倒立摆仿真及实验报告论文自然科学文章_论文-自然科学文章.pdf

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1、 最优控制实验报告 五年一月 目录 第1章一级倒立摆实验.错误!未定义书签 一级倒立摆动力学建模.错误!未定义书签 一级倒立摆非线性模型建立.错误!未定义书签 一级倒立摆线性模型建立.错误!未定义书签 一级倒立摆t/犬态调节器仿真.错误!未定义书签 一级倒立摆t 8状态调节器实验.错误!未定义书签 一级倒立摆仁输出调节器仿真.错误!未定义书签 一级倒立摆t 8输出调节器实验.错误!未定义书签 一级倒立摆非零给定调节器仿真.错误!未定义书签 一级倒立摆非零给定调节器实验.错误!未定义书签 第2章 二级倒立摆实验 .错误!未定义书签 二级倒立摆动力学模型.错误!未定义书签 二级倒立摆非线性模型建立

2、.错误!未定义书签 二级倒立摆线性模型建立.错误!未定义书签 二级倒立摆t 8状态调节器仿真.错误!未定义书签 二级倒立摆t 8状态调节器实验.错误!未定义书签 二级倒立摆t 8输出调节器仿真.错误!未定义书签 二级倒立摆t 8输出调节器实验.错误!未定义书签 二级倒立摆非零给定调节器仿真.错误!未定义书签 二级倒立摆非零给定调节器实验.错误!未定义书签倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二

3、级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统第 1 章一级倒立摆实验 1.1 一级倒立摆动力学建模 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和 匀质杆组成的系统，如图所示 M小车质量kg；m摆杆质量kg；b小车摩擦系数0.1N/m/sec；l摆杆转动轴心到杆

4、质心的长度；i摆杆惯量kg m；摆杆与垂直向上方向的夹角，规定角度逆时针方向为正;x小车运动位移，规定向右为正。1.1.1 一级倒立摆非线性模型建立 采用拉格朗日方法，系统的拉格朗日方程为：L q,q T q,q V q,(1.1)其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二

5、级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统d_L 水q fi为系统沿该广义坐标方向上的外力,fi(1.2)q 在本系统中，系统的两个广义坐标分 T TM Tm1 M*2 1 m1l1 X，cos(1.3)(1.4)(1.6)统的势能。拉格朗日方程由广义坐标 q和L表示为:别为和 x。系统动能:系统的势能 V m1gl1 cos 由于在广

6、义坐标1上应用拉格朗日方程，由于此广义坐标上无广义力，则(1.5)得到:ml*cos mgl sin I ml2 在simulink中建立非线性仿真动力学模型 图 1-2 一级倒立摆非线性动力学模型 其中MATLAB Function模块中代码如下:fun cti on dw=fcn(u,phi)I=；m=;l=；g=;dw=(m*g*l*sin(phi)+m*l*u*cos(phi)/(I+m*l*l);倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立

7、摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统1.1.2 一级倒立摆线性模型建立 1 由(1.6)，且对于质量均匀分布的摆杆有I-ml2，将丨0.25m 代入有 3|3(#cos gsin)(1.7)将其在平衡位置 0处进行线性化

8、，cos 1,sin，且有g 9.831m/s2 得到|29.493 3#(1.8)输入 u X，将系统写为如下状态空间描述形式 x 0 1 0 0 x 0 X 0 0 0 0 X 1 1 u 0 0 0 1 0 0 0 29.493 0 1 3 (1.9)X X 1 0 0 0 X 0 y u 0 0 1 0 0 在simulink中建立线性仿真动力学模型，只需将错误!未找到引用源。里建 立的非线性模型中MATLAB Function模块代码更改为 dw=*phi+3*u;1.2 一级倒立摆 t 劇犬态调节器仿真 对于线性定常系统的状态方程为 X(t)Ax(t)Bu(t)(1.10)给定初始

9、条件X to Xo，终端时间 tf。求最优控制u*t使系统的二次 型性能指标 1 J x(t)Qx(t)u(t)Ru(t)dt(1.11)2 to 取极小值。式中 A,B,Q,R常数矩阵；Q 半正定对称阵；R正定对称矩阵。控制不受约束，最优控制存在且唯一，即 u(t)R 1B Px(t)Kx(t)(1.12)式中，P为 n n 维正定常数矩阵，满足里卡提矩阵代数方程 倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错

10、误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统PA ATP PBR1BTP Q 0(1.13)对于线性定常系统无限时间状态调节器问题，要求系统完全能控。求解出上 方程，即可得到最优控制U*(t)0 试验中的一级倒立摆模型可以线性化为定常系统，其中系数矩阵为 0 1 0

11、0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 A ；B ；C；D 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 公式(1.11)0 0 29.493 0 R值，3 为半正定矩阵，R1xi为正定矩阵，通 中选疋不同的 Q QX4 过求解代数黎卡提方程(利用 Matlab里面的lqr函数)可以得到最优控系数 K lqr A,B,Q,R(1.14)控制率为 u(t)Kx(t)(1.15)Q R的形式可设计为 Q11 Q22 Q,R 1(1.16)Q33 Q44 因为二次型最优控制是使得二次型性能指标取极小值，故只需改变Q矩阵中 元素的值即可，不用改变 R的取值，即只要保证Q与R的相对大小即可。其中，Q矩

12、阵中Q1代表小车位置的权重，Ch代表小车速度的权重，Ch代表摆杆角度的 权重，Q44为摆杆角速度的权重。仿真实验模型如下 图 1-3仿真实验模型 倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立

13、摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统 Q11=2 -Q11=20 Q11=200 -Q11=1000 :1 J*d 1/设定角度初始值为10,角速度与小车速度初值均为0。下面按照一定的依 据选取Q中非零元素的值进行仿真实验，并进行分析。取一组标准值方便对比 QI=Q2=Q3=Q4=2。响应曲线如下图，在后续研究中，若无特殊说明 Q中元素分别 取此标准值。考虑到实际系统中小车轨道长度有限，取上述参数时发现位置相对 零点波动的绝对值最大达到了以上，这在实际系统中是难以正常进行试验的，

14、所 以要对参数进行调整改进，下面分别研究各个参数变化时对系统响应的影响。图 1-4 Q 11=Q2=Q3=Q4=2 时角度与位置变化曲线(1)分析小车位置的权重对于响应曲线的影响。其他参数不变的情况下，小车位置权重 Qi分别取为2、20、200、1000时观 察角度与位置变化曲线如 错误!未找到引用源。错误！未找到引用源。所示。图 1-5位置权重对响应的影响 由错误!未找到引用源。可以看出，随着Q1的增加，角度变化曲线的稳态时 间缩短，但超调量有所增大；位置变化曲线特性改进明显，稳态时间与绝对的超 调值都显著减小，可见增大Q1的值会改进系统特性。(2)分析小车速度的权重对响应曲线的影响 小车速

15、度权重Ch分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化 曲线如错误!未找到引用源。所示 角度变化曲线 位置变化曲线 t(s)角度变化曲线 10-5-10 t(s)位置变化曲线 t(s)倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒

16、立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统10 Q22=2 Q22=20 Q22=200 Q22=1000 X./200、1000时得到角度与位置随时间变化 10 8 Q33=2 -Q33=20-6 -Q33=200 -Q33=1000-4 2 0 -2 -4 图 1-6小车速度权重对响应曲线的影响 随着Q22的增大，角度曲线特性得到一定改善，绝对超调减小，且稳态时间 减小；但对于小车位置曲线来说，虽然绝对超调变小了，但很明显稳态时

17、间大大 增加了，由于Q22代表的是小车的速度权重，可以类比为引入了阻尼项，减小超 调的同时会增大稳态时间，这是我们并不希望的。故而 Qh的值不能太大，要保 证Qh取值不超过Qi。分析摆杆角度的权重对响应曲线的影响 小车速度权重Q3a分别取为2、20、曲线如错误!未找到引用源。所示 角度变化曲线 t(s)t(s)图 1-7摆杆角度权重对响应曲线的影响 随着Q33的增大，角度曲线的绝对超调减小，但是相应的导致了稳态时间的 增加；小车位置相应曲线超调减小，同样的也是稳态时间增加了。而且可以看出，Q33对小车位置曲线的影响远不如 Q1和Qh对小车位置响应的影响。(4)分析摆杆角速度的权重对响应曲线的影

18、响 小车速度权重Q4分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化 曲线如错误!未找到引用源。所示 由错误!未找到引用源。可知，随着Q4的增大，角度变化曲线稳态时间有一 定程度的增加，曲线变化稍见平缓，即曲线斜率的最大值变小了，但绝对超调基 本没变；小车位置的响8 6 4 2 0-2-4 t(s)角度变化曲线 位置变化曲线 0 t(s)位置变化曲线 0 2 4 6 8 10 倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书

19、签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统应特性随 Q4的增大而变坏，绝对超调大幅上升，稳态时 倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出

20、调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统Qi 与 Q3 Q2 与 Q4 总的来说 间也明显变长。所以 Q4的值不能取的太大。要注意的是，Q4取值变化过程中Q 矩阵其他元素取的均为上文

21、所提标准值，标准值取的是很小的，所以在确定参数 时，只要保证Q44的值不能比Q33大即可，的依据，不能直接根据上图的曲线进行选择。角度变化曲线 图 1-8摆杆角速度权重对响应曲线的影响 以上分析为Q矩阵中非零元素的选取提供了一定的依据，的值越大越好，但过大的话可能会对执行器即电机提出过高的要求，而 的取值尽量不能比其他两个元素值大。1.3 一级倒立摆 t 劇犬态调节器实验 根据以上分析，选取几组实物实验Q矩阵中的元素值，并将仿真结果与之对 比如错误!未找到引用源。至错误!未找到引用源。所示，对比仿真结果与实验结 果的异同，分析产生此现象的原因。由于仿真与实物实验的初始条件很难做到完 全一致，如

22、对于实物实验来说，由于编码器为一相对式码盘，所以倒立摆稳定状 态为-而不是仿真实验中的0 rad，而且由于实物实验中倒立摆是由下垂状态 人为慢慢上摆至满足倒立摆稳定系统起控条件的，在缓慢移动过程中，很难做到 倒立摆起控时摆杆的角速度为0,即初始条件难以精确确定。所以只需比较仿真 与实物实验得到的曲线特性中如绝对超调，稳态时间即可。此外，在实验过程中，可以发现倒立摆摆杆转动到大概为平衡位置附近 10时，倒立摆起控，这样在 处理实验数据时可以将起控之前的无控状态去掉，只将有效的部分画出来即可，方便观察曲线特性。表 1-1状态调节 Q 矩阵中非零元素不同取值 Q1 Q2 Q3 Q4 第一组 1000

23、 1000 100 100 第二组 100 100 1000 1000 第三组 1000 1000 1000 1000 t(s)m x t(s)倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆

24、非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统 角度变化曲线（仿真）角度变化曲线（实验）位置变化曲线（实验）图1-9第一组状态调节器参数下响应图 角度变化曲线（仿真）位置变化曲线（仿真）10-165-170-175-180 5 t（s）图 1-10第二组状态调节器参数下响应图 t(s)倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签

25、第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统X Ax t Bu t 1(1.17)y Cx t X0，终端时间 tf。求最优控制u*（t），使系统的二次 给定初始条件x（t。）型性能指标为 J(1.18)图 1-11第三组状态调节器参数下响应图 第

26、一组参数下，仿真与实物实验得到的曲线特性吻合较好，稳态时间与绝对 超调量都比较相近；但第二组参数位置曲线的超调相差较大，分析原因可能是在 将倒立摆扶至起控位置左右时没有缓缓转动导致起控时摆杆有一定的角速度，初 始条件相差较大导致曲线相差较大；第三组参数下实物实验得到的角度与位置曲 线都存在稳态误差，尤其是位置误差为5cm左右，误差比较大，分析原因可能是 系统的硬件问题，因为就算法来说，状态调节器是不可能将末态稳定在非零点出 的。1.4 一级倒立摆 t 4 俞出调节器仿真 对于线性定常系统 1-t y(t)Q(t)y(t)u(t)R(t)u(t)dt 2 t0 10 角度变化曲线（仿真）5 0-

27、5 5 t(S)10 0 位置变化曲线（仿真）t(s)-165-170-175-180 10 5 t(s)r 1 I 角度随时间变化曲线 位置随时间变化曲线 t(s)倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错

28、误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统(1.19)CTQC(1.22)要求系统完全能观测，且控制不受约束。则可求解代数黎卡提方程得到正定 对称矩阵P PA ATP PBR 1BTP CTQC 0 最优控制存在且唯一 u(t)R 1B Px(t)(1.20)此时倒立摆系统的 Q 为2X2阶的，若设计(1.21)10 0 0 C 0 0 10 所以在给定Q的上述形式后可以发现，输出调节器和的代数黎卡提方程的形 式与状态调节器时是一致的，只需将状态调节器中Q的第二行第

29、二列和第四行第 四列的元素值设置为零，调节Q1和Q3计算出的反馈比例系数既是输出调节器下 的反馈系数。设定标准状态为Q1=Q3=100,选取不同的参数进行仿真并对比曲线特性。如 至所示 角度变化曲线 位置变化曲线 t(s)t(s)图 1-12输出调节器下小车位置权重对曲线的影响 上图为当Q3=100,时Q1分别取10、100和1000时的响应曲线，可以看出,增大小车位置的权重可有效缩短稳态时间，并减小小车位置变化曲线的绝对超 Q 倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立

30、摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统10 10 5 t(s)t(s)图 1-13输出调节器下摆杆角度权重对曲线的影响 Q1=100,Ch分别取10、100、1000时摆杆角度和小车位置的响应曲线如

31、上 图，提高Q3的值可减响应曲线的超调，对角度曲线的稳态时间无大的影响，但 会增加位置响应的稳态时间。1.5 一级倒立摆 t 注俞出调节器实验 选取几组实物实验Q矩阵中的元素值，如 错误!未找到引用源。所示。得到 各组参数下摆杆角度和小车位置响应如至所示。表 1-2输出调节实验选定参数 Q1 Q3 第一组参数 1000 100 第二组参数 100 1000 第三组参数 1000 1000 角度变化曲线(实验)位置变化曲线(实验)图 1-14输出调节器第一组参数下响应曲线角度变5-5-10 Q33=10 Q33=100 Q33=1000 0 位置变化曲线)m x 倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线

32、性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统 图 1-15输出调节器第

33、二组参数下响应曲线 角度变化曲线（实验）位置变化曲线（实验）图 1-16输出调节器第三组参数下响应曲线 由错误!未找到引用源。至错误!未找到引用源。可以看出，各组参数下响应 的稳态时间与绝对超调指标都相当好，对比发现甚至优于仿真结果，分析原因与 上相同即在手动将摆杆转动至起控位置时可能没有把握好摆杆角速度的变化，导 致角速度初值过大，分析可以发现当摆杆角速度有一定初值且方向与手动摆起的 旋向一致时，是利于倒立摆的摆起的，所以响应曲线性能变好。1.6 一级倒立摆非零给定调节器仿真 从本质上来说，非零给定点调节器是基于传统的传递函数的角度来分析的。非零给定调节器指的是给定一个位置信息，使得倒立摆稳

34、定后小车稳定在给定的 位置上。则可以将小车位置作为输出，小车加速度作为输入，系统要做的是使输 出值与输入值相等。引入状态反馈后的系统传递函数矩阵为（s）C（sl A BK）1B（1.23）注意到其为一 2 1 的矩阵，对应的为单输入双输出系统，输入是小车加速度，输出是小车位置及摆杆角度。当系统稳定即时间趋于无穷时，由拉普拉斯终值定 角度变化曲线（实验）位置变化曲线（实验）t(S)倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级

35、倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统(0)-0.0316 理可知传递函数变为(0)C(A BK)1B(1.24)此可以视作闭环系统的直流增益，简单的说就是一比例系数，第一行第一列 为输出到小车位置的直流增益，一般情况下是不为1的，这就引出了非零给定

36、调 节器的问题。当利用Iqr算法求出反馈系数矩阵K时，计算出(0)，并将第一 行第一列的元素取倒数表示为ii1(0)，将给定的位置与此数相乘后再作为输入来 控制小车，这样既可以达到非零给定的目的，错误!未找到引用源。已经simulink 模块实现展示，i1(0)即为错误!未找到引用源。中的Wc(0)A-1 o 由上文中对状态调节器和输出调节器的仿真及实物实验可以看出，当改变Q 矩阵中代表小车速度和摆杆角速度元素的值为非零时，可以改善响应的阻尼特 性，但同时会使稳态时间特性受到较大影响。非零给定点的仿真中采用输出调节 器的形式。选取Q1=1000,Q3=200，期望小车稳定位置yd=o 计算出状

37、态反馈矩阵K=，代入公式(1.24)求得 111(0)31.6228 仿真结果如错误!未找到引用源。所示。图 1-17非零给定输出调节器响应曲线 小车位置稳定在距离原点处。可以发现求出的(0)中21(0)为零，且已知 21(S)代表输入为加速度，输 出为摆杆角度的传递函数，传递函数有零点，21(0)没有意义，这在实际物理系 统中也是明确的，即不能使二次型最优控制下的倒立摆系统摆杆稳定在不平衡的 位置。细心观察还可以发现，1；(0)就等于反馈矩阵K中的第一个元素。角度变化曲线(仿真)位置变化曲线(仿真)倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真

38、错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统165 r r 170 A 175 i 180 0 1 2 3 4 5 1.7 一级倒立

39、摆非零给定调节器实验 参数与仿真中一致，得到实物实验下非零给定调节器的小车位置及摆杆角度 曲线如错误!未找到引用源。所示 图 1-18非零给定调节器实物实验响应曲线 第 2 章二级倒立摆实验 2.1 二级倒立摆动力学模型 为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体 倒立摆参数定义如下:角度变化曲线（实验）t G)位置变化曲线（实验）图 2-1直线两级倒立摆物理模型 倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书

40、签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统L(q,T(q,q)V(q,)g L dt(2.1)|i qi X,1,2。(2.2)其中，TM为小车动能,Tm1为摆杆1的动能，Tm2为摆杆2动能,Tm3为质量块动 1)sin 2 2m4cos1(2

41、.4)M小车质量；m-摆杆1的质量，为；m摆杆2的质量，为；m-质量块的质量，为；11 摆杆1中心到转动中心的距离，为；12 摆杆2中心到转动中心的距离，为；1 摆杆1与竖直方向的夹角，规定逆时针为正;2 摆杆2与竖直方向的夹角，规定逆时针为正;F作用在系统上的外力；2.1.1 二级倒立摆非线性模型建立 利用拉格朗日方程推导运动学方程:拉格朗日方程为：其中，L为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系统的 势能。i 1,2,.,n，fi为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统 的三个广义坐标分别是 系统动能 T TM Xrd Tm2 Tm3 能。系统势能 经过推导，

42、可得用1,IL 2,L，X 表示的如下:11 3 2ggsin 1 4mbgsin 1 4mhgsin 1 3m2gcos(2 6m?l1 cos(2 1)sin(1 2)1 4mzl2sin(1 2)4%X cos 1 4msXcos 1 3mi2 cos(1 2)cos 2/2 2l1(4m,12m2 12ms 9mt cos(1 2)V Vm1 Vm2 Vm3 g gh COS 1 2m3g11cos 1 m2g(211cos 1 I2COS 2)(2.3)倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验

43、一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统 2 4m2【mi 3(m)2 9 m2l i2l 2 cos(i 3 6/m2(mi 3m2 9 2 2 m3)l1 l2

44、3gsin 2 6l1 h sin(2)6 m22 2 2 sin(i 2)3(mi 3m3)l21 4mfl12l|cos2(1 2.1.2 二级倒立摆线性模型建立 i 2)3*cos 2 2m2 2m3)(gsin 1 2)将其在平衡位置处进行泰勒展开并线性化，可以得到状态空间方程如下:0 0 0 1 0 0:X 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 2 0 X 0 0 0 0 0 0:X 1 0 K12 K13 0 0 0 1 K17 12 0 K22 K23 0 0 0 2 K27 X 0 1 0 0 2 0 u 0 0 1 I2 1 0 0 0 0 0

45、10 0 0 0 0 10 0 K17 2(4g 3m2 9m2g 12m3)h 2(4g 3 m2 12m3)h 3(2m1 m2 4m3)3(2gm)1 4gm（3）21.62 4gm)2 86.69 6.64 K22 K23 2(4m 3m2 12m3)l1 2g(m1 2m2 2m3)T-6 I T-2 2 9 -八 4g(m,3 m2 3 m3)4m2l2(mi 3m2 3m3)/l2 16 34m2l2(m1 2(叶 2m2 2m3)K27 40.31 39.45 3m2 3m3)/12 16 4m2l2(g 3m2 3m3)l2-(mi 3m2 m3)3 0.088 Xcos J

46、/(2.5)(2.6)(2.7)倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级

47、倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统Q33 Q44(2.8)2.2 二级倒立摆 t 劇犬态调节器仿真 二级倒立摆的状态调节器在原理上是与一级倒立摆相同的，故在此不再赘 述。关键还是求解代数黎卡提方程 P,进而求得反馈矩阵K。二级倒立摆系统的 状态空间方程已由公式（2.6）给出。状态调节器的二次型最优性能指标中的 Q矩 阵与R矩阵形式如为 Q11 Q66 只需改变Q矩阵中非零元素的值，即可求得不同性能指标下的反馈矩阵。其 中Qi代表小车位置的权重，Ch代表摆杆1角度的权重，Q3代表摆杆2角度的权 重，Q4代表小车速度的权重，Q5代表摆杆1角速度的权重，Q 6代表摆杆2角速 度的权重。系统的仿真

48、模型如错误！未找到引用源。所示，设定角度初值 10 3，20 5，小车位置，速度即摆杆1、2角速度初值均为0。其中动力学子模块如下图 2-2二级倒立摆仿真模型 倒立摆非线性模型建立一级倒立摆线性模型建立错误未定义书签错误未定义书签一级倒立摆犬态调节器仿真错误未定义书签一级倒立摆状态调节器实验一级倒立摆仁输出调节器仿真一级倒立摆输出调节器实验一级倒立摆非零给定调定义书签第章二级倒立摆实验错误未定义书签二级倒立摆动力学模型错误未定义书签二级倒立摆非线性模型建立二级倒立摆线性模型建立二级倒立摆状态调节器仿真二级倒立摆状态调节器实验二级倒立摆输出调节器仿真二级倒立摆错误未定义书签错误未定义书签错误未定

49、义书签二级倒立摆非零给定调节器实验错误未定义书签第章一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统 图 2-3动力学子模块 为用m文件建立的动力学方程，即公式（2.4）、（2.5）。内容如下:fun cti on dw=Iip2_lqr_fc n(par)ml=;m2=;m3=;11=;12=;g=;theta1=par(1);d_theta1=par(2);theta2=par(3);d_theta2=par；u=par(5);cl=(2*I1*(-4*m1-12*m2-12*m3+9*m2*cos(theta1-theta

50、2)A2);al=-2*m1*g*si n(theta1);a2=-4*m2*g*si n(theta1);a3=-4*m3*g*si n(theta1);a4=3*m2*g*cos(theta2-theta1)*si n(theta2);a5=6*m2*I1*cos(theta1-theta2)*si n(theta1-theta2)*d_theta1A2;a6=4*m2*I2*si n(theta1-theta2)*d_theta2A2;a7=-2*m1*u*cos(theta1);a8=-4*m2*u*cos(theta1);a9=-4*m3*u*cos(theta1);a10=3*m2