基本不等式经典例题含知识点和例题详细解析高考_-高考.pdf

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1、基本不等式专题 知识点：1.(1)若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba 时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当 且 仅 当ba 时取“=”）(3)若*,Rba，则22 baab (当且仅当ba 时取“=”）3.若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则11122-2xxxxxx 即或 (当且仅当ba 时取“=”）4.若0ab，则2abba (当 且 仅 当ba 时 取“=”）若0ab，则22-2abababbababa 即或 (当且仅当ba

2、 时取“=”）5.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba 时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 解：(1)y 3x 212x 2 23x 212x 2 6 值域为 6，+）(2)当 x0 时，yx1x 2x1x 2；当 x0 时，yx1x=（x1x）2x1x

3、=2 值域为（，22，+）解题技巧 技巧一：凑项 例 已知54x，求函数14245yxx 的最大值。解：因450 x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xxg不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx Q，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。技巧二：凑系数 例：当时，求(82)yxx的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx 为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号 当 x2 时

4、，(82)yxx的最大值为 8。变式：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。解：230 x023 x2922322)23(22)23(42xxxxxxy 当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三：分离 技巧四：换元 例：求2710(1)1xxyxx 的值域。且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取注意当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求应用应用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又

5、不是常数所以对要进行拆凑项当且仅当即时上式等号成立故当时技巧二凑系数例当时求的最大值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为变式设求函数的最大值解当且仅当即时等号成立技巧三分离技巧四换元例求的值域解析一本题看似无法运用均值不等式不妨将分子配方凑出含有的项再将其分离当即时当且仅解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx （当且仅当 x1 时取“”号）。解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x 1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,4259yt

6、t （当 t=2 即 x1 时取“”号）。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()af xxx 的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。错解：Q0,0 xy，且191xy，199

7、2212xyxyxyxyxy 故 min12xy。错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy 等号成立条件是xy，在1992xyxy 等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取注意当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求应用应用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又不是常数所以对要进行拆凑项当且仅当即时上式等号成立故当时技巧二凑系数例当时

8、求的最大值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为变式设求函数的最大值解当且仅当即时等号成立技巧三分离技巧四换元例求的值域解析一本题看似无法运用均值不等式不妨将分子配方凑出含有的项再将其分离当即时当且仅在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：190,0,1xyxy Q，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。技巧七 例：已知x，y为正实数，且x 2y 22 1，求x1y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab

9、a 2b 22。同时还应化简1y 2 中y2前面的系数为 12，x1y 2 x 21y 22 2 x12 y 22 下面将x，12 y 22 分别看成两个因式：x12 y 22 x 2(12 y 22 )22 x 2y 22 12 2 34 即x1y 2 2 x 12 y 22 34 2 技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考

10、虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取注意当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求应用应用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又不是常数所以对要进行拆凑项当且仅当即时上式等号成立故当时技巧二凑系数例当时求的最大值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为变式设求函数的最大值解当且仅当即时等号成立技巧三分离技巧四换元例求的值域解析一本题看似无法运用均值

11、不等式不妨将分子配方凑出含有的项再将其分离当即时当且仅法一：a302bb1，ab302bb1 b2 b 230bb1 由a0 得，0b15 令tb+1，1t16，ab2t 234t31t 2（t16t）34t16t 2t16t 8 ab 18 y 118 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b 22 ab 30ab 22 ab 令uab 则u222 u30 0，52 u 32 ab 32，ab 18，y118 点评：本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻

12、找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.技巧九、取平方 例:求函数152152()22yxxx 的最大值。解析：注意到21x与52x的和为定值。22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx 又0y，所以02 2y 当且仅当21x=52x，即32x 时取等号。故max2 2y。应用二：利用均值不等式证明不等式 例：已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1121abcbcaaaa，可由

13、此变形入手。且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取注意当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求应用应用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又不是常数所以对要进行拆凑项当且仅当即时上式等号成立故当时技巧二凑系数例当时求的最大值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为变式设求函数的最大值解当且仅当即时等号成立技巧三分离技巧四换元例求的值域解析一本题看似无法运用均值不等式不妨将分子配方凑出含有的项再将

14、其分离当即时当且仅解：Qa、b、cR，1abc 。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bcacababcabc gg。当且仅当13abc 时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym 恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xyk xy 191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky 10312kk 。16k ，,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的 大

15、小 关 系是 .分析：1 ba 0lg,0lgba 21Q（pbabalglg)lglg QababbaRlg21lg)2lg(RQP。且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取注意当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求应用应用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又不是常数所以对要进行拆凑项当且仅当即时上式等号成立故当时技巧二凑系数例当时求的最大值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为变式设求函数的最大值解当且仅当即时等号成立技巧三分离技巧四换元例求的值域解析一本题看似无法运用均值不等式不妨将分子配方凑出含有的项再将其分离当即时当且仅