三角函数的综合问题试题_-试题.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 优质课讲课稿 三角函数的综合问题 单位：商丘市第二高级中学 学习好资料 欢迎下载 三角函数的综合问题 一、主干知识整合 1三角函数的综合问题主要包含以下几个方面(1)与三角形有关的三角函数问题(2)与向量有关的三角函数问题(3)三角函数的实际应用题 2有关定理和公式(1)正弦定理：asinAbsinBcsinC2R(R为ABC 外接圆半径)(2)三角形面积公式：S12absinC12bcsinA12acsinB.(3)余弦定理：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC，cosAb2c2a22bc，cosBa2c2b22ac，cos

2、Ca2b2c22ab.(4)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂水平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时的夹角叫做仰角；目标视线在水平视线下方时的夹角叫做俯角(5)方位角：一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角，在实际问题中，一般更明确地指出方位角的具体方向 二、要点热点探究 1探究点一 三角形背景下的三角函数研究 在斜三角形的研究中，除了三角形形状本身的研究，也会出现以三角形中的角为自变量的三角函数性质的研究，这里要注意因为三角形形状的影响，而带来自变量的取值范围的变化 例 1 已知ABC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，若acbcsinBsinAsinC

3、.(1)求角 A；(2)若 f(x)cos2(xA)sin2(xA)，求 f(x)的单调递增区间【解答】(1)由acbcsinBsinAsinC，得acbcbac，综合问题一主干知识整合三角函数的综合问题主要包含以下几个方面与三角形有关的三角函数问题与向量有关的三角函数问题三角函数的实际应用题有关定理和公式正弦定理为外接圆半径三角形面积公式余弦定理仰角与俯角与目标平视线下方时的夹角叫做俯角方位角一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角在实际问题中一般更明确地指出方位角的具体方向二要点热点探究探究点一三角形背景下的三角函数研究在斜三角形的研究中除了三角形形状本身的取值范围的变化例已中角所对应的边

4、分别为若求角若求的单调递增区间解答由得学习好资料欢迎下载即由余弦定理得所以令得故的单调递增区间为点评第一小问中需要将条件统一为三角函数值或边长的等式从而得到方程求出角或判学习好资料 欢迎下载 即 a2b2c2bc，由余弦定理，得 cosA12，所以 A3.(2)f(x)cos2(xA)sin2(xA)cos2x3sin2x3 1cos2x2321cos2x23212cos2x.令 2k2x2 k(kZ)，得 kx k 2(kZ)，故 f(x)的单调递增区间为k，k 2，kZ.【点评】第一小问中，需要将条件acbcsinBsinAsinC统一为三角函数值或边长的等式，从而得到方程求出角或判断三角

5、形形状 第二小问，首先还是需要将所给函数进行化归，再通过换元，转化为ycosx 进行研究 2探究点二 向量背景下的三角函数的研究 向量背景下的三角函数的研究主要指的是所给向量的坐标用三角函数表示，以向量的数量积构造三角函数，并且进一步对所得三角函数进行研究 其中向量仅仅在其中起到的是给命题带“帽子”的作用 例 2 已知 a(sinx,1)，b(1，cosx)，且函数 f(x)a b，f(x)是 f(x)的导函数(1)求函数 F(x)f(x)f(x)f2(x)的最大值和最小正周期；(2)若 f(x)2f(x)，求1sin2xcos2xsinxcosx的值【解答】(1)f(x)sinxcosx，f

6、(x)cosxsinx，F(x)f(x)f(x)f2(x)cos2xsin2x12sinxcosx 1sin2xcos2x1 2sin2x4.当 2x42k 2，即 xk 8(kZ)时，F(x)max 21，最小正周期为 T22.(2)f(x)2f(x)，sinxcosx2cosx2sinx，cosx3sinx，即 tanx13.1sin2xcos2xsinxcosx2sin2xcos2xcos2xsinxcosx2tan2x11tanx11923116.【点评】本题中向量仅仅在其中提供数量积，数量积的坐标公式不能用错三角函数性质的研究依然是首先进行三角化归，再换元处理 第二小问中涉及将所得齐

7、次的三角分式转化为正切的式子这一三角化简技巧 综合问题一主干知识整合三角函数的综合问题主要包含以下几个方面与三角形有关的三角函数问题与向量有关的三角函数问题三角函数的实际应用题有关定理和公式正弦定理为外接圆半径三角形面积公式余弦定理仰角与俯角与目标平视线下方时的夹角叫做俯角方位角一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角在实际问题中一般更明确地指出方位角的具体方向二要点热点探究探究点一三角形背景下的三角函数研究在斜三角形的研究中除了三角形形状本身的取值范围的变化例已中角所对应的边分别为若求角若求的单调递增区间解答由得学习好资料欢迎下载即由余弦定理得所以令得故的单调递增区间为点评第一小问中需要将条

8、件统一为三角函数值或边长的等式从而得到方程求出角或判学习好资料 欢迎下载 3探究点三 解三角形的实际应用问题 解三角形的实际应用问题主要是测量问题和航行问题，需要将所给实际问题转化为三角形后，用三角形知识和三角函数进行研究 例3 如图所示，一架飞机原计划从空中A处直飞相距680 km 的空中B处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在 A处沿与原飞行方向成 角的方向飞行，在中途 C 处转向与原方向线成 45 角的方向直飞到达 B 处已知 sin 513.(1)在飞行路径ABC 中，求 tanC；(2)求新的飞行路程比原路程多多少千米(参考数据：21.414，31.732)【解答】(1)因为 sin

9、513，是锐角，所以tan 512，tanCtan(45)tan(45)tan tan451tan tan4551211512 1177.(2)sinCsin(45)17 226，由正弦定理ABsinCACsin45BCsin，得 ACABsinC sin45 520，BC200 2.新的飞行路程比原路程多 ACBCAB520200 2680122.8(km)【点评】航行问题中涉及方向角，首先构造相应的三角形或四边形，再将方向角转化为三角形或四边形中的角，这个过程也就是实际问题中的“将实际问题转化为数学问题”建模过程 4探究点四 三角函数的实际应用题 三角函数的实际应用题指的是在实际问题中建立

10、形如 yAsin(x )的函数模型，此类问题多见于几何图形中长度、角度、面积的研究 例 4 如图所示，某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段 FBC，该曲线段是函数 yAsinx 23(A0，0)，x4,0时的图象，且图象的最高点为 B(1,2)赛道的中间部分为长 3千米的直线跑道CD，且 CDEF.赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE.(1)求 的值和DOE 的大小；综合问题一主干知识整合三角函数的综合问题主要包含以下几个方面与三角形有关的三角函数问题与向量有关的三角函数问题三角函数的实际应用题有关定理和公式正弦定理为外接圆半径三角形面积公式余弦定理

11、仰角与俯角与目标平视线下方时的夹角叫做俯角方位角一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角在实际问题中一般更明确地指出方位角的具体方向二要点热点探究探究点一三角形背景下的三角函数研究在斜三角形的研究中除了三角形形状本身的取值范围的变化例已中角所对应的边分别为若求角若求的单调递增区间解答由得学习好资料欢迎下载即由余弦定理得所以令得故的单调递增区间为点评第一小问中需要将条件统一为三角函数值或边长的等式从而得到方程求出角或判学习好资料 欢迎下载(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路 EF 上，一个顶点在半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上，且

12、POE，求当“矩形草坪”的面积取最大值时 的值 【解答】(1)由条件，得 A2，T43.T2，6，曲线段 FBC 的解析式为 y2sin6x23.当 x0 时，yOC 3.又 CD 3，COD4，即DOE4.(2)由(1)，可知 OD 6.又点 P 在弧 DE 上，故 OP 6.设POE，0 4，则“矩形草坪”的面积为 S 6sin(6cos 6sin)6(sin cos sin2)612sin2 12cos2 123 2sin2 43.0 4，故当 2 42，即 8时，S 取得最大值【点评】本题中函数模型已经给定，无需建立，而只需要确定相关系数即可 第二小问中建立了面积与角的三角函数关系，用

13、三角函数的性质求出最值 而在本题的变式题中用的是求导的方法研究最值 变式题：如图所示，扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB23，半径 OA 为 1 km，为了方便游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路，道路由圆弧 AC、线段 CD 及线段 BD 组成其中 D 在线段OB 上，且 CDAO，设AOC，(1)用 表示 CD 的长度，并写出 的取值范围；(2)当 为何值时，观光道路最长？【解答】(1)在OCD 中，由正弦定理，得CDsinCODODsinDCOCOsinCDO.又 CDAO，CO1，AOC，所以 CD23sin23cos 13sin，OD2

14、3sin.综合问题一主干知识整合三角函数的综合问题主要包含以下几个方面与三角形有关的三角函数问题与向量有关的三角函数问题三角函数的实际应用题有关定理和公式正弦定理为外接圆半径三角形面积公式余弦定理仰角与俯角与目标平视线下方时的夹角叫做俯角方位角一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角在实际问题中一般更明确地指出方位角的具体方向二要点热点探究探究点一三角形背景下的三角函数研究在斜三角形的研究中除了三角形形状本身的取值范围的变化例已中角所对应的边分别为若求角若求的单调递增区间解答由得学习好资料欢迎下载即由余弦定理得所以令得故的单调递增区间为点评第一小问中需要将条件统一为三角函数值或边长的等式从而得

15、到方程求出角或判学习好资料 欢迎下载 因为 ODOB，所以 sin 32，所以 0 3.所以 CDcos 13sin，0，3.(2)设道路长度为 L()，则 L()BDCD弧 CA 的长123sin cos 13sin cos 13sin 1，0，3.L()sin 33cos 1，由 L()0，得 sin 632.又 0，3，所以 6.列表 0，6 6 6，3 L()0 L()增函数 极大值 减函数 所以当 6时，L()达到最大值，即当 6时，观光道路最长 三、规律技巧提炼 三角函数的综合问题中主要指的是在三角形中、在向量问题中、在实际问题中有关三角函数的运用在这些问题中，要注意以下几个细节：

16、1三角形中要注意正余弦定理以及三角形边长和角之间关系的运用，其中角的范围是这类问题在处理时的细节 2向量中的三角函数问题处理时要注意，如果向量的坐标形式与三角函数的定义一致，此时可以适当考虑几何图形的特征 3实际问题中建立后的三角函数模型的研究由三种方法：(1)化归成基本三角函数模型研究；(2)用导数研究；(3)用基本不等式研究 四、真题剖析 例 2010江苏卷 在锐角ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，baab6cosC，则tanCtanAtanCtanB_.【分析】三角形问题中不仅仅有正余弦定理的运用，也有三角公式和三角化简的技巧的运用 在近四年的高考题中，这类三角函数和三角形结

17、合在一起考查的问题也较为常综合问题一主干知识整合三角函数的综合问题主要包含以下几个方面与三角形有关的三角函数问题与向量有关的三角函数问题三角函数的实际应用题有关定理和公式正弦定理为外接圆半径三角形面积公式余弦定理仰角与俯角与目标平视线下方时的夹角叫做俯角方位角一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角在实际问题中一般更明确地指出方位角的具体方向二要点热点探究探究点一三角形背景下的三角函数研究在斜三角形的研究中除了三角形形状本身的取值范围的变化例已中角所对应的边分别为若求角若求的单调递增区间解答由得学习好资料欢迎下载即由余弦定理得所以令得故的单调递增区间为点评第一小问中需要将条件统一为三角函数值或

18、边长的等式从而得到方程求出角或判学习好资料 欢迎下载 见，难度为基础题和中档题为主【答案】4【解析】方法一：当 AB 或 ab 时满足题意，此时有：cosC13，tan2C21cosC1cosC12，tanC222，tanAtanB1tanC2 2，tanC2 2，故tanCtanAtanCtanB4.方法二：baab6cosC6abcosCa2b2,6aba2b2c22aba2b2，解得 a2b23c22.又tanCtanAtanCtanBsinCcosCcosBsinAsinBcosAsinAsinBsinCcosCABsinAsinB1cosCsin2CsinAsinB，由正弦定理，得上

19、式1cosCc2ab4.自我检评：在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 1tanAtanB2cb，则角 A的大小为_ 3【解析】由 1tanAtanB2cb，得ABcosAsinB2sinCsinB，即 cosA12，故 A3.综合问题一主干知识整合三角函数的综合问题主要包含以下几个方面与三角形有关的三角函数问题与向量有关的三角函数问题三角函数的实际应用题有关定理和公式正弦定理为外接圆半径三角形面积公式余弦定理仰角与俯角与目标平视线下方时的夹角叫做俯角方位角一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角在实际问题中一般更明确地指出方位角的具体方向二要点热点探究探究点一三角形背景下的三角函数研究在斜三角形的研究中除了三角形形状本身的取值范围的变化例已中角所对应的边分别为若求角若求的单调递增区间解答由得学习好资料欢迎下载即由余弦定理得所以令得故的单调递增区间为点评第一小问中需要将条件统一为三角函数值或边长的等式从而得到方程求出角或判