓷砖粘贴工程五轻质隔墙工程六砌体填充墙工程七金属吊顶工程一工程概况厨房施工方案工程名称山西红酒会民能源投资集团有限公司设计单位上海市上悦建筑室内设计有限公司监理单位施工总包南京金陵装饰工程责任有限公司质量目标合格本施工方案主要针对都城大厦精装工程厨房装饰厨房防水陶粒混凝土垫层墙地砖粘贴铝扣板吊顶厨工程进度与质量主要方面二主要施工工艺一防水工程详见防水方案二陶粒混凝土垫层施工工艺厨房下面为人防工程开孔做排水管道地面整体采用陶粒混凝土垫高依据标准建筑工程施工质量验收统一标准建筑地面工程施工质量验收规