基本不等式经典例题学生用高考_-高中教育.pdf

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1、精心整理 基本不等式 知识点：1.(1)若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab （当且仅当ba 时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=”）(3)若*,Rba，则22 baab(当且仅当ba 时取“=”）3.若0 x，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则11122-2xxxxxx 即或(当且仅当ba 时取“=”）4.若0ab，则2abba(当且仅当ba 时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa 即或(当且仅当ba 时取“=”）5

2、.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba 时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y3x2（2）yx 精心整理 技巧一：凑项 例已知54x，求函数14245yxx 的最大值。技巧二：凑系数 例：当时，求(82)yxx的最大值。变式：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。技巧三：分离换元 例：

3、求2710(1)1xxyxx 的值域。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()af xxx 的单调性。例：求函数2254xyx的值域。技巧六：整体代换（“1”的应用）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。技巧七 例：已知x，y为正实数，且x21，求x的最大值.技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.技巧九、取平方 例:求函数152152()22yxxx 的最大值。应用二：利用均值不等式证明不等式 例：已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 应用

4、三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym 恒成立的实数m的取值范围。则当且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取注意当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最泛的应用应用一求最值例求下列函数的值域精心整理技巧一凑项例已知求函数的最大值技巧二凑系数例当时求的最大值变式设求函数的最大值技巧三分离换元例求的值域技巧五在应用最值定理求最值时若遇等号取不到的情况结合函就会出错例已知且求的最小值技巧七例已知为正实数且求的最大值技巧八已知为正实数求函数的最小值

5、技巧九取平方例求函数的最大值应用二利用均值不等式证明不等式例已知且求证应用三均值不等式与恒成立问题例已知且求使不精心整理 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是.则当且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取注意当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最泛的应用应用一求最值例求下列函数的值域精心整理技巧一凑项例已知求函数的最大值技巧二凑系数例当时求的最大值变式设求函数的最大值技巧三分离换元例求的值域技巧五在应用最值定理求最值时若遇等号取不到的情况结合函就会出错例已知且求的最小值技巧七例已知为正实数且求的最大值技巧八已知为正实数求函数的最小值技巧九取平方例求函数的最大值应用二利用均值不等式证明不等式例已知且求证应用三均值不等式与恒成立问题例已知且求使不