基本不等式求最值的类型与方法经典大全高考_-高中教育.pdf

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1、专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式：，、)(222222Rbabaababba当且仅当 a=b 时，“=”号成立；，、)(222 Rbabaababba当且仅当 a=b 时，“=”号成立；，、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当 a=b=c 时,“=”号成立；)(3333Rcbacbaabcabccba、,当且仅当 a=b=c 时,“=”号成立.注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、函数()(0)bf xaxabx、图象及性质(1)函数0)(baxbaxx

2、f、图象如图：(2)函数0)(baxbaxxf、性质：值域：),22,(abab；单调递增区间：(,ba，,)ba；单调递减区间：(0,ba，,0)ba.三、用均值不等式求最值的常见类型 类型：求几个正数和的最小值。例 1、求函数21(1)2(1)yxxx 的最小值。解析：21(1)2(1)yxxx 21(1)1(1)2(1)xxx 21111(1)222(1)xxxx 3211131222(1)xxx312 52，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号成立，故此函数最小值是52。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆

3、项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型：求几个正数积的最大值。例 2、求下列函数的最大值：23(32)(0)2yxxx 2sincos(0)2yxxx 解析：30,3202xx Q，23(32)(0)(32)2yxxxx xx 3(32)13xxx ，当且仅当3 2xx 即1x时，“=”号成立，故此函数最大值是 1。0,sin0,cos02xxx Q，则0y，欲求 y 的最大值，可先求2y的最大值。242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos)2xxx22231 sinsin2cos4()2327xxx,当且仅当22sin2cosxx(0)2x t

4、an2x，即tan2xarc时“=”号成立，故此函数最大值是2 39。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型：用均值不等式求最值等号不成立。例 3、若 x、yR，求4()f xxx)10(x的最小值。解法一：（单调性法）由函数()(0)bf xaxabx、图象及性质知，当(0,1x时，函数4()f xxx 是减函数。证明：任取12,(0,1xx 且1201xx，则 12121244()()()()f xf xxxxx211212()4xxxxx x 1212124()x xxxx

5、 x，1201xx，12121240,0 x xxxx x，则1212()()0()()f xf xf xf x，xabab2ab2aboy即4()f xxx 在(0,1上是减函数。故当1x时，4()f xxx 在(0,1上有最小值 5。解法二：（配方法）因01x，则有4()f xxx 22()4xx，易知当01x 时，20 xx 且单调递减，则22()()4f xxx在(0,1上也是减函数，即4()f xxx 在(0,1上是减函数，当1x 时，4()f xxx 在(0,1上有最小值 5。解法三：（拆分法）4()f xxx)10(x13()xxx 1321xx 5，当且仅当1x 时“=”号成立

6、，故此函数最小值是 5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型：条件最值问题。例 4、已知正数 x、y 满足811xy，求2xy的最小值。解法一：（利用均值不等式）2xy8116()(2)10 xyxyxyyx 1610218xyyx,当且仅当81116xyxyyx即12,3xy时“=”号成立，故此函数最小值是 18。解法二：（消元法）由811xy得8xyx，由00088xyxxx 又，则2xy22(8)1616162(8)108888xxxxxxxxxx 162(8)10 188xx 。当且仅当1688xx即12,3xy此

7、时时“=”号成立，故此函数最小值是 18。解法三：（三角换元法）令228sin1cosxxxy则有228sin1cosxxyx 则：22822sincosxyxx2222228csc2sec8(1 cot)2(1 tan)10 8cot2tanxxxxxx 2210 2(8cot)(2tan)xx 18，易求得12,3xy此时时“=”号成立，故最小值是 18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：818 12()(2)228xyxyxyxyx y 。原因就是等号成立的条件不一致。类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例 5、已知正数xy、满足

8、3xyxy ，试求xy、xy的范围。解法一：由0,0 xy，则3xyxy 32xyxyxy ，即2()23 0 xyxy 解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy 且即3xy 时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。又23()2xyxyxy 2()4()12 0 xyxy 2()6xyxy 舍 或，当且仅当3xyxyxy 且即3xy 时取“=”号，故xy的取值范围是6,)。解法二：由0,0 xy，3(1)3xyxyxyx 知1x，则：31xyx，由30011xyxx ，则：2233(1)5(1)44(1)51111xxxxxxyxxxxxx 42(1)591xx ，当且仅当41(0)3

9、1xxxx 即，并求得3y 时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。31 44441(1)22(1)2611111xxxyxxxxxxxxxx ，当且仅当41(0)31xxxx 即，并求得3y 时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例 1.求函数 yxxx49的最值。错解：yxxxxxx4913362 13361323625xxxx 成立当且仅当时号成立注注意运用均值不等式求最值时的条件一正二定三等熟悉一个重要的不等式链二函数图象及性质函数图象如图函数性质值域单调递增区间单调递减区间三用均值不等

10、式求最值的常见类型类型求几个正数和的最关键在于构造条件使其积为常数通常要通过添加常数拆项常常是拆底次的式子等方式进行构造类型求几个正数积的最大值例求下列函数的最大值解析当且仅当即时号成立故此函数最大值是则欲求的最大值可先求的最大值当且仅当即过乘以或除以常数拆因式常常是拆高次的式子方等方式进行构造类型用均值不等式求最值等号不成立例若求的最小值解法一单调性法由函数图象及性质知当时函数是减函数证明任取且则则即在上是减函数故当时在上有最小值解法二当且仅当xx36即x 6时取等号。所以当x 6时，y 的最小值为 25，此函数没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时

11、的条件导致错误。因为函数 yxxx49的定义域为，00，所以须对x的正负加以分类讨论。正解：1）当x 0时，25362133613xxxxy 当且仅当xx36即6x时取等号。所以当x 6时，ymin25 2）当x 0时，xx0360，xxxx3623612 11213)36()(13xxy 当且仅当 xx36，即x 6时取等号，所以当x 6时，ymax13121.例 2.当x 0时，求yxx492的最小值。错解：因为xyxxxxx0492 49622，所以当且仅当492xx即x 943时，yxmin62 183。分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”

12、，而上述解法中4x与92x的积不是定值，导致错误。正解：因为xyxxxxxxxx 0492293 2293 3622233，当且仅当292xx，即x 3623时等号成立，所以当x 3623时，ymin3 363。例 3.求yxxxR2254()的最小值。错解：因为yxxxxxx 2222225441424142，所以ymin2 分析：忽视了取最小值时须xx22414 成立的条件，而此式化解得x23，无解，所以原函数y取不到最小值2。正解：令txt242，则yttt 12()又因为t 1时，ytt 1是递增的。所以当t 2，即x 0时，ymin52。例 4.已知Ryx,且141yx，求yxu的最

13、小值.错解：44411xyxyyx,82xyyxu,u的最小值为8.分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为yx41和yx，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8.正解：94545)41)(xyyxyxyxu 当且仅当xyyx4即6,3 yx时等号成立.u的最小值为9.综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：凑项 例 1：已知54x，求函

14、数14245yxx 的最大值。解：因450 x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xxg不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx Q，11425434554yxxxx 231 ，当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。技巧二：凑系数 成立当且仅当时号成立注注意运用均值不等式求最值时的条件一正二定三等熟悉一个重要的不等式链二函数图象及性质函数图象如图函数性质值域单调递增区间单调递减区间三用均值不等式求最值的常见类型类型求几个正数和的最关键在于构造条件使其积为常数通常要通过添加常数拆项常常是拆底次的式子等方式进行构造类型求几个正数积的最大值例

15、求下列函数的最大值解析当且仅当即时号成立故此函数最大值是则欲求的最大值可先求的最大值当且仅当即过乘以或除以常数拆因式常常是拆高次的式子方等方式进行构造类型用均值不等式求最值等号不成立例若求的最小值解法一单调性法由函数图象及性质知当时函数是减函数证明任取且则则即在上是减函数故当时在上有最小值解法二例 2.当时，求(82)yxx的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2(82)8xx 为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号 当 x2 时，(82)yxx的最大值为 8。技巧三：分离 例 3.求2710(1)1xxyxx 的值域。解：本

16、题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx （当且仅当 x1 时取“”号）。技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,4259ytt （当 t=2 即 x1 时取“”号）。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af xxx 的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2

17、,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。解：190,0,1xyxy Q，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。巩固练习：1、已知：bnmayx2222,且ba，则nymx 的最大值为()(A)ab (B)2ba (C)222ba (D)222ba 2、若Ryxa,，且yx

18、ayx恒成立，则 a 的最小值是()(A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、已知下列不等式：)(233Rxxx；),(322355Rbabababa；)1(222baba.其中正确的个数是()(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 4、设Rba,，则下列不等式中不成立的是()(A)4)11)(baba(B)ababba222 (C)21abab (D)abbaab2 5、设Rba,且2242,12baabSba的最大值是()(A)12 (B)212 (C)12 (D)212 6、若实数ba,满足2 ba，则ba33 的最小值是()(A)18 (B)6 (C)32 (D)4

19、32 7、若正数ba,满足3baab，则ab的取值范围是 .8、若Ryx,且12yx，则yx11的最小值为 .基本不等式 知识点：1.(1)若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab （当且仅当ba 时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=”）(3)若*,Rba，则22 baab (当且仅当ba 时取“=”）3.若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）成立当且仅当时号成立注注意运用均值不等式求最值时的条件一正二定三等熟悉一个重要的不等式链二函数图象及性质函数图象如图函数性质值域单调递增区间单调递减区间

20、三用均值不等式求最值的常见类型类型求几个正数和的最关键在于构造条件使其积为常数通常要通过添加常数拆项常常是拆底次的式子等方式进行构造类型求几个正数积的最大值例求下列函数的最大值解析当且仅当即时号成立故此函数最大值是则欲求的最大值可先求的最大值当且仅当即过乘以或除以常数拆因式常常是拆高次的式子方等方式进行构造类型用均值不等式求最值等号不成立例若求的最小值解法一单调性法由函数图象及性质知当时函数是减函数证明任取且则则即在上是减函数故当时在上有最小值解法二若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则11122-2xxxxxx 即或 (当且仅当ba 时取“=”）4.若0ab，则2ab

21、ba (当 且 仅 当ba 时 取“=”）若0ab，则22-2abababbababa 即或 (当且仅当ba 时取“=”）5.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba 时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 解：(1)y 3x 212x 2 23x 212x 2

22、6 值域为 6，+）(2)当 x0 时，yx1x 2x1x 2；当 x0 时，yx1x=（x1x）2x1x =2 值域为（，22，+）解题技巧 技巧一：凑项 例 已知54x，求函数14245yxx 的最大值。解：因450 x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xxg不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx Q，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。技巧二：凑系数 例：当时，求(82)yxx的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

23、注意到2(82)8xx 为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号 当 x2 时，(82)yxx的最大值为 8。变式：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。解：230 x023 x2922322)23(22)23(42xxxxxxy 当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三：分离 技巧四：换元 例：求2710(1)1xxyxx 的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx （当且仅当 x1 时取“”号）。解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x 1，化

24、简原式在分离求最值。成立当且仅当时号成立注注意运用均值不等式求最值时的条件一正二定三等熟悉一个重要的不等式链二函数图象及性质函数图象如图函数性质值域单调递增区间单调递减区间三用均值不等式求最值的常见类型类型求几个正数和的最关键在于构造条件使其积为常数通常要通过添加常数拆项常常是拆底次的式子等方式进行构造类型求几个正数积的最大值例求下列函数的最大值解析当且仅当即时号成立故此函数最大值是则欲求的最大值可先求的最大值当且仅当即过乘以或除以常数拆因式常常是拆高次的式子方等方式进行构造类型用均值不等式求最值等号不成立例若求的最小值解法一单调性法由函数图象及性质知当时函数是减函数证明任取且则则即在上是减函

25、数故当时在上有最小值解法二22(1)7(1+10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,4259ytt （当 t=2 即 x1 时取“”号）。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()af xxx 的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，

26、否则就会出错。例：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。错 解：Q0,0 xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy 故 min12xy。错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy 等号成立条件是xy，在1992xyxy 等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：190,0,1xyxy Q，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。技巧七 例：已知x，y为

27、正实数，且x 2y 22 1，求x1y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2b 22。同时还应化简1y 2 中y2前面的系数为 12，x1y 2 x 21y 22 2 x12 y 22 下面将x，12 y 22 分别看成两个因式：x12 y 22 x 2(12 y 22 )22 x 2y 22 12 2 34 即x1y 2 2 x 12 y 22 34 2 技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可

28、行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a302bb1，ab302bb1 b2 b 230bb1 由a0 得，0b15 成立当且仅当时号成立注注意运用均值不等式求最值时的条件一正二定三等熟悉一个重要的不等式链二函数图象及性质函数图象如图函数性质值域单调递增区间单调递减区间三用均值不等式求最值的常见类型类型求几个正数和的最关键在于构造条件使其积为常数通常要通过添加常数拆项常常是拆底次的式子等方式进行构造类型求几个正数积的最大值例求下列函数的最大值解析当且仅当即时号成立故此函数最大

29、值是则欲求的最大值可先求的最大值当且仅当即过乘以或除以常数拆因式常常是拆高次的式子方等方式进行构造类型用均值不等式求最值等号不成立例若求的最小值解法一单调性法由函数图象及性质知当时函数是减函数证明任取且则则即在上是减函数故当时在上有最小值解法二令tb+1，1t16，ab2t 234t31t 2（t16t）34t16t 2t16t 8 ab 18 y 118 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b 22 ab 30ab 22 ab 令uab 则u222 u30 0，52 u 32 ab 32，ab 18，y118 点评：本题考查不等式abba2）（Rba

30、,的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.技巧九、取平方 例:求函数152152()22yxxx 的最大值。解析：注意到21x与52x的和为定值。22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx 又0y，所以02 2y 当且仅当21x=52x，即32x 时取等号。故max2 2y。应用二：利用均值不等式证明不等式 例：已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 分析：不等式右

31、边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1121abcbcaaaa，可由此变形入手。解：Qa、b、cR，1abc 。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bcacababcabc gg。当且仅当13abc 时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym 恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xyk xy 191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky 10312kk 。16k ，,16m 应用四：均值定理在比较大小中

32、的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 .分析：1 ba 0lg,0lgba 21Q（pbabalglg)lglg QababbaRlg21lg)2lg(RQP。成立当且仅当时号成立注注意运用均值不等式求最值时的条件一正二定三等熟悉一个重要的不等式链二函数图象及性质函数图象如图函数性质值域单调递增区间单调递减区间三用均值不等式求最值的常见类型类型求几个正数和的最关键在于构造条件使其积为常数通常要通过添加常数拆项常常是拆底次的式子等方式进行构造类型求几个正数积的最大值例求下列函数的最大值解析当且仅当即时号成立故此函数最大值是则欲求的最大值可先求的最大值当且仅当即过乘以或除以常数拆因式常常是拆高次的式子方等方式进行构造类型用均值不等式求最值等号不成立例若求的最小值解法一单调性法由函数图象及性质知当时函数是减函数证明任取且则则即在上是减函数故当时在上有最小值解法二