不等式恒成立有解问题中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

《不等式恒成立有解问题中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式恒成立有解问题中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习好资料 欢迎下载 不等式恒成立与有解问题 不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容.它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具.在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目，比如 2006 年高考江西卷以及湖北卷.其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极限、导

2、数等新增内容的掌握和灵活运用.它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向.因此，越来越受到高考命题者的青睐.下面通过一些典型实例作一剖析.1不等式恒成立与有解的区别 不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团.（1）不等式f(x)k 在xI时恒成立kxf,)(maxxI.或f(x)的上界小于或等于k；（2）不等式 f(x)k 在xI时恒成立kxf,)(minxI.或f(x)的下界大于或等于k；（4）不等式 f(x)k 在 xI 时有解kxf,)(maxxI.或 f(x)的上界大于 k；解

3、决不等式恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等.例 1 已知两函数 f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中 k 为实数.（1）对任意 x-3，3，都有 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（2）存在 x-3，3，使 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（3）对任意 x1x2-3，3，都有 f（x1)g(x2)，求 k 的取值范围.解析 （1）设 h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为 x-3，3时，h(x)0恒成

4、立，故 hmin(x)0.令 h (x)=6x2-6x-12=0，得 x=-1或 2.由 h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故 hmin(x)=-45+k，由 k-450，得 k45.（2）据题意：存在 x-3，3，使 f（x)g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)0在 x-3，3有解，故 hmax(x)0，由（1）知 hmax（x）=k+7，于是得 k-7.（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 x1x2-3，3，都有 f（x1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在-3，3

5、上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：学习好资料 欢迎下载 3,3,)()(minmaxxxgxf，由 g(x)=6x2+10 x+4=0，得 x=-32或-1，易 得21)3()(mingxg，又 f(x)=8(x+1)2-8-k，3,3x.故.120)3()(maxkfxf令120-k-21，得 k141.点评 本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件.2不等式恒成立问题 例 2 （06 年全国）设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有 x0，都有 f(x)ax成立，求实数 a 的取值范围.解析

6、构作辅助函数 g(x)=f(x)-ax=(x+1)ln(x+1)-ax，原问题变为 g(x)0对所有的 x0恒成立，注意到 g(0)=0，故问题转化为 g(x)g(0)在 x0时恒成立，即函数 g(x)在,0为增函数.于是可通过求导判断 g(x)的单调性，再求出使 g(x)g(0)成立的条件.g(x)=ln(x+1)+1-a，由 g(x)=0，得 x=e1a-1.当 xe1a-1时，g(x)0，g(x)为增函数.当-1xe1a-1时，g(x)0 时，.)1ln()1(xxxa 设 g(x)=xxx)1ln()1(,问题转化为求 g(x)在开区间（0，+）上最小值或下界，2)1ln()(xxxx

7、g，试图通过 g(x)=0 直接解得稳定点，困难重重！退一步令h(x)=x-ln(x+1)，因为0,111)(xxxh，故)(xh0，则 h(x)在（0，+）单调递增，即 h(x)h(0)=0，从而)(xg0，于是 g(x)在（0，+）单调递增，故 g(x)无最小值，此时，由于 g(0)无意义，g(x)的下界一时也确定不了，但运用极限知识可得：)(lim)(0 xgxgx，然而求此极限却又超出所学知识范围，于是大部分考生被此难关扫落下马，无果而终.事实不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点随着中学数学引进导数它为我们更广泛更深入地研究函数不等式提供了强有力的工具在近几年的高考试题中涉及不等式

8、恒成立与有解的问题有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目统知识有机融合用初等方法难以处理而利用导数来解思路明确过程捷流畅淡化繁难的技巧它不仅考查函数不等式等有关的传统知识和方法而且还考查极限导数等新增内容的掌握和灵活运用它常与思想方法紧密结合体现能力立意的原一剖析不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的以下充要条件应细心思考甄别差异恰当使用等价转化切不可混为一团不等式在时恒成立或的上界小于或等于不等式在时有解或的下界小于不等式在时恒成立或的学习好资料 欢迎下载 上采用洛比达法则可得：1 1)1ln(lim)1ln()1(lim)(lim000 xxxxxgxxx，故 x0时，

9、g(x)1，因而 a1.综合（1）（2），得 a 的取值范围是：1,.点评 采用参数分离法求解本题，最大的难点在于求分离后所得函数的下界.它需要考生拥有扎实的综合素质和过硬的极限、导数知识，并能灵活地运用这些工具来研究函数的性态，包括函数的单调性，极值（最值）或上下界.突出考查了函数与方程思想、有限与无限的思想.3.不等式有解问题 例 3 （06 年湖北）设 x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+b)ex3,xR 的一个极值点.(1)求 a 与 b 的关系（用 a 表示 b），并求 f(x)的的单调区间；（2）设 a0，g(x)=xea4252，若存在 S1，S20，4，使得|f(S1)-g

10、(S2)|1 成立，求a 的取值范围.解析 （1）xeabxaxxf32)2()(，由)3(f=0 得 b=-2a-3.故 f(x)=(x2+ax-2a-3)xe3.因为)(xf=-x2+(a-2)x-3a-3 xe3=-(x-3)(x+a+1)xe3.由)(xf=0 得：x1=3，x2=-a-1.由于 x=3 是 f(x)的极值点，故 x1x2，即 a-4.当 a-4时，x1-4时，x1x2，故 f(x)在1,a上为减函数，在-a-1，3上为增函数，在,3上为减函数.(2)由题意，存在 S1，S20，4，使得|f(S1)-g(S2)|1 成立，即不等式|f(S1)-g(S2)|1 在 S1，

11、S20，4上有解.于是问题转化为|f(S1)-g(S2)|min0，则-a-10，由（1）知：f(x)在0，3递增；在3，4递减.故 f(x)在0，4 上的值域为minf(0),f(4),f(3)=-(2a+3)e3,a+6，而 g(x)=xea4252在0，4 上显然为增函数，其值域422425,425eaa.因 为4252a-（a+6）=21a2 0,故4252a(a+6).不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点随着中学数学引进导数它为我们更广泛更深入地研究函数不等式提供了强有力的工具在近几年的高考试题中涉及不等式恒成立与有解的问题有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目统知识有机融合用

12、初等方法难以处理而利用导数来解思路明确过程捷流畅淡化繁难的技巧它不仅考查函数不等式等有关的传统知识和方法而且还考查极限导数等新增内容的掌握和灵活运用它常与思想方法紧密结合体现能力立意的原一剖析不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的以下充要条件应细心思考甄别差异恰当使用等价转化切不可混为一团不等式在时恒成立或的上界小于或等于不等式在时有解或的下界小于不等式在时恒成立或的学习好资料 欢迎下载|f(S1)-g(S2)|min=4252a-(a+6)从而解230,01)6(4252a aaa得.故 a 的取值范围为23,0.假若问题变成：“对任意的 S1，S20，4，使得|f(S1)

13、-g(S2)|1 都成立，求 a 的取值范围.”则可将其转化为|f(S1)-g(S2)|max1.点评 函数、不等式、导数既是研究的对象，又是决问题的工具.本题从函数的极值概念入手，借助导数求函数的单调区间，进而求出函数 闭区间上的值域，再处理不等式有解问题.这里传统知识与现代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查.不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点随着中学数学引进导数它为我们更广泛更深入地研究函数不等式提供了强有力的工具在近几年的高考试题中涉及不等式恒成立与有解的问题有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目统知识有机融合用初等方法难以处理而利用导数来解思路明确过程捷流畅淡化繁难的技巧它不仅考查函数不等式等有关的传统知识和方法而且还考查极限导数等新增内容的掌握和灵活运用它常与思想方法紧密结合体现能力立意的原一剖析不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的以下充要条件应细心思考甄别差异恰当使用等价转化切不可混为一团不等式在时恒成立或的上界小于或等于不等式在时有解或的下界小于不等式在时恒成立或的