基本计数原理概念及例题中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

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1、 基本计数原理 分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 Mi种不同的方法，在第二类办 法中有 M2种不同的方法，在第 N 类办法中有 MN种不同的方法，那么完成这件事情共有 Mi+M 2+MN种不同的方法。2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N 个步骤，做第一 步有 mi 种不同的方法，做第二步 有 M2不同的方法，做第 N 步有 MN不同的方法 那么完成这件事共有 N=M 1M2.MN种不同的方法。3、排列：从n个不同的元素中任取 m(mw n)个元素，按照.一定顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取 出m个元素的一个排列 4、排列数：从n个不同元素

2、中取出 m(际n)个元素排成一列，称为从 n个不同元素中取出 m个元素的一 个排列 从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列数，用符号 Am表示。Am n(n 1)(n m 1)(m n,n,m N)(n m)!5、公式：A nAmi1 6、组合:从n个不同的元素A任取Ammcn个元素并成一组1A叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合。10、二项式系数C；为二项式系数(区别于该项的系数)11、杨辉三角：(1)对称性：C Cn r r 0,i,2,n(2)系数和：Cn Cn G 2n(3)最值：n 为偶数时，n+i为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 n 7、公式：CC m AA；n(n

3、(n i)i)(n(n mmi)i)nAAm mb!C C m n!n!n m!rfp(n m)h)!m n m.C n C n；Cn 8、二项式定理：(a b)n C0an C；anib C 討2b2 C：anrbr C：bn 展开式的通项公式：Tr i cnan rbr(r 0,i.n)n 2 i 项，二项式系数为 C2；n 为奇数时，(n i)为偶数，中间两项的二项式 n 1 n 1 系数最大即第项及第i项，其二项式系数为 cF cF 2 2 排列组合例题 1.（2010?山东潍坊）6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为（）A.40 B.50 C.60 D

4、.70 答案B 解析先分组再排列，一组 2 人一组 4 人有 C26=15 种不同的分法；两组各 3 人共有 C36A22=10 种不 同的分法，所以乘车方法数为 25X 2=50,故选 B.2.有 6 个座位连成一排，现有 3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 答案C 解析恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共 A33A24=72 种排法，故选 C.3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的 四位数有（）A.6 个 B.9 个

5、C.18 个 D.36 个 答案C 解析注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 C13=3（种）选法，即 1231,1232,1233而每种选择有 A22X C23=6（种）排法，所以共有 3 X 6=18（种）情况，即这样的四位数有 18 个.4.男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有（）A.2 人或 3 人 B.3 人或 4 人 C.3 人 D.4 人 答案A 解析设男生有 n 人，则女生有（8-n）人，由题意可得 C2nC18-n=30,解得 n=5 或 n=6,代入验证，可知女

6、生为 2 人或 3 人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三 楼用 8 步走完，则方法有（）A.45 种 B.36 种 C.28 种 D.25 种 答案C 解析因为 10+8 的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步，一步两个台阶的有 2 步，那么共有 不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事情共有种不同的方法分步乘法计数原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法做第二步有不同的方法做第步有不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法不同元素中取出际个元素排成一列称为从个不同元素中取出个元素的一个排列从个不同

7、元素中取出个元素的一个排列数用符号表示公式组合从个不同的元素任取个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合公式二项式中间一项的二项式系数最大且为第项二项式系数为为奇数时为偶数中间两项的二项式系数最大即第项及第项其二项式系数为排列组合例题车每辆车最多坐答案山东潍坊个人分乘两辆不同的汽人则不同的乘车方法数为解析先分组再排C28=28 种走法.6.某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个 部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A.24 种 B.36 种 C.38 种 D.108 种 答案B 解析本题考查

8、排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二 步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一组 2 人，共有 C13 种分法，然后再分到两部门去共有 C13A22 种方法，第三步只需将其他 3 人分成两组，一组 1 人另一组 2 人即可，由于是每个部门各 4 人，故分组 后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 C13 种方法，由分步乘法计数原理共有 2C13A22C13=36 种）.7.组合数 Crn（nr 1,n,r Z）恒等于（）A.r1n1Cr1n1 B.（n1）（r1）Cr1n1 C.nrCr1n1 D.nrCr 1n1 答案 D 解析TCrn=

9、n!r!X（n r）!=nx（n 1）!rx（r 1）!X（n 1）（r 1）!=nrCr 1n 1,故选 D.8已知集合 A=5,B=1,2,C=1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的 坐标，则确定的不同点的个数为（）A.33 B.34 C.35 D.36 答案 A 解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C12?A33=12 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C12?A33 A33=18 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C13=3 个.故共有符合条件的点的个数为 12183=33 个，故选 A.9.

10、（2010?四川理，10）由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（）A.72 B.96 C.108 D.144 答案 C 解析 分两类：若 1 与 3 相邻，有 A22?C13A22A23=72（个），若 1 与 3 不相邻有 A33?A33=36（个）故共有 7236=108 个.10.（2010?北京模拟）如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所 学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（）A.50 种 B.60 种 C.120 种 D.210 种 答案 C 解析 先安排

11、甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有 6 种：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7），甲任选一种为 C16，然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有 A25 种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C16?A25=120 种，故选 C.二、填空题 11.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事情共有种不同的方法分步乘法计数原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法做第二步有不同的

12、方法做第步有不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法不同元素中取出际个元素排成一列称为从个不同元素中取出个元素的一个排列从个不同元素中取出个元素的一个排列数用符号表示公式组合从个不同的元素任取个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合公式二项式中间一项的二项式系数最大且为第项二项式系数为为奇数时为偶数中间两项的二项式系数最大即第项及第项其二项式系数为排列组合例题车每辆车最多坐答案山东潍坊个人分乘两辆不同的汽人则不同的乘车方法数为解析先分组再排日和 2 日，不同的安排方法共有 _ 种.（用数字作答）答案 2400 解析 先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 A25=20（种）排法，其余

13、 5 人再进行排列，有 A55=120（种）排法，所以共有 20 x 120=2400（种）安排方法.12.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有 _ 种不同的 排法.（用数字作答）答案 1260 解析由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有 C49?C25?C33=1260 种）排法.13.（2010?江西理，14）将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个 不同场馆服务，不同的分配方案有 _ 种（用数字作答）.答案 1080 解析先将 6 名志愿者分为 4 组，共有 C26C24A

14、22种分法，再将 4 组人员分到 4 个不同场馆去，共有 A44 种分法，故所有分配方案有：C26?C24A22?A44=1 080 种.1 4(201 0?山东济宁)要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有 种不同的种法(用数字作答).答案 72 解析 5 有 4 种种法，1 有 3 种种法，4 有 2 种种法.若 1、3 同色，2 有 2 种种法，若 1、3 不同色，2 有 1 种种法，.有 4X 3X 2X(1X 2+1X 1)=72 种.三、解答题 15.(1)计算 C98100 C199200；求 20C5n+5=4(n+4)Cn 1n+3

15、+15A2n+3 中 n 的值.解析 C98100+C199200=C2100+C1200=100X 992+200=4950+200=5150.(2)20X(n+5)!5!n!=4(n+4)x(n+3)!(n 1)!4!+15(n+3)(n+2),即(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)6=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n6+15(n+3)(n+2),所以(n+5)(n+4)(n+1)(n+4)(n+1)n=90,即卩 5(n+4)(n+1)=90 所以 n2+5n 14=0,即 n=2 或 n=7.注意到 n 1 且 n Z,所以 n=2.点拨 在(1)中应用组合数性

16、质使问题简化,若直接应用公式计算,容易发生运算错误,因此,当 mn2 时，特别是 m 接近于 n 时，利用组合数性质 1 能简化运算.16.(2010?东北师大附中模拟)有一排 8 个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来 表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解析 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管 之间及两端的 6 个空上,共有 C36 种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有 2X 2 X 2=8

17、(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有 C36X 2X 2X 2=160(种).17.按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为 2,4,6 个；(2)平均分成 3 个小组；(3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间.解析 (1)C212C410C66=13 860(种)；(2)C412C48C44A33=5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间,故有 C412C48C44A33?A33=C412?C48?C44=34 650(种)不同的分法.18.6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法

18、共有多少种？(1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法？不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事情共有种不同的方法分步乘法计数原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法做第二步有不同的方法做第步有不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法不同元素中取出际个元素排成一列称为从个不同元素中取出个元素的一个排列从个不同元素中取出个元素的一个排列数用符号表示公式组合从个不同的元素任取个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合公式二项式中间一项的二项式系数最大且为第项二项式系数为为奇数时为偶数中间两项的二项式系数最大即第项及第

19、项其二项式系数为排列组合例题车每辆车最多坐答案山东潍坊个人分乘两辆不同的汽人则不同的乘车方法数为解析先分组再排(3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解析 (1)任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有 A66?A47 种不同排法.(2)方法一：甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有 A99 种排法,若甲不在末位,则甲有 A18 种排法,乙有 A18 种排法,其余有 A88 种排法,综上共有(A99+A18A182A88)种排法.方法二：无条件排列总数 A1010 甲在首，乙在末 A88

20、甲在首，乙不在末 A99 A88 甲不在首，乙在末 A99 A88 甲不在首乙不在末，共有(A1010 2A99+A88)种排法.10 人的所有排列方法有 A1010 种，其中甲、乙、丙的排序有 A33 种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有 A1010A33 种.(4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等，而 10 人排列数恰好是这二者 之和，因此满足条件的有 12A1010 种排法.(此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持)不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事情共有种不同的方法分步乘法计数原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法做第二步有不同的方法做第步有不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法不同元素中取出际个元素排成一列称为从个不同元素中取出个元素的一个排列从个不同元素中取出个元素的一个排列数用符号表示公式组合从个不同的元素任取个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合公式二项式中间一项的二项式系数最大且为第项二项式系数为为奇数时为偶数中间两项的二项式系数最大即第项及第项其二项式系数为排列组合例题车每辆车最多坐答案山东潍坊个人分乘两辆不同的汽人则不同的乘车方法数为解析先分组再排