一次函数规律谈中考_-中考.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系 特级教师 董义刚 一次函数 y=kx+b（k0）的图像是一条直线,正比例函数 y=kx（k0）的图像也是一条直线。所以，正比例函数除了是特殊的一次函数外，它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系。其关系具体表现如下：1、一次函数 y=kx+b（k0）的图像可有正比例函数 y=kx（k0）的图像平移得到。平移的规律：当 b0 时，一次函数 y=kx+b（k0）的图像可有正比例函数 y=kx（k0）的图像向上平移 b 个单位，得到；上下平移的位置在常数项；当 b0 时，一次函数 y=kx+b（k0）的图像可有正比例函数 y=kx

2、（k0）的图像向下平移|b|个单位，得到；上下平移的位置在常数项；当 n0 时，正比例函数 y=kx（k0）的图像向右平移 n 个单位，得到一次函数 y=k（x-n）+b 的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx-kn+b。左右平移的位置在底数 x中；当 n0 时，正比例函数 y=kx（k0）的图像向左平移 n 个单位，得到一次函数 y=k（x+n）+b 的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx+kn+b。左右平移的位置在底数 x中；例 1、将直线 y=2x 向右平移 2 个单位所得的直线的解析式是：。A、y2x2 B、y2x2 C、y2(x 2)D、y2(x 2)解析：根据上面的平移规律

3、第三条，得到的解析式为：y2(x 2)，所以，我们应选择 C。2、一次函数 y=k1x+b（k0）的图像与正比例函数 y=k2x（k0）的图像平行 一次函数 y=k1x+b（k0）的图像与正比例函数 y=k2x（k0）的图像平行的条件：k1=k2，与常数项 b 没有关系。例 2、已知，一次函数 y=kx+b 的图像与正比例函数 y=2x 的图像平行，并且经过点 A（3，2），求函数的解析式。分析：因为一次函数 y=kx+b 的图像与正比例函数 y=2x 的图像平行，所以，一次函数中的 k=2，只须把点 A的坐标代如解析式，求出 b 的值就得到完整的函数解析式了。学习好资料 欢迎下载 解：因为，

4、一次函数 y=kx+b 的图像与正比例函数 y=2x 的图像平行，所以，k=2，所以，一次函数的解析式为：y=2x+b，又因为图像经过点 A（3，2），所以，2=6+b，解得：b=-4，所以，一次函数的解析式为：y=2x-4。3、一次函数 y=k1x+b（k10）的图像与正比例函数 y=k2x（k20）的图像相交 一次函数 y=k1x+b（k0）的图像与正比例函数 y=k2x（k0）的图像相交的条件：k1k2，与常数项 b 没有关系。特别的，当满足 k1k2=1 时，两条直线是互相垂直的。此时，经常遇到的问题是求图像的交点坐标问题或判断交点的位置。一次函数 y=k1x+b（k0）的图像与正比例

5、函数 y=k2x（k0）图像的交点坐标为：（12kkb，122kkbk）。（可以当做公式对待）例 3、直线yx，直线2yx 与x轴围成图形的周长是 （结果保留根号）分析：在这里，k2=-1，k1=1，所以，k2-k1=-2，b=2，所以，两函数图像的交点坐标为（-1，1），将交点的坐标分解后，就知道交点到 x 轴的距离和 y 轴的距离，利用一次函数，让 y=0，就得到函数与 x 轴的交点，这样，就知道三角形的一条边的长度了，其余两条边的长度，再根据勾股定理就可以求得。解：因为，直线 y=-x，直线 y=x+2，所以，k2=-1，k1=1，所以，k2-k1=-2，b=2，所以，两函数图像的交点

6、A 坐标为（-1，1），如图 1 所示，所以，线段 OD=1，AD=1，在直角三角形 ADO 中，OA=22112，令直线 y=x+2 中的 y=0，得：x=-2，正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数

7、的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 所以，直线 y=x+2 与 x 轴的交点 B坐标为（-2，0），因此，线段 OB=2，BD=1，在直角三角形 ADB中，AB=22112，因为，直线yx，直线2yx 与x轴围成的图形是三角形 ABO，所以，直线yx，直线2yx 与x轴围成图形的周长是 2+22。例 4、如果函数 y=ax+b（a0，b0）和 y=kx（k0）的图象交于点 P，那么点 P应该位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

8、D.第四象限 分析：先用 a、b、k 的代数式表示出交点的横坐标和纵坐标，然后根据 a、b、k 的性质符号，来确定交点的横坐标、纵坐标的符号，从而确定交点的位置。解：因为，直线 y=kx，直线 y=ax+b，所以，k2=k，k1=a，所以，k2-k1=k-a，b=b，所以，两函数图像的交点 P坐标为（akkbakb,），因为，k0，a0，b0，所以，k-a0，akb0，所以，交点的横坐标的符号为“-”；又因为，k0，a0，b0，所以，k-a0，k b 0，所以，akkb0，所以，交点的纵坐标的符号为“-”；因此，交点 P的符号为（-，-），所以，交点 P应在第三象限，所以，选 C。例 5、小东

9、从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度 向A地而行，如图 2 所示，图中的线段、分别表示小东、小明离 B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系。1、试用文字说明：交点P所表示的实际意义。2、试求出A、B两地之间的距离。分析：首先要理解坐标系的意义，横坐标表示行驶的时间，单位是小时；纵坐标表示的是行驶过程中距离 B地的距离，单位是千米。而两个图象交点的意义就是表明两人行驶多长时间，在离 B地多远的地方相遇。而 A、B两地之间的距离，就是当对应函数的自变量 x 时间为 0 小时时，对应正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之

10、间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 的函数值。因此，根据题目的要求，看懂图象，求出某一个函数的解析

11、式，就成了解决问题的关键。解：1、交点P所表示的实际意义是：经过 2.5 小时后，小东与小明在距离B地 7.5 千米处相遇。2、设，又经过点P（2.5，7.5），（4，0）所以，解得：所以，所以，当时，故 A、B两地之间的距离为 20 千米。正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平

12、移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 五种类型一次函数解析式的确定 确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式 例 1、若函数 y=3x+b 经过点（2，-6），求函数的解析式。分析：因为，函数 y=3x+b 经过点（2，-6），所以，点

13、的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把 x=2，y=-6 代入解析式中，就可以求出 b 的值。函数的解析式就确定出来了。解：因为，函数 y=3x+b 经过点（2，-6），所以，把 x=2，y=-6 代入解析式中，得：-6=32+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式 例 2、直线 y=kx+b 的图像经过 A（3，4）和点 B（2，7），求函数的表达式。分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含 k 的代数式分别表示 b，因为 b 是同一个，这样建立起一个关于 k 的一元一次方程，这样就可以把 k 的值求出来，然后，就转化成

14、例 1 的问题了。解：因为，直线 y=kx+b 的图像经过 A（3，4）和点 B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把 x=3，y=4 代入上式中，得：4=-33+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。三、根据函数的图像，确定函数的解析式 例 3、如图 1 表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系 正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函

15、数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。分析：根据图形是

16、线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点 A（0，40），B（8，0），所以，把 x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入 y=kx+b 中，得：40=k0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。当汽车没有行驶时，油箱里的油是 40 升，此时，行驶的时间是 0 小时；当汽车油箱里的油是 0 升，此

17、时，行驶的时间是 8 小时，所以，自变量 x 的范围是：0 x8.四、根据平移规律，确定函数的解析式 例 4、如图 2，将直线向上平移 1 个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 分析：仔细观察图像，直线 OA经过坐标原点，所以，直线 OA表示正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时

18、正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 的一个正比例函数的图像，并且当 x=2 时 y=4，这样，我们就可以求出，平移的起始函数的解析式，根据函数平移的规律，就可以确定一次函数的解析式。把正比例函数 y=kx（k0）的图像向上或者向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k0，b0）的图像。具体平移要领：当 b0 时，把正比例函数 y=

19、kx（k0）的图像向上平移 b 个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k0）的图像。当 b0 时，把正比例函数 y=kx（k0）的图像向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k0）的图像。解：因为，直线 OA经过坐标原点，所以，直线 OA表示的一个正比例函数的图像，设 y=kx，把 x=2，y=4 代入上式，得：4=2k，解得：k=2，所以，正比例函数的解析式为：y=2x，所以，直线向上平移 1 个单位，所得解析式为：y=2x+1，所以，这个一次函数的解析式是 y=2x+1。五、根据直线的对称性，确定函数的解析式 例 5、已知直线 y=kx+b 与直线 y=-3x+7 关于 y 轴

20、对称，求 k、b 的值。分析：直线 y=kx+b 与直线 y=-3x+7 关于 y 轴对称，所以，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，这可以是解题的理论依据，当然，也可以从已知直线解析式的图像上，确定出两个点的坐标，分别求出它们关于 y 轴的对称点的坐标，然后利用待定系数法，计算出 k、b 的值。解法 1：设 A（x，y）是直线 y=-3x+7 上一个点，其关于 y 轴对称的点的坐标为（-x，y），则有：y=-3x+7，y=-kx+b 整理，得：-3x+7=-kx+b，比较对应项，得：k=3，b=7。解法 2：设 A（m，n）是直线 y=-3x+7 上一个点，其关于 y 轴对称的点的坐标

21、为（a，b），正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析

22、式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 则有：b=n，m=-a，因为，A（m，n）是直线 y=-3x+7 上一个点，所以，点的坐标满足函数的表达式，即 n=-3m+7，把 n=b，m=-a，代入上式，得：b=-3（-a）+7，整理，得：b=3a+7，即 y=3x+7，它实际上与直线 y=kx+b 是同一条直线，比较对应项，得：k=3，b=7。解法 3：因为，y=kx+b，所以，x=kby，因为，y=-3x+7，所以，x=37y，因为，直线 y=kx+b 与直线 y=-3x+7 关于 y 轴对称，所以，两直线上点的坐标，都满足纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数，所以，kby=-37y=37y，比

23、较对应项，得：y-b=y-7，k=3，所以，k=3，b=7。解法 4、因为，直线 y=-3x+7，所以，当 x=1 时，y=-31+7=4，即点的坐标（1，4）；当 x=2 时，y=-32+7=1，即点的坐标（2，1）；因此，（1，4）、（2，1）关于 y 轴对称的坐标分别为（-1，4）、（-2，1），所以，点（-1，4）、（-2，1）都在直线 y=kx+b，所以，bkbk2114，留一个练习：1、已知直线 y=kx+b 与直线 y=-3x+7 关于 x 轴对称，求 k、b 的值。2、已知直线 y=kx+b 与直线 y=-3x+7 关于原点对称，求 k、b 的值。参考答案：正比例函数的图像也是

24、一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢

25、迎下载 1、k=3，b=-7.2、k=-3，b=-7.审清题意，读懂图示，趣味无穷 审清题意，结合图形，意会图形提供的信息来解题，是近几年中考出现的新题型。这种题目图文并举，文为图作说明，图为文塑精神，综合考查了学生读图与审题的能力，是一类看上去难于下手但其实不难的中等题。下面欣赏几道这类图文并茂的中考题。例 1一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x，两车之间的距离为(km)y，图中的折线表示y与x之间的函数关系 根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点B的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；

26、（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇 30 分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？分析：图示中的纵轴 y 是表示两车之间的距离，所以一开始的 900km就是甲乙两地的距离。然后两车相向而行，两车之间的距离越来越小，到 4 小时止两车之间的距离为 0，即两车相遇。之后两车背离而行，两车之间的距离越来越大，到 C点时快车到达乙地停车，两车之间的距离只有靠慢车去拉开，所以 CD的坡度更缓。到 D点时慢车也到达甲地停车，两车之间的距离又恢复为 9

27、00km.解：（1）900；（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶 4h 时，慢车和快车相遇 （3）由图象可知，慢车 12h 行驶的路程为 900km，（例 1 图）A B C D O y/km 900 12 x/h 4 正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数

28、的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 所以慢车的速度为90075(km/h)12；当慢车行驶 4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为 900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km/h)4，所以快车的速度为 150km/h（4）根据题意，快车行驶 900km到达乙地，所以快车行驶9006(h)150到达乙地，此时两车之间的距离为6 75450(km)，所以点C的坐

29、标为(6 450)，设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为ykxb，把(4 0)，(6 450)，代入得 044506.kbkb，解得225900.kb，所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为225900yx 自变量x的取值范围是46x （5）慢车与第一列快车相遇 30 分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是 4.5h 把4.5x 代入225900yx，得112.5y 此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是 112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发 0.75h 例 2 甲乙两车同时从A地前往

30、B地 甲车先到达B地，停留半小时后按原路返回 乙车的行驶速度为每小时 60 千米 下图是两车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象（1）请直接写出A、B两地的距离与甲车从A到B的行驶速度（2）求甲车返回途中y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（3）两车相遇后多长时间乙车到达B地？分析：图示中的纵轴 y 是表示两车离出发地 A地的距离，甲乙两车又都是从A地前往Bx（小时）450 O 4.5 y（千米）10 正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移

31、得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 地（同时），随着时间的推移 y 值都增大，并且快车的 y 值增大得更快，所以坡度更陡的线是快车跑的，坡度更缓的线是慢车跑的，明白了这一点

32、，也就很容易判断A、B两地的距离就是 450 千米。快车花了 4.5 小时到达B地后，停留半小时，所以离出发地 A地的距离 y保持水平，y 不变。停留半小时后按原路返回，快车的 y 值减小，与还在向B地开进的慢车相遇，两线相交点就是相遇点。而后快车继续回开，在 10 小时时刻回到 A地，离出发地 A地的距离变为 0km。解：（1）A、B两地的距离：450 千米 甲车从A到B的速度：100 千米/时（2）设，把（5，450）、（10，0）代入上式得：解得：自变量x的取值范围是：（3）乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式为，解方程组 得 相遇后乙车到达B地需要时间为：6

33、=1.5（小时）例 3某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有 25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他 3 倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S（米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式；（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？分析：图示中的纵轴 S 是表示离体育馆的距离,小明父亲是从家里出发送票，所以 AO就是小明父亲到体育

34、馆的距离 3600米，走下坡路的线段 AB是父亲走的，离家越来越远，但离体育ykxb4505010kbkb90900kb 90900yx 510 x60yx6090900yxyx 6x 60450S（米）t（分）B O 3 600 15（例 3 图）A 正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数

35、的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 馆越来越近，S 越来越小；走上坡路的线段 OB是小明走的，离体育馆越来越远，S 逐渐变大。B处是他们父子的相遇点。解：（1）解法一：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了 15 分钟 设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为 3x米/分 依题意得：15x+45x=3600 解得：x=60 所以两人相遇处

36、离体育馆的距离为 6015=900 米 所以点B的坐标为（15，900）设直线AB的函数关系式为s=kt+b（k0）由题意，直线AB经过点A（0，3600）、B（15，900）得：360015900bkb，解之，得1803600kb，直线AB的函数关系式为：1803600St 解法二：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了 15 分钟 设父子俩相遇时，小明走过的路程为x米 依题意得：360031515xx 解得x=900，所以点B的坐标为（15，900）以下同解法一（2）解法一：小明取票后，赶往体育馆的时间为：900560 3 小明取票花费的时间为：15+5=20分钟 2025 小明能在比赛

37、开始前到达体育馆 解法二：在1803600St 中，令S=0，得01803600t 解得：t=20 即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为 20 分钟，因而小明取票的时间也为 20 分钟 2025，小明能在比赛开始前到达体育馆 例子我就不多举了，由上面三个例题可以看出，关键是要牢记纵轴所表示的含义，结合图形，审清题意，看懂图示，找出图示中蕴含的意义，这样的题目便能迎刃而解，你便能S（米）t（分）B O 3 600 15（例 3 图）正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移

38、得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 体会到“柳暗花明”的乐趣。愿我的小短文能对你有所帮助。聚焦位于第一象限的双一次函数图像 一、已知两条直线交点坐标的双一次函数图像问题 例

39、 1、已知如图 1 所示，直线l1表示某机床公司一天的销售收入与机床地的销售量的关系，直线l2表示该公司一天的销售成本与机床销售量的关系。请根据图像回答下面的问题：（1）、当 x=1 时，销售收入为 万元，销售成本为 万元，利润（收入-成本）为 万元。（2）一天销售 件时，收入成本与销售成本相等。（3）直线l1对应的函数表达式是 。直线 l2对应的函数表达式是 。（4）你能写出利润 w 万元与销售量 x 件之间的函数关系吗？分析：解答这类函数图像问题时，同学们要能遵循如下的思路 问题可能会比较顺利的获得求解。具体的思路为：写出图像上能表示的关键点的坐标：直线l1上的两个关键点，坐标分别为（0，

40、0）和（2，2）；直线 l2上的两个关键点，坐标分别为（0，1）和（2，2）；结合图像设出函数的解析式，把中的关键点分别代入所设的函数解析式中，求出函数的解析式。充分理解图像交点的意义：此时，对两个函数来说，函数自变量的值相等，对应的函数值也相等。会根据函数的性质，比较函数值的大小。解：因为，直线l1经过点（0，0），所以，直线l1是正比例函数，设 y1=k1x，又因为，正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位

41、置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 直线l1经过点（2，2），所以，2=2 k1，所以，k1=1，即 y1=x；因为，直线l2经过点（0，1），不经过原点，所以，直线 l2是一般地一次函数，设 y2=k2x+1，又因为，直线l2经过点

42、（2，2），所以，2=2 k2+1，所以，k2=0.5，即 y2=0.5x+1；所以，直线 l2的解析式为：y2=0.5x+1；所以，(1)、当 x=1 时，y1=x=1（万元）；y2=0.5x+1=1.5（万元）；所以，当 x=1 时，销售收入为 1 万元，销售成本为 1.5 万元，利润（收入-成本）为 1-1.5=-0.5（万元）。（2）仔细观察图像，发现当一天销售 2 件时，收入成本与销售成本相等。（3）根据上面的解答，知道直线l1对应的函数表达式是 y1=x；直线 l2对应的函数表达式是 y2=0.5x+1；（4）根据利润=收入-成本的原理，所以，w=y1-y2=x-（0.5x+1）=

43、0.5x-1。例 2、如图 2 所示，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像。图中 s 和 t 分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 ：(A)2.5米 (B)2米 (C)1.5米 (D)1米 分析：直线 OA上的两个关键点，坐标分别为（0，0）和（8，64）；直线 BA上的两个关键点，坐标分别为（0，12）和（8，64）；并且直线 OA是正比例函数，直线 BA是一次函数，利用待定系数法分别求出函数的解析式，x 的系数的差，就是甲乙的速度的差。解：因为，直线 OA经过点（0，0），所以，直线 OA是正比例函数，设 y1=k1x，正比例函数的图像也是一条直线

44、所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载

45、又因为，直线l1经过点（8，64），所以，64=8k1，所以，k1=8，即 y1=8x,也就是说甲的速度是每秒 8 米；因为，直线 BA经过点（0，12），不经过原点，所以，直线 BA是一般地一次函数，设 y2=k2x+12，又因为，直线 BA经过点（8，64），所以，64=8 k2+12，所以，k2=6.5，即 y2=6.5x+12；所以，直线 BA的解析式为：y2=6.5x+12,也就是说乙的速度是每秒 6.5 米；所以，甲乙的速度之差为 8-6.5=1.5（米）。所以，选择 C。二、已知两条直线交点的某一个坐标的双一次函数图像问题 例 3、如图 3 所示，是甲、乙两个弹簧的长度 y（厘米

46、）与所挂重物 x（kg）之间的函数关系图，当所挂重物的质量为 1kg 时，甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是 。分析：在这里，关键是理解图像交点坐标的意义，当弹簧挂重物的质量等于交点的横坐标时，两个弹簧的长度是相等。从图像上看出，甲、乙两根弹簧图像的交点的横坐标为 1，此时，两根弹簧的长度是相等的，所以，甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是 0.解：甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是 0.例 4、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，应付给个体车主的月费用是 y1元，应付给出租车公司的月费用是 y2元，应付给出租车公司

47、的月费用是 y1、y2分别与 x 之间的函数关系图像(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：1.每月行驶的路程在什么范围内，租国营公司的车合算？正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式为左右平移的位置在底数中当时正比例函数的图像向左平移个单位得到一次函数的图像此时一次函数的解析式的解析式为所以我们应选择一次函数的图像与正比例函数的

48、图像平行一次函数的图像与正比例函数的图像平行的条件与常数项没有关系例已知一次函数的图像与正比例函数的图像平行并且经过点求函数的解析式分析因为一次函数的学习好资料 欢迎下载 2.每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？3.如果这个单位估计每月行驶的路程为 2300 千米，那么这个单位租哪家的车合算 分析：本题是考查学生对一次函数图像的识图能力，和解释图像所反映的实际生活问题的意义的能力。在这里，两条图像的交点，表示当行驶 1500 千米时，付给个体车主的月费用和付给出租车公司的月费用是相等的，除这个点外，所要支付的费用就不会再相等了。图像在上，就意味着多支付费用。只要理解了这些，本题的解答

49、就显得那么的容易了。此时，交点的横坐标成为了判断哪一种方式更合算的分界点。解：1）从图像上，可以看出，当 x1500 时，y1 y2。所以当每月行驶的路程在 x1500 千米的范围内时，租国营公司的车合算。2、从图像上，可以看出，两条图像的交点，表示当行驶 1500 千米时，付给个体车主的月费用和付给出租车公司的月费用是相等的，所以每月行驶的路程等于 1500 千米时，租两家车的费用相同。3、如果这个单位估计每月行驶的路程为 2300 千米，因为 23001500，根据 1）的意义可以知道租国营公司的车合算。例 5、一条高速公路上，一辆轿车和一辆货车沿相同的路线从 A地开往 B地，所行驶的路程

50、y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系图像如图 5 所示，请你根据图像，回答下面的问题：（1）货车比轿车早出发 小时；轿车追上货车时，行驶了 千米；A地到 B 地的路程是 千米。（2）轿车追上货车时，轿车行驶了 小时。（3）轿车比货车早到 小时。分析：（1）货车比轿车早出发的时间，从时间轴上的直线起点的差上找答案，货车的起点横轴上正比例函数的图像也是一条直线所以正比例函数除了是特殊的一次函数外它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系其关系具体表现如下一次函数的图像可有正比例函数的图像平移得到平移的规律当时一次函数的图像可有正移个单位得到上下平移的位置在常数项当时正比例函数的图像向右平移