数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解高三数学1高考_-高考.pdf

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1、数列专题复习 一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaad d为常数）或11(2)nnnnaaaan。如设na是等差数列，求证：以 bn=naaan21*nN为通项公式的数列nb为等差数列。2、等差数列的通项：1(1)naand 或()nmaanm d。如(1)等差数列na中，1030a，2050a，则通项na ；（2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_ 3、等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。如（1）数列 na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前 n 项和152nS ，则1a，n（3

2、.(1)答：13a ，10n）；（2）已知数列 na的前 n 项和212nSnn，求数列|na的前n项和nT 4、等差中项：若,a A b成等差数列，则 A叫做a与b的等差中项，且2abA。5、等差数列的性质：（1）当公差0d 时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad 是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为 0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq 时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp 时，则有2mnpaaa.如（1）等差数列n

3、a中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n_ (4)若na、nb是等差数列，则nka、nnkapb(k、p是非零常数)、*(,)p nqap qN、232,nnnnnSSSSS，也成等差数列，而naa成等比数列；若na是等比数列，且0na，则lgna是等差数列.如等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为 。（5）在等差数列na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna 中（这里a中即na）；1-n:nS偶奇：S。如（1）在等差数列中，S1122，则6a_ （2）项数为奇数的等差数列na中，奇数项和为

4、80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数 （6）若等差数列na、nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAf nB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设na与nb是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba_(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等 差 数 列 中，前n项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和。法 一：由 不 等 式 组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数

5、的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为

6、则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最值。（2）若na是等差数列，首项10,a 200320040aa，200320040aa，则使前 n 项和0nS 成立的最大正整数 n 是 （3）在等差数列na中，10110,0aa，且1 11 0|aa，nS是其前n项和，则（）A、1210,S SS都小于 0，1112,SS都大于 0 B、1219,S SS都小于 0，2021,SS都大于 0 C、125,S SS都小于 0，67,SS

7、都大于 0 D、1220,S SS都小于 0，2122,SS都大于 0 (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.二、等比数列的有关概念：1、等 比 数 列 的 判 断 方 法：定 义 法1(nnaq qa为常数），其 中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。如（1）一个等比数列na共有21n项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则1na为_；（2）数列na中，nS=41na+1(2n)且1a=1，若nnnaab21，求证：数列nb是

8、等比数列。2、等比数列的通项：11nnaa q或n mnmaa q。如等比数列na中，166naa，21128na a，前n项和nS126，求n和q.3、等比数列的前n和：当1q 时，1nSna；当1q 时，1(1)1nnaqSq11naa qq。如（1）等比数列中，q2，S99=77，求9963aaa （2）)(1010nnkknC的值为_ 列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为

9、常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最 4、等比中项：若,a A b成等比数列，那么 A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()a b ab的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A与 B的大小关系为_ 5.等比

10、数列的性质：（1）当mnpq 时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp 时，则有2mnpaaa.如（1）在等比数列na中，3847124,512aaa a，公比 q 是整数，则10a=_（2）各项均为正数的等比数列na中，若569aa，则3 13 23 1 0l o gl o gl o gaaa (2)若na是等比数列，则|na、*(,)p nqap qN、nka成等比数列；若 nnab、成等比数列，则nna b、nnab成等比数列；若na是等比数列，且公比1q ，则数列232,nnnnnSSSSS，也是等比数列。当1q ，且n为偶数时，数列232,nnnnnSSSSS，是常数数列 0，它

11、不是等比数列.如（1）已知0a 且1a，设数列nx满足1lo g1lo gananxx(*)nN，且121 0 0100 xxx，则101102200 xxx .（2）在等比数列na中，nS为其前 n 项和，若140,1330101030SSSS，则20S的值为_ (3)若10,1aq，则na为递增数列；若10,1aq,则na为递减数列；若10,01aq ，则na为递减数列；若10,01aq,则na为递增数列；若0q，列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数

12、列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最则na为摆动数列；若1q，则na为常数列.(4)当1q 时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS

13、，判断数列na是否为等比数列。如若na是等比数列，且3nnSr，则r (5)mnm nmnnmSSq SSq S.如设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若12,nnnSSS成等差数列，则q的值为_ (6)在等比数列na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS 奇偶.(7)如果数列na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列，故常数数列na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列na的前n项和为nS（Nn），关于数列na有下列三个命题：若)(1Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；

14、若 nnS11，则na是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 三、数列通项公式的求法 一、公式法)2()111nSSnSannn（；na等差、等比数列na公式.例 已知数列na满足123 2nnnaa，12a，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 2nnnaa 转化为113222nnnnaa，说明数列列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别

15、地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan ，进而求出数列na的通项公式。二、累加法 例 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出

16、11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。例 已知数列na满足112 313nnnaaa ，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式12 31nnnaa 转化为12 31nnnaa ，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。三、累乘法 例 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa ，即得数列na的通项公式。四、取倒数

17、法 例 已知数列na中，其中,11a，且当 n2 时，1211nnnaaa，求通项公式na。解 将1211nnnaaa两边取倒数得：2111nnaa，这说明1na是一个等差数列，首项是111a，公差为 2，所以122)1(11nnan，即121nan.五、待定系数法 列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列

18、而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最例 已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 5nnnaa 转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列5 nna 是等比数列，进而求出数列5 nna 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。例 已知数列na满足1135 241nnnaaa，求数列na的通

19、项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式135 24nnnaa 转化为115 223(5 22)nnnnaa ，从而可知数列5 22nna 是等比数列，进而求出数列5 22nna 的通项公式，最后再求数列na的通项公式。六、对数变换法 例 已知数列na满足512 3nnnaa ，17a，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式512 3nnnaa 转化为1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg 2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2lg4164nan的通项公式

20、，最后再求出数列na的通项公式。七、迭代法 例 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常用对数得1lg3(1)2lgnnnana ，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知(1)123!213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaa，从而1(1)3!225nn nnna。八、数学归纳法 列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和

21、如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最例 已知数列na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由12

22、28(1)(21)(23)nnnaann及189a，得。由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n 时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk 时，1228(1)(21)(23)kkkaakk。由此可知，当1nk 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。九、换元法 例 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令1 24nnba，则21(1)24nnab 故2111(1)24nnab，代入11(14

23、124)16nnnaaa得。即2214(3)nnbb 因为1240nnba，故111 240nnba则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb 是以1131 2431 24 132ba 为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得 列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则

24、为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最2 111()()3 423nnna。十、构造等差、等比数列法 qpaann 1；nnnqpaa 1；)(1nfpaann；nnnaqapa12.例 已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.【解析】)3(231nnaa .3

25、224311nnnnaa【反思归纳】递推关系形如“qpaann 1”适用于待定系数法或特征根法：令)(1nnapa；在qpaann 1中令pqxxaann11，)(1xapxann；由qpaann 1得qpaann 1，)(11nnnnaapaa.例 已知数列na中，nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.【解析】nnnaa321，nnnnnaa)23(2211，令nnnba 12 112211)()()(bbbbbbbbnnnnn 2)23(2n nnna23 【反思归纳】递推关系形如“nnnqpaa 1”通过适当变形可转化为：“qpaann 1”或“nnnnfaa)(1求解.十一、

26、不动点法 例 已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420 xx，则1x 是函数31()47xf xx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa ，所以 2 111()()3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将1 24na的换元为nb，使得所给递推关系式转化列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列

27、当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最11322nnbb形式，从而可知数列3nb 为等比数列，进而求出数列3nb 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。四、数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 2、等比数列求和

28、公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 前n个正整数的和 2)1(321nnn 前n个正整数的平方和 6)12)(1(3212222nnnn 前n个正整数的立方和 233332)1(321nnn 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。例 已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 项和.例 设 Sn1+2+3+n，nN*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.1)32()(nnSnSnf nn6434150)8(12nn501 当 88n，即 n8 时，501)(maxnf 二、错位相减法求和 这

29、种方法主要用于求数列an bn的前 n 项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例：（2009全国卷理）在数列na中，11111,(1)2nnnnaaan （I）设nnabn，求数列nb的通项公式（II）求数列na的前n项和nS 列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递

30、减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最分析：（I）由已知有1112nnnaann112nnnbb 利用累差迭加即可求出数列nb的通项公式:1122nnb(*nN)（II）由（I）知122nnnan,nS=11(2)2nkkkk111(2)2nnkkkkk 而1(2)

31、(1)nkkn n,又112nkkk是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nknkkn nS=(1)n n1242nn 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个)(1naa.例 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210 证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210 0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS nnnS2)1(四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将

32、其合并即可.例7 求数列的前 n 项和：231,71,41,1112naaan，解：设)231()71()41()11(12naaaSnn)23741()1111(12naaaSnn 当 a1 时，2)13(nnnSn2)13(nn 当1a时，2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan 例：（2010全国卷 2 文）（18）（本小题满分 12 分）已知na是各项均为正数的等比数列，列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且

33、等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（）求na的通项公式；（）设21()nnnbaa，求数列nb的前n项和nT。五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具

34、体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan （2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan （4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则 例 求数列,11,321,211nn的前 n 项和.nnnnan111 则 11321211nnSn 11n 例 在数

35、列an中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列bn的前 n项的和.解：211211nnnnnan )111(82122nnnnbn )111()4131()3121()211(8nnSn 18nn 列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和

36、为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 数列an：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求 S2002.解：设 S20022002321aaaa 2,3,1,2,3,1665646362616kkkkkkaaaaaa 0665646362616kkkkkkaaaaaa S2

37、0022002321aaaa 46362616kkkkaaaa5 例 在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa 求的值.解：设1032313logloglogaaaSn 由等比数列的性质 qpnmaaaaqpnm )log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn 10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 求11111111111个n之和.解：由于)110(91999991111111kkk 个个

38、 11111111111个n 9110)110(1091nn )91010(8111nn 列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做与的等差中项且等公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如等差数列的前项和为前项和为则它的差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之和首负的递增等差数列中前项和的最