数学高二上沪教版向量的坐标表示及其运算学生版中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、年 级：高二 辅导科目：数学 课时数：3 课 题 向量的坐标表示及其运算 教学目的 1、理解平面向量的有关概念，掌握向量的坐标表示及运算法则 2、掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则 教学内容【知识梳理】知识点 1 向量及其表示 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示。如a读作向量a，向量也可以用两个大写英文字母上面加箭头来表示，如AB表示由 A 到 B 的向量。A 为向量的起点，B 为向量的终点）。向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）。【注意】既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量。向量与标量是两种不同类型

2、的量，要注意加以区分。2.向量坐标的有关概念（1）基本单位向量：在平面直角坐标系内，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记,i j（2）将向量a的起点置于坐标原点 O，作OA=a，则 OA 叫做位置向量，如果点 A 的坐标,x y，它在x轴和y轴上的投影分别为 M,N，则OAOMON,axiyj。（3）向量的正交分解：在（2）中，向量OA能表示成两个垂直的向量,i j分别乘以实数,x y后组成的和式，该和式称为,i j的线线组合。这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。把有序实数对,x y叫做向量a的坐标，记作a ,x y 3.向量的坐标运算：设a 1122,x ybxyR

3、 则1212,abxxyy；1212,abxxyy；11,axy 4.向量的模：设a ,x y，由两点间距离公式，可求的向量a的模 22axy【注意】（1）向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示。（2）向量的模是一个标量，并且是一个非负的实数。知识点 2 向量平行的充要条件 已知a与b为非零向量，若a 1122,x ybxy则ab的充要条件是1221x yx y，所以，向量平行的充要条件可表示为：abab（其中为非零实数）1221x yx y。知识点 3 定比分点公式 1.定比分点公式和中点公式 已知1P 11222,x yPxy是直线l上的任一点，且12,1PPP

4、PR，P是直线12PP上的一点，令,P x y，则121211xxxyyy，这个公式叫做线段12PP的定比分点公式，特别的1时，P为线段12PP的中点，此时121222xxxyyy，叫做线段12PP的中点公式。2.三角形重心坐标公式 设ABC的三个顶点坐标分别为112233,A x yB xyC x y，G 为ABC的重心，则12312333GGxxxxyyyy 【典型例题分析】【例 1】已知点 A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标 3,0，且4,3APBP,求点 P 的坐标。变式练习：已知点 A（4、0），B（4、4），C（2、6），O 为坐标原点，求 AC 和 OB 交点 P 的坐标。P1

5、PP2Oxy的坐标表示及运算法则掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容知识点向量及其表示向量既有大小又有方向的量叫做向量向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示如读作向量向量也可以用两个大写英文字母上有大小的量叫做向量只有大小没有方向的量叫做标量向量与标量是两种不同类型的量要注意加以区分向量坐标的有关概念基本单位向量在平面直角坐标系内方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位记将向量的起点个垂直的向量分别乘以实数后组成的和式该的线线组这种向量的表示方法叫做向量的正交分解把有序实数对叫做向量的坐标记作和式称为向量的坐标运算设则向量的模设由两点间距离公式可求的向量的模注意向

6、量的大小可以用向量 【例 2】已知 24,3,23,4abab，求,a b的坐标。变式练习：若向量a（、），b（、），c=（1、2），则c=（）A）21a+23b B）21a23b C）23a21b D）23a+21b 【例 3】设向量,a b cR，化简：（1）abcabcbc （2）2222abcabc 的坐标表示及运算法则掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容知识点向量及其表示向量既有大小又有方向的量叫做向量向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示如读作向量向量也可以用两个大写英文字母上有大小的量叫做向量只有大小没有方向的量叫做标量向量与标量是两种不同类型的量要注意加以区分

7、向量坐标的有关概念基本单位向量在平面直角坐标系内方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位记将向量的起点个垂直的向量分别乘以实数后组成的和式该的线线组这种向量的表示方法叫做向量的正交分解把有序实数对叫做向量的坐标记作和式称为向量的坐标运算设则向量的模设由两点间距离公式可求的向量的模注意向量的大小可以用向量 【例 4】已知向量 2,3a，点 A 2,1，若向量AB与a平行，且2 13AB，求向量OA的坐标。【解析】本题中放入两个条件，要求两个变量，只需列出方程组，求解即可。变式练习：1、2、1），（1、3），（3、4），D（2、2），则（）A）ABBC B）AB=DC C）ABDC D

8、）AC=（，3）2 若向量a=（2、m）与b=（m、8）的方向相反，则 m=【例 5】在直角坐标系内 124,3,2,6PP，点P在直线12PP上，且122PPPP,求出P的坐标。变式练习：已知a=AB，B（1、0），b=（3、4），c（、），且a=3bc，求点的坐标。【例 6】已知 32,5,9,2atbt，若ab，求a，b的坐标。的坐标表示及运算法则掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容知识点向量及其表示向量既有大小又有方向的量叫做向量向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示如读作向量向量也可以用两个大写英文字母上有大小的量叫做向量只有大小没有方向的量叫做标量向量与标量是两种

9、不同类型的量要注意加以区分向量坐标的有关概念基本单位向量在平面直角坐标系内方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位记将向量的起点个垂直的向量分别乘以实数后组成的和式该的线线组这种向量的表示方法叫做向量的正交分解把有序实数对叫做向量的坐标记作和式称为向量的坐标运算设则向量的模设由两点间距离公式可求的向量的模注意向量的大小可以用向量变式练习：1、已知a=（1，2），b=（x，1），且a+2b与 2ab平行，则 x=（）A）2 B）1 C）31 D）21 2、下列命题：ab存在唯一的实数，使得ab；ab存在不全为零的实数1和2，使得1a2b0；a、b不平行若1a2b0，则120；a、b不

10、平行不存在实数1和2，使得1a2b0。其中正确的命题是（）A)B)C)D)3、若三点 P（1、1），A（2、4），B（x、9）共线，则（）A）x=B）x=3 C）x=29 D）x=51 【例 7】如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为 1,1,5,3,4,5，直线lAB于D，且直线l平分ABC的面积，求D点的坐标。变式练习：若 D、E、F 分别是ABC 的三边 AB、BC、CA 上的动点，且它们在初始时刻分别从 A、B、C 出发，各以一定速度沿各边向 B、C、A 移动，当 t=1 时，分别到达 B、C、A。求证：在 0t1 的任何一时刻 t1，DEF 的重心不变。y F E A D B x 的坐

11、标表示及运算法则掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容知识点向量及其表示向量既有大小又有方向的量叫做向量向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示如读作向量向量也可以用两个大写英文字母上有大小的量叫做向量只有大小没有方向的量叫做标量向量与标量是两种不同类型的量要注意加以区分向量坐标的有关概念基本单位向量在平面直角坐标系内方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位记将向量的起点个垂直的向量分别乘以实数后组成的和式该的线线组这种向量的表示方法叫做向量的正交分解把有序实数对叫做向量的坐标记作和式称为向量的坐标运算设则向量的模设由两点间距离公式可求的向量的模注意向量的大小可以用向

12、量 【例 8】如图，已知点12,P P的坐标分别为 1122,x yxy，点P的坐标为2121,xx yy 求证：12OPPP.变式练习：已知点 O（0、0），A（1、2），B（4、5）及OP=OA+tAB，试问：1）t 为何值时，P 在 x 轴上？在 y 轴上？P 在第二象限？2）四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由。【例 9】（1）若1,1,OAB点的坐标1,2tt，求AB最小值。（2）若 sin,cos,2cos,3ab，且ab，求的值。变式练习：yxoP1P2P的坐标表示及运算法则掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容知识点向量

13、及其表示向量既有大小又有方向的量叫做向量向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示如读作向量向量也可以用两个大写英文字母上有大小的量叫做向量只有大小没有方向的量叫做标量向量与标量是两种不同类型的量要注意加以区分向量坐标的有关概念基本单位向量在平面直角坐标系内方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位记将向量的起点个垂直的向量分别乘以实数后组成的和式该的线线组这种向量的表示方法叫做向量的正交分解把有序实数对叫做向量的坐标记作和式称为向量的坐标运算设则向量的模设由两点间距离公式可求的向量的模注意向量的大小可以用向量1、已知a=（2、3），b=（5、6），则|a+b|=，|ab 2、已知|

14、a|=3，|b|=4，|c|=5，则|abc|的最大值为 ；最小值为 。【课堂小练】1、设 A、B、C、D 四点坐标依次是（、），（、），（、），（、），则四边形 ABCD 为（）A）正方形 B）矩形 C）菱形 D）平行四边形 2、设a=（23、sin），b=（cos、31），且ab，则锐角为（）A）300 B）600 C）450 D）750 3、若 A、B、C、D 四点共线，且依次排开，C 是 BD 的中点，AB=m，AC=n，则AD=（）A）2mn B）2nm C）nm D）m+n 4、在三角形 ABC 中，已知AB=a，CA=c，O 是ABC 的重心，则OB+OC=5、若a=（2、3），

15、b（、），c（、），且c=ma+nb，则 m=；n=；6、在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 的中点，若AB=a，AD=b，试以a、b为基底表示DE和BF。【课后练习】一、基础巩固 1.已知 2,1OA,点1,3B,OCAB,则点C的坐标为 （）A 3,2 B 2,1 C 2,3 D 1,2 2.若非零向量 1122,ax ybxy则ab是1122xyxy的 （）A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 3.已知 1,2,4axbx，而12cab，且3c，则实数x的值为（）A 1 或2 B 1或 2 C 1 D 2 4.已知 2,5

16、,2aba，若b与a反向，则b等于 （）A 4,10 B 4,10 C 51.2 D 51,2 5.如图，点 O是正六边形 ABCDEF 的中心，与向量 AB平行且模也相等的向量有（）A,CO OF DE B,CO OC OF FO DE ED C,CO CF OF DE D,BA CO OC OF FO DE ED 6.ABC中，若 1,1,3,5,8,3ABC,G 是ABC的重心，则GA的坐标是（）ABCDEFO的坐标表示及运算法则掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容知识点向量及其表示向量既有大小又有方向的量叫做向量向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示如读作向量向量也可

17、以用两个大写英文字母上有大小的量叫做向量只有大小没有方向的量叫做标量向量与标量是两种不同类型的量要注意加以区分向量坐标的有关概念基本单位向量在平面直角坐标系内方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位记将向量的起点个垂直的向量分别乘以实数后组成的和式该的线线组这种向量的表示方法叫做向量的正交分解把有序实数对叫做向量的坐标记作和式称为向量的坐标运算设则向量的模设由两点间距离公式可求的向量的模注意向量的大小可以用向量 的坐标表示及运算法则掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容知识点向量及其表示向量既有大小又有方向的量叫做向量向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示如读作向量向量也可以用两个大写英文字母上有大小的量叫做向量只有大小没有方向的量叫做标量向量与标量是两种不同类型的量要注意加以区分向量坐标的有关概念基本单位向量在平面直角坐标系内方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位记将向量的起点个垂直的向量分别乘以实数后组成的和式该的线线组这种向量的表示方法叫做向量的正交分解把有序实数对叫做向量的坐标记作和式称为向量的坐标运算设则向量的模设由两点间距离公式可求的向量的模注意向量的大小可以用向量