高考数学专题二十三直线与圆锥曲线问题的解题策略高考_-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 专题二十三 直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与转化 解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知认知已知、目标的本质和联系。有了足够

2、的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟 化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。（1）向弦中点问题转化 例 1.已知双曲线=1（a0,b0）的离心率，过点 A（0,-b）和 B（a,0）的直线与原点间的距离为 （1）求双曲线方程；（2）若直线（km 0）与双曲线交于不同两点 C、D，且 C、D两点都在以 A为圆心的同一个圆上，求 m的取值范围。略解：（1）所求双曲线方程为（过程略）（2）由

3、 消去 y 得：由题意知，当 时，设 中点 则 C、D均在以 A为圆心的同一圆上 又 学习必备 欢迎下载 于是由得 由代入得，解得 m4 于是综合、得所求 m的范围为 （2）向弦长问题转化 例 2设 F 是椭圆 的左焦点，M是 C1上任一点，P 是线段 FM上的点，且满足 （1）求点 P 的轨迹 C2的方程；（2）过 F 作直线 l 与 C1交于 A、D两点，与 C2交点 B、C两点，四点依 A、B、C、D顺序排列，求使 成立的直线 l 的方程。分析：为避免由代换 引发的复杂运算，寻觅替代 的等价条件：设弦AD、BC的中点分别为 O1、O2，则，故，据此得 于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问

4、题。略解：椭圆 C1的中心 点 P 分 所成的比=2。（1）点 P 的轨迹 C2的方程为（过程略）（2）设直线 l 的方程为 代入椭圆 C1的方程得 ，解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中

5、点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 故有 故弦 AD中点 O1坐标为 代入椭圆 C2的方程得，又有 故弦 BC中点 O2坐标为 由、得 注意到 于是将、代入并化简得：由此解得。因此，所求直线 l 的方程为 2化繁为简 解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简的策

6、略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。（1）借助投影 对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向 x 轴（或 y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的

7、过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 例 3如图，自点 M（1，-1）引直线 l 交抛物线 于 P1、P2两点，在线段 P1、P2上取一点 Q，使、的倒数依次成等差数列，求点 Q的轨迹方程。解：设 又设直线 l 的方程为 代入 得 由题意得 或

8、 且 又由题意得 作 P1、Q、P2在直线 y=-1 上的投影 P1、Q、P2（如图）又令直线 l 的倾斜角为 则由 得 同理，将上述三式代入得 将代入得 解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或

9、弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 将代入得 于是由、消去参数 k 得 再注意到式，由得 或 因此，由、得所求点 Q的轨迹方程为 （2）避重就轻 事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。例 4已知 点 P、Q在椭圆 上，椭圆中心为 O，且，求椭圆中心 O到弦 PQ的距离。分析：这里需要 P、Q点坐标，对此，如果直面直线 PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不论是

10、求解 P、Q坐标，还是利用所设 P、Q坐标，都不免招致复杂局面。于是转而考虑侧面迂回，避重就轻，同时，注意到 P、Q两点的双重属性，想到避开正面求解，而由直线 OP（或 OQ）方程和椭圆方程联立方程组解出点 P（或点 Q）坐标。解（避重就轻，解而不设）：设 则由 得 （1）当点 P、Q不在坐标轴上时，设直线 OP的方程 则直线 OQ的方程为 将代入椭圆方程 易得 解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过

11、程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 将代入椭圆方程 易得 由、得 又在 中作 于 H，于是由 及式得 =（2）当点 P、Q在坐标轴上时，同样可得，从而有。于是由（1）（2）知所求椭圆中心 O到弦 PQ的距离为。直线与圆锥曲线相交的问题，适当处置

12、交点坐标是解题繁简乃至解题成败的关键环节。循着教材中关于曲线交点的定位，直线与圆锥曲线的交点坐标，首先是立足于“解”，其次是辅助于“设”。于是，在宏观上围绕着“解”与“设”的选择，产生出两对解题思路：解而不设与设而不解；既设又解与不解。在这里，“设”是举手之劳，问题在于，在一个具体问题中，“解”的火候如何把握？“不解”的时机如何捕捉？以下继续作以探索。二、求解交点坐标的“度”的把握 个体与整体是辩证的统一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：1、半心半意，解至中途 从认识目标切入，如果目标不是交点的横坐标或纵坐标的个体，而是关于交点横坐标（或纵坐标）的和

13、与积的对称式，则一般选择从直线方程与曲线方程的联立方程组入手，解至中途运用韦达定理，进而对目标进行转化、靠拢，直至利用上述结果解决问题。例 1.设斜率为 2 的直线与抛物线 相交于 A、B两点，以线段 AB为边作矩形 ABCD，使，求矩形 ABCD 的对角线交点 M的轨迹方程。解：设 直线 AB的方程为。解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转

14、化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 由 由题意 由韦达定理得 再设 AB中点为，则有，注意到四边形 ABCD 为矩形，故有，且，由此得 由（4）得 代入（5）得 化简得 再注意到中，由（5）得 因此由、得所求动点 M的轨迹方程为 。解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的

15、实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 点评：本例是“立足于一条直线与曲线相交”的问题

16、。这里所说的“立足于一条直线与曲线相交”的问题，是指这样两种题型：（1）问题由一直线与曲线相交引出；（2）问题中虽然出现多条直线与同一曲线相交，但这些直线的引出存在着明显的顺序（或依赖关系），整个问题构建在某一条直线与曲线相交的基础之上，对此，我们的求解仍倚仗于对交点坐标“既设又解”的策略。这里的“解”，是解直线方程与曲线方程所联立的方程组，是“半心半意”地求解，解至中途运用韦达定理，因此，此类问题的解题三部曲为 （1）全心全意地设出交点坐标；（2）“半心半意”地求解上述方程组，解至中途运用韦达定理；（3）对题设条件主体进行分析、转化，使之靠拢并应用（2）的结果导出既定目标。2、真心实意，求解

17、到底 当目标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式，而是交点坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。例 2.正方形 ABCD 的中心为 M（3，0），一条顶点在原点，焦点在 X轴正半轴上的抛物线 E，一条斜率为的直线 l，若 A、B两点在抛物线 E上，而 C、D两点在直线 l 上，求抛物线 E和直线 l 的方程。解：由题意设抛物线 E的方程为，直线 l 的方程为。又设正方形 ABCD 的（一条）对角线的斜率为 k，则由 直线 AM、BM的方程分别为 再设 则由 得 又点 A、B在抛物线 E上，故有 解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验

18、告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 于是由、解得。故得 A（4，2）、B（1，1）、因此可

19、知，所求抛物线 E的方程为；所求直线 l 方程为。点评：上述问题中出现“相对独立的多条直线与同一曲线相交”，即问题中多条直线的出现没有确定的顺序或依赖关系，各条直线之间具有相对独立性。对此，我们仍然运用对交点坐标“既设又解”的策略，不过，这里的“解”不是解直线方程与曲线方程所联立的方程组，而是解关于所设交点坐标的等式所联立的方程组；这里的“解”不是“半心半意”地解至中途运用韦达定理，而是全心全意地去解出交点坐标，因此，此类问题的解题三部曲为：（1）全心全意地设出交点坐标；（2）全心全意地求解所设交点坐标满足的方程所联立的方程组，解出所设交点坐标；（3）利用（2）的结果追求既定目标。三、求解交点

20、坐标的转换与回避 解决直线与圆锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的祸。因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正面求解（交点坐标）便尽量转换，能回避正面求解（交点坐标）便尽量回避。1、设而不解 这里所谓的“设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。其中，用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。例 1设椭圆 的上半部有不同三点 A、B、C，它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点 B的纵坐标与椭圆的半焦距相等，求线段 AC的中垂线在 y 轴上的截距。分析：考察线段 AC的中

21、垂线方程，易知其斜率由点 A、C同名坐标的差式表出，弦中点由点 A、C同名坐标的和式表出。由此想到对交点坐标“设而不解”，并借助焦点半径公式求解。解：设，弦 AC中点 M(x0,y0)。由已知椭圆方程得 又运用椭圆第二定义可得，由题设条件得 解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力

22、实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 而 此时，注意到点 A、C在椭圆 上，故有 得 代入得 由此得 由、得，即 AC中点 于是可知弦 AC的中垂线方程为 在中令 x=0 得 由此可知，所求弦 AC的中垂线在 y 轴上的截距为 2、不设不解 这是解决直线与曲线相交问题的至高境界。因此，欲适时地正确选择对交点坐标“不设不解”，需要我们对问题或图形本质的深刻认知，需要我们

23、对有关知识的深厚积淀或升华。（1）利用圆锥曲线定义回避交点坐标 例 2已知 F1、F2为椭圆的两个焦点，过 F2的直线交椭圆于 P、Q两点，且，求椭圆的离心率。解：注意到这里涉及点 P处两条焦点半径，故考虑利用椭圆定义 1。设椭圆方程为。又设，则由题意得 根据椭圆定义得 解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系

24、有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 代入得，解得 再由 得 代入得 化简得，由此解得。（2）借助有关图形性质回避交点坐标 例 3已知直线 l：与 相交于 A、B两点，当时，求C的方程。提示：圆心 C到弦 AB的距离（弦心距）注意到 由圆的弦的性质得 ，由此解得 a 的值。（3）利用有关问题的深入认知回避交点坐标 这是处置直线与曲线乃至两

25、曲线相交问题的重要策略，现以例4 示范说明。例 4已知圆 M与圆 相交于不同两点 A、B，所得公共弦 AB平行于已知直线，又圆 M经过点 C（-2，3），D（1，4），求圆 M的方程。解（利用对圆的根轴方程的认知廻避交点坐标）：设圆 M方程为 又已知圆方程为 得上述两圆公共弦 AB所在直线方程 由题设得 解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转

26、化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 注意到点 C、D在圆 M上，故有 将、联立解得 所求圆 M的方程为 四、高考真题 1.已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆在焦点 F 的直线交椭圆于 A、B两点，与 共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设 M为椭圆上任意一点，且 ，证明

27、为定值。分析：（1）求椭圆离心率，首先要求关于 a，b，c 的等式。为此，从设出椭圆方程与直线 AB的方程切入，运用对 A、B坐标“既设又解”的策略；（2）注意到这里的点为椭圆上任意一点，故考虑对点的坐标“设而不解”。解：（1）设椭圆方程为 则直线 AB方程为 设 将代入椭圆方程 得 由题意 ，显然成立 由韦达定理得 又，与 共线 解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解

28、的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 即所求椭圆的离心率为 （2）由（1）得，椭圆方程化为 设，由题设得 点 M在椭圆上 又由（1）知，而,将、代得 ，即 为定值。解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的

29、实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 点评：对于（1），立足于对 A、B坐标“既设又解”，对 与 共线的充要条件，先“转化”而

30、后“代入”，与先“代入”而后化简比较，计算量要明显减少。因此，诸如此类的问题，要注意选择“代入”的形式或时机，以求减少解题的计算量。2.P、Q、M、N四点都在椭圆 上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点，已知 与 共线，与 共线，且，求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值。分析：这里，b=1，c=1，故 F（0，1）由题设知，四边形 PMQN 的面积等于，因此解题从求，切入。解：这里，b=1，c=1，F（0，1），由 得，即 直线 PQ，MN中至少有一条直线斜率存在。不妨设 PQ的斜率为 k，则直线 PQ的方程为 又设 将代入椭圆方程得 且 （1）当 时，直线 MN的斜率为，解析几何解答题

31、的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备

32、 欢迎下载 同理可得 四边形 PMQN 的面积 令，则（当且仅当 时等号成立）当 时，S 是以 为自变量的增函数 （2）当 时，MN为椭圆的长轴，于是（1）（2）得 四边形 PMQN 的面积的最大值为 2，最小值为 点评：认知条件，从而认知本题中四边形 PMQN 面积的决定因素，寻求的目标便随之明确，而在对四边形面积 S 的变形中，所施行的分子分母同除以，变量替换，分离常数项等等，都是寻求最值的基本策略。3 设 A、B是椭圆 上的两点，点 N（1，3）是线段 AB的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点。（1）确定 的取值范围，并求直线AB的方程；（2）试判断是否存在这样的，使得

33、 A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由。分析：在这里，有两条直线经过点 N并且与椭圆相交，由于（1）要求直线 AB的方程，故以交点 A、B解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转

34、化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 的坐标“即设又解”切入；对于（2）中的四点共圆，知，圆的直径为 AB或 CD，到底是哪一个，则要在完成（1）之后根据具体情况再行确定。解：（1）由题意，设直线 AB方程为 设 将代入椭圆方程 得 则由题设知 且 由 N（1，3）是线段 AB的中点得 解得 将 代入得 所求 的取值范围为，直线 AB的方程为 即 （2）由题设知，线段 CD垂直平分线段 AB 直线 CD的方程为 即 将与椭圆方程联立，消去y 得 又设，CD的中点为

35、，则 为方程的根 解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双

36、曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 且 ，即 注意到由（1）可得 由（2）可得 当 时，假设存在，使得 A、B、C、D四点共圆，则 CD必为圆的直径，点 M为圆心 又点 M到直线 AB的距离 由勾股定理得 故当 时，A、B、C、D四点均在以 M为圆心，以 为半径的圆上。点评：在这里，对 A、B及 C、D的坐标均是“既设又解”，解到中途运用韦达定理导出同坐标之间的关系式；对于（2），要切实认知条件的特殊性，根据问题的特殊性，这时化生为熟，转化为熟悉的弦长或弦中点问题。4.已知方向向量为 的直线 l 过点 和椭圆 的焦点，且椭圆 C的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C的右准线上 （1）求

37、椭圆 C的方程；（2）是否存在过点 E（-2，0）的直线 m交椭圆 C于点 M、N，满足（0 为原点）。若存在，求直线 m的方程；若不存在，请说明理由。分析：这里直线 l 的方程容易满足，对椭圆中心 O关于 l 的对称点“解而不设”容易完成。解题难点在于转化和应用（2）中的条件，注意到 。为便于沟通左右两解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转

38、化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 边的联系，运用内积定义得 ，即 的面积等于 于是解题以表示 的面积突破。解：（1）由已知得直线 l 的斜率为，直线 l 的方程为 过原点且垂直于 l 的直线方程为 由，解得，即上述两直线的交点为 又椭圆中心 O关于直线 l 的对称点在椭圆 C的右准线上，点 在右准线

39、上，直线 l 过椭圆焦点，该焦点为（2，0）椭圆方程为 （2）假设存在符合条件的直线 m 设 （）当直线 m不垂直 x 轴时，设直线 m的方程为 代入椭圆方程 得 由题设 且，解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问

40、题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 又 O 到直线 MN的距离 由 得 ，即，由得 解得，即 （）当直线 轴时，直线，易得 满足条件 （）（）知直线 m的方程为 或 或 经检验上述直线均满足 ，因此，存在满足题设条件的直线 m，直线 m的方程为 或 或 点评：在本题中，条件 的认知与转化是解题成功的关键环节，一旦已知条件转化为，解题便纳入求弦长与距离的熟悉的途径。解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备

41、考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都学习必备 欢迎下载 解析几何解答题的主要题型是历年来高考备考的重点和高考命题的热点多年备考的实践经验告诉我们欲更快地提高解决这类问题的实践能力需要切实解决好以下两个问题条件或目标的等价转化对于交点坐标的适当处理本文试从上述与转化解题的过程是一系列转化的过程从某种意义上说解题就是要将所解的题转化为已经解过的题然而转化的基础是知知已知目标的本质和联系有了足够的知基础我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化化生为熟化生为熟是引出的线段间的关系问题要注意适时向弦长或弦中点问题转化一但转化成功解题便得以驾轻就熟胜券在握向弦中点问题转化例已知双曲线的离心率过点和的直线与原点间的距离为求双曲线方程若直线与双曲线交于不同两点且两点都