成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式中学教育高考_中学教育-高考.pdf

《成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式中学教育高考_中学教育-高考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式中学教育高考_中学教育-高考.pdf（41页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 第一章 函数、极限和连续 1.1 函数 一、主要内容 函数的概念 1.函数的定义:y=f(x),xD 定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:21)()(DxxgDxxfy 3.隐函数:F(x,y)=0 4.反函数:y=f(x)x=(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。函数的几何特性 1.函数的单调性:y=f(x),xD,x1、x2D 当 x1x2时,若 f(x1)f(x2),则

2、称 f(x)在 D内单调增加()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D内单调减少()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D内严格单调增加()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x(-，+)周期：T最小的正数 4.函数的有界性：|f(x)|M,x(a,b)基本初等函数 1.常数函数：y=c，(c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a0、a1)4.对数函数：y=log

3、a x,(a0、a1)5.三角函数：y=sin x,y=con x y=tan x,y=cot x y=sec x,y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x,y=arccon x y=arctan x,y=arccot x 学习必备 欢迎下载 复合函数和初等函数 1.复合函数：y=f(u),u=(x)y=f(x),xX 2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 1.2 极 限 一、主要内容 极限的概念 1.数列的极限:Aynnlim 称数列 ny以常数 A 为极限;或称数列ny收敛于 A.定理:若ny的极限存在

4、ny必定有界.2.函数的极限：当x时，)(xf的极限：AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim 当0 xx 时，)(xf的极限：Axfxx)(lim0 左极限：Axfxx)(lim0 右极限：Axfxx)(lim0 函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000 无穷大量和无穷小量 1.无穷大量：)(limxf 称在该变化过程中)(xf为无穷大量。数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少

5、函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 X 再某个变化过程是指：,xxx000,xxxxxx 2.无穷小量：0)(limxf 称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3.无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)

6、(,)(1lim0)(limxfxfxf 4.无穷小量的比较：0lim,0lim 若0lim,则称是比较高阶的无穷小量；若clim（c 为常数），则称与同阶的无穷小量；若1lim，则称与是等价的无穷小量，记作：；若lim,则称是比较低阶的无穷小量。定理：若：；，2211 则：2121limlim 两面夹定理 1 数列极限存在的判定准则：设：nnnzxy（n=1、2、3）且：azynnnnlimlim 则：axnnlim 2 函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点 （点 x0除外）有：)()()(xhxfxg 且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00 则：Axfxx)

7、(lim0 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理

8、无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 极限的运算规则 若：BxvAxu)(lim,)(lim 则：BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim )0)(l i mxv 推论：)()()(lim21xuxuxun )(lim)(lim)(lim21xuxuxun)(lim)(limxucxuc nnxuxu)(lim)(lim 两个重要极限 1 1sinlim0 xxx 或 1)()(sinlim0)(xxx 2 exxx)11(lim exxx10)1(l i m 1.3

9、连续 一、主要内容 函数的连续性 1.函数在0 x处连续：)(xf在0 x的邻域内有定义，1o0)()(limlim0000 xfxxfyxx 2o)()(lim00 xfxfxx 左连续：)()(lim00 xfxfxx 右连续：)()(lim00 xfxfxx 2.函数在0 x处连续的必要条件：定理：)(xf在0 x处连续)(xf在0 x处极限存在 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函

10、数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 3.函数在0 x处连续的充要条件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx 4.函数在ba,上连续：)(xf在ba,上每一点都连续。在端点a和b连续是指：)()(lima

11、fxfax 左端点右连续；)()(limbfxfbx 右端点左连续。a+0 b-x 5.函数的间断点：若)(xf在0 x处不连续，则0 x为)(xf的间断点。间断点有三种情况：1o)(xf在0 x处无定义；2o)(lim0 xfxx不存在；3o)(xf在0 x处有定义，且)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx。两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx都存在。可去间断点：)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx，或)(xf在0 x处无定义。数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格

12、单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 2o第二类间断点：特点：)(lim0

13、xfxx和)(lim0 xfxx至少有一个为，或)(lim0 xfxx振荡不存在。无穷间断点：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一个为 函数在0 x处连续的性质 1.连续函数的四则运算：设)()(lim00 xfxfxx，)()(lim00 xgxgxx 1o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 2o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 3o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 0)(lim0 xgxx 2.复合函数的连续性：)(),(),(xfyxuufy )()(lim),()(lim0)(000 xfufxxxuxx 则：)()

14、(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 3.反函数的连续性：)(),(),(001xfyxfxxfy )()(lim)()(lim011000yfyfxfxfyyxx 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限

15、存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 函数在,ba上连续的性质 1.最大值与最小值定理：)(xf在,ba上连续)(xf在,ba上一定存在最大值与最小值。y y +M M f(x)f(x)0 a b x m -M 0 a b x a)有界定理：)(xf在,ba上连续)(xf在,ba上一定有界。3.介值定理：)(xf在,ba上连续在),(ba内至少存在一点 ，使得：cf)(，其中：Mcm y y M f(x)C f(x)0 a b x

16、m 0 a 1 2 b x 推论：)(xf在,ba上连续，且)(af与)(bf异号在),(ba内至少 存在一点，使得：0)(f。b)初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限

17、函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分 一、主要内容 导数的概念 1导数：)(xfy 在0 x的某个邻域内有定义，xxfxxfxyxx)()(l i ml i m0000 00)()(lim0 xxxfxfxx 00)(0 xxxxdxdyxfy 2左导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 右导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 定理：)(xf在0

18、x的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在；则：)(lim)(00 xfxfxx （或：)(lim)(00 xfxfxx）3.函数可导的必要条件：定理：)(xf在0 x处可导)(xf在0 x处连续 4.函数可导的充要条件：定理：)(00 xfyxx存在)()(00 xfxf，且存在。5.导函数：),(xfy ),(bax )(xf在),(ba内处处可导。y )(0 xf )(xf 6.导数的几何性质：y )(0 xf 是曲线)(xfy上点 x 00,yxM处切线的斜率。o x0 x 求导法则 1.基本求导公式：2.导数的四则运算：数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也

19、是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 1o vuvu)（2o vuvu

20、vu)（3o 2vvuvuvu )0(v 3.复合函数的导数：)(),(),(xfyxuufy dxdududydxdy，或)()()(xxfxf 注意)(xf与)(xf的区别：)(xf表示复合函数对自变量x求导；)(xf表示复合函数对中间变量)(x求导。4.高阶导数：)(),(),()3(xfxfxf或 )4,3,2(,)()()1()(nxfxfnn 函数的 n 阶导数等于其 n-1导数的导数。微分的概念 1.微分：)(xf在x的某个邻域内有定义，)()(xoxxAy 其中：)(xA与x无关，)(xo 是比x较高 阶的无穷小量，即：0)(lim0 xxox 则称)(xfy在x处可微，记作：

21、xxAdy)(dxxAdy)()0(x 2.导数与微分的等价关系：定理：)(xf 在x处可微)(xf在x处可导，且：)()(xAxf 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量

22、称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 3.微分形式不变性：duufdy)(不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的 微分dy都具有相同的形式。2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 中值定理 1.罗尔定理:)(xf满足条件:.0)(,),().()(3;),(2,10.0.0.fbabfafbaba使 得存在一点内至少在内可导在上连续；在 y )(f )(f )(xf )(xf a o b x a o b x 2.拉格朗日定理：)(xf满足条件:abafbffbabab

23、a)()()(),(),(2,100，使 得：在 一 点内 至 少 存在内 可 导；在上 连 续，在 罗必塔法则：（,00 型未定式）定理：)(xf和)(xg满足条件：1o）或）或(0)(lim(0)(limxgxfaxax；2o在点 a 的某个邻域内可导，且0)(xg；3o）（或,)()(lim)(Axgxfax 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复

24、合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 则：）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax 注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2o若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是00型或型时，不可求导。3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是

25、对整个分式求导。4o若)(xf 和)(xg还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：）（或Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)()()(5o若函数是,0型可采用代数变 形，化成00或型；若是00,0,1型可 采用对数或指数变形，化成00或型。导数的应用 1 切线方程和法线方程：设：),(),(00yxMxfy 切线方程：)(000 xxxfyy 法线方程：)0)(),()(10000 xfxxxfyy 2 曲线的单调性：),(0)(baxxf内单调增加；在),()(baxf),(0)(baxxf内单调减少；在),()(baxf),(0)(baxxf内

26、严格单调增加；在),(ba ),(0)(baxxf内 严 格 单 调 减 少在),(ba 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再

27、某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 3.函数的极值：极值的定义：设)(xf在),(ba内有定义，0 x是),(ba内的一点；若对于0 x的某个邻域内的任意点0 xx，都有：)()()()(00 xfxfxfxf或 则称)(0 xf是)(xf的一个极大值（或极小值），称0 x为)(xf的极大值点（或极小值点）。极值存在的必要条件：定理：0)()(.2)()(.100000 xfxfxfxf存在。存在极值 0 x称为)(xf的驻点 极值存在的充分条件：定理一：是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在000000

28、000)()(.3)(0)(.2)(.1xxfxxfxfxfxxf 当x渐增通过0 x时，)(xf由（+）变（-）；则)(0 xf为极大值；当x渐增通过0 x时，)(xf由（-）变（+）；则)(0 xf为极小值。定理二：是极值点。是极值；存在。；000000)()(.20)(.1xxfxfxf 若0)(0 xf，则)(0 xf为极大值；若0)(0 xf，则)(0 xf为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4 曲线的凹向及拐点：若 baxxf,0)(；则)(xf在),(ba内是上凹的（或凹的），（）；baxxf,0)(；则)(xf在),(ba内是下凹的（或凸的），（）；数定理

29、如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则

30、学习必备 欢迎下载 的拐点。为称时变号。过，)()(,)(.20)(.1000000 xfxfxxxfxf 5。曲线的渐近线：水平渐近线：的水平渐近线。是或若)()(lim)(limxfAyAxfAxfxx 铅直渐近线：的铅直渐近线。是或若)()(lim)(limxfCxxfxfCxCx 第三章 一元函数积分学 3.1 不定积分 一、主要内容 重要的概念及性质：1原函数：设：DxxFxf),(),(若：)()(xfxF 则称)(xF是)(xf的一个原函数，并称CxF)(是)(xf的所有原函数,其中 C 是任意常数。2不定积分：函数)(xf的所有原函数的全体，称为函数)(xf的不定积分；记作：C

31、xFdxxf)()(其中：)(xf称为被积函数；dxxf)(称为被积表达式；x称为积分变量。3.不定积分的性质：)()(xfdxxf 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量

32、称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 或：dxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()(或：Cxfxdf)()(dxxfxfxfn)()()(21 dxxfdxxfdxxfn)()()(21 分项积分法 dxxfkdxxkf)()(k 为非零常数)4.基本积分公式：换元积分法：第一换元法：（又称“凑微元”法）dxxxf)()()()(xdxf凑微元 CtFdttfxt)()()(令 CxFxt)()(回代 常用的凑微元函数有：1o)(1)(1baxdaaxdadx )0,

33、(aba为 常 数，2o)()1(11111baxdmadxmdxxmmm 为常数）（m 3o)(1)(baedaeddxexxx )1,0(),(ln1aaadadxaxx 4o)(ln1xddxx 5o)(sincos)(cossinxdxdxxddx )(cotcsc)(t ansec22xdx d xxdx d x 6o)(arccos)(arcsin112xdxddxx 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数

34、函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 )cot()(ar ct an112xar cdxddxx 2.第二换元法：)()()()(tdtfdxxftx令 CtFdxtft)()()(CxFxt)(1)(1反代 第二换元法主要是针

35、对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1o 0,tntxn为偶数时 (当被积函数中有nx时)2o 20),cos(,sintxaxtax或 (当被积函数中有22xa 时)3o)0(,0),cot(,tan22tttaxtax或 (当被积函数中有22xa 时)4o)0(,0),csc(,sec22tttaxtax或 (当被积函数中有22ax 时)分部积分法：1.分部积分公式：vdxuvudxvuvduvuudv 2.分部积分法主要针对的类型：数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若

36、则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 xdxxPxdxxPcos)(,sin)(dxexPx)(xdxxPln)(xdxxPxdxxParcc

37、os)(,arcsin)(xdxarcxPxdxxPcot)(,arctan)(bxdxebxdxeaxaxcos,sin 其中：nnnaxaxaxP110)(（多项式）3.选 u 规律：在三角函数乘多项式中，令uxP)(，其余记作 dv;简称“三多选多”。在指数函数乘多项式中，令uxP)(，其余记作 dv;简称“指多选多”。在多项式乘对数函数中，令ux ln，其余记作 dv;简称“多对选对”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为 u，其余记作 dv;简称“多反选反”。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为 u，其余记作 dv;简称“指三任选”。简单有理函数积分：1.有理函数：)()()

38、(xQxPxf 其中)()(xQxP和是多项式。2.简单有理函数：21)()(,1)()(xxPxfxxPxf )()()(bxaxxPxf baxxPxf2)()()(数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充

39、要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 3.2 定积分 f(x)一 主要内容（一）.重要概念与性质 1.定积分的定义：O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b x iiibaniiinxxxxfdxxf,)()(110lim 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于 x 轴，曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。x 轴上方的面积取正号，y x 轴下方的面积取负号。+a 0 -b

40、 x 2.定积分存在定理：baxxfy,)(设：若：f(x)满足下列条件之一:;,)(.2;,)(.1点上有有限个第一类间断在连续，baxfbaxxf 上可积。在则：上单调有界在baxfbaxf,)(;,)(.3 若积分存在，则积分值与以下因素无关：上任意选取。可以在的选取无关，即与点可以任意划分上的划分无关，即与在即与积分变量形式无关，iiiibabaxxbabadttfdxxf,13;,2;)()(1 有关。与区间积分值仅与被积函数,)(baxf 3.牛顿莱布尼兹公式：数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单

41、调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 )()()()(,)()(aFbFxFdxxfbaxfxFbaba则：上的任意一个原函数：在是连

42、续函数若 牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4.原函数存在定理：)()()(,)()(,)()(,)(xfdttfxbaxfxbaxdttfxbaxxfxaxa且：上的一个原函数，在是则：连续，若 5.定积分的性质：上 可 积，则：在设,)(),(baxgxf babadxxfkdxxkf)()(1 abbadxxfdxxf)()(2 0)(4)()()()(3dxxfdxxgdxxfdxxgxfaabababa)()()()(5bcadxxfdxxfxfbccaba abdxba16 y y y f(x)g(x)1 f(x

43、)0 a c b x 0 a b x 0 a b x 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过

44、程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 dxxgdxxfbxaxgxfbaba)()()(),()(7则 上的最小值和最大值。在分别为其中估值定理：baxfMmabMdxxfabmba,)(,)()()(8 y y M f(x)f(x)m 0 a b x 0 a b x )()()(,)(9abfdxxfbabaxxfba使则：必存在一点连续若积分中值定理：（二）定积分的计算：1.换元积分 )(,)(txbaxxf，连续，设 ,)(tt 连续，若 ,)(,)(,)(babatt变到单调地从时，变到从且当 dtttfdxxfba)()()(则：数定理如果函

45、数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必

46、备 欢迎下载 2.分部积分 bababavduvuudv 3.广义积分 00)()()(dxxfdxxfdxxf 4.定积分的导数公式 )()(1xfdttfxax（)()()(2)(xxfdttfxxa )()()()()(31122)()(21xxfxxfdttfxxx (三)定积分的应用 1.平面图形的面积:)(,0)(1babxaxxfy由 与 x 轴所围成的图形的面积 y f(x)badxxfs)()(),(),(221gfxgyxfy由 dxxgxfsbxaxba)()(,所围成的图形的面积与)(),(),(321yxyx由 d yyysdycydc)()(,所 围 成 的 图 形

47、 的 面 积与：求平面图形面积的步骤.4.求出曲线的交点，画出草图；.确定积分变量，由交点确定积分上下限；.应用公式写出积分式，并进行计算。2.旋转体的体积 数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无

48、穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 bxaxxfy,0)(1与曲线 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积：dxxfVbax)(2 0 a b x dycyyx,0)(2与由曲线 及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积：dyyVdcy)(2 第四章 多元函数微积分初步 4.1 偏导数与全微分 一.主要内容：.多元函数的概念 c)二元函数的定义：Dyxyxfz),(),()(fD定义域：d)二元函数的几何意义：二元函数是一个空间

49、曲面。（而一元函数是平面上的曲线）.二元函数的极限和连续：1.极限定义：设 z=f(x,y)满足条件：数定理如果函数是严格单调增加或减少的则它必定存在反函数且也是严格单调增加或减少的函数的几何特性函数的单调性当时若则称在内单调增加若则称在内单调减少若则称在内严格单调增加若则称在内严格单调减少函数的奇偶性函数为实数指数函数对数函数三角函数反三角函数学习必备欢迎下载复合函数和初等函数复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算加减乘除和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数极限一主要内容极限的概左极限右极限函数极限存的充要条件定理无穷大量和无穷小量无穷大量称在该变化过程中为无穷大量学习必

50、备欢迎下载再某个变化过程是指无穷小量称在该变化过程中为无穷小量无穷大量与无穷小量的关系定理无穷小量的比较若则学习必备 欢迎下载 的某个领域内有定义。在点),(100yx 可除外）（点),(00yx Ayxfyyxx),(lim200。极限存在，且等于在则称Ayxyxfz),(),(00 2.连续定义：设 z=f(x,y)满足条件：的某个领域内有定义。在点),(100yx),(),(lim20000yxfyxfyyxx 处连续。在则称),(),(00yxyxfz.偏导数：点在定义),(),(:00yxyxf xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 yyxfyyxfyxf