高中数学立体几何常考证明题汇总高考_-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD是空间四边形，,E F G H分别是边,AB BC CD DA的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形（2）若 BD=2 3，AC=2，EG=2。求异面直线 AC、BD所成的角和 EG、BD所成的角。证明：在ABD中，,E H分别是,AB AD的中点1/,2EHBD EHBD 同理，1/,2FGBD FGBD/,EHFG EHFG四边形EFGH是平行四边形。(2)90 30 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCAC ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面 C

2、DE;（2）平面CDE 平面ABC。证明：（1）BCACCEABAEBE 同理，ADBDDEABAEBE 又CEDEE AB 平面CDE（2）由（1）有AB 平面CDE 又AB平面ABC，平面CDE 平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C 学习必备 欢迎下载 3、如图，在正方体1111ABCDABC D中，E是1AA的中点，求证：1/AC平面BDE。证明：连接AC交BD于O，连接EO，E为1AA的中点，O为AC的中点 EO为三角形1AAC的中位线 1/EOAC 又EO在平面BDE内，1AC在平面BDE外 1/AC平面BDE。考点：线面平行

3、的判定 4、已知ABC中90ACB,SA面ABC,ADSC,求证：AD 面SBC 证明：90ACB BCAC 又SA面ABC S AB C BC面SAC BCAD 又,SCAD SCBCCAD面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCDABC D，O是底ABCD对角线的交点.求证：()C1O面11ABD；(2)1AC 面11ABD 证明：（1）连结11AC，设11111ACB DO，连结1AO 1111ABCDABC D是正方体 11AACC是平行四边形 A1C1AC 且 11ACAC 又1,O O分别是11,ACAC的中点，O1C1AO 且11O CAO 11AOC O是平

4、行四边形 111,C OAO AO面11ABD，1C O 面11ABD C1O面11ABD （2）1CC 面1111ABC D 11!C CB D 又1111ACB D，1111B DA C C面 111A CB D即 同理可证11ACAD，又1111D BADD 1AC 面11ABD 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 AE D1 CB1 D C B A SDCBAD1ODBAC1B1A1C求异面直线所成的角和所成的角证明在中分别是的中点同理四边形是平行四边形考点证平行利用三角形中位线异面直线所成的角如图已知空间四边形中是的中点求证平面平面平面证明同理又平面由有平面又平面

5、平面平面考点线面垂角形的中位线又在平面内在平面外平面考点线面平行的判定已知中面求证面证明又面面又面考点线面垂直的判定已知正方体是底对角线的交点求证面面证明连结设是正方体是平行四边形的中点且是平行四边形面连结且又分别是面面下载考点线面垂直的判定正方体中求证平面平面若分别是的中点求证平面平面证明由得四边形是平行四边形平面又平面平面同理平面而平面平面由得平面取中点从而得同理平面平面平面考点线面平行的判定利用平行四边形四面体中学习必备 欢迎下载 NMPCBA6、正方体ABCDA B C D中，求证：（1）ACB D DB平面；（2）BDACB平面.考点：线面垂直的判定 7、正方体 ABCDA1B1C1

6、D1中(1)求证：平面 A1BD平面 B1D1C；(2)若 E、F 分别是 AA1，CC1的中点，求证：平面 EB1D1平面 FBD 证明：(1)由 B1BDD1，得四边形 BB1D1D 是平行四边形，B1D1BD，又 BD 平面 B1D1C，B1D1平面 B1D1C，BD平面 B1D1C 同理 A1D平面 B1D1C 而 A1DBDD，平面 A1BD平面 B1CD (2)由 BDB1D1，得 BD平面 EB1D1取 BB1中点 G，AEB1G 从而得 B1EAG，同理 GFADAGDFB1EDFDF平面 EB1D1平面 EB1D1平面 FBD 考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体

7、ABCD中，,ACBD E F分别为,AD BC的中点，且22EFAC，90BDC，求证：BD 平面ACD 证明：取CD的中点G，连结,EG FG，,E F分别为,AD BC的中点，EG12/AC 12/FGBD，又,ACBD12FGAC，在EFG中，222212EGFGACEF EGFG，BDAC，又90BDC，即BDCD，ACCDC BD 平面ACD 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 9、如图P是ABC所在平面外一点，,PAPB CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，3ANNB（1）求证：MNAB；（2）当90APB，24ABBC时，求MN的长。证明：（1）取P

8、A的中点Q，连结,MQ NQ，M是PB的中点，/MQBC，CB 平面PAB，MQ 平面PAB QN是MN在平面PAB内的射影，取 AB的中点D，连结 PD，,P A P BPDAB，又3ANNB，BNND /QNPD，QNAB，由三垂线定理得MNAB （2）90APB，,PAPB122PDAB，1QN，MQ 平面PAB.MQNQ，且112MQBC，2MN A1 A B1 B C1 C D1 D G E F 求异面直线所成的角和所成的角证明在中分别是的中点同理四边形是平行四边形考点证平行利用三角形中位线异面直线所成的角如图已知空间四边形中是的中点求证平面平面平面证明同理又平面由有平面又平面平面平

9、面考点线面垂角形的中位线又在平面内在平面外平面考点线面平行的判定已知中面求证面证明又面面又面考点线面垂直的判定已知正方体是底对角线的交点求证面面证明连结设是正方体是平行四边形的中点且是平行四边形面连结且又分别是面面下载考点线面垂直的判定正方体中求证平面平面若分别是的中点求证平面平面证明由得四边形是平行四边形平面又平面平面同理平面而平面平面由得平面取中点从而得同理平面平面平面考点线面平行的判定利用平行四边形四面体中学习必备 欢迎下载 考点：三垂线定理 10、如图，在正方体1111ABCDABC D中，E、F、G分别是AB、AD、11C D的中点.求证：平面1D EF平面BDG.证明：E、F分别是

10、AB、AD的中点，EFBD 又EF 平面BDG，BD 平面BDGEF平面BDG 1D GEB四边形1D GBE为平行四边形，1D EGB 又1D E 平面BDG，GB 平面BDG1D E平面BDG 1EFD EE，平面1D EF平面BDG 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体1111ABCDABC D中，E是1AA的中点.（1）求证：1/AC平面BDE；（2）求证：平面1AAC 平面BDE.证明：（1）设ACBDO，E、O分别是1AA、AC的中点，1ACEO 又1AC 平面BDE，EO 平面BDE，1AC平面BDE（2）1AA 平面ABCD，BD 平面ABCD，1AAB

11、D 又BDAC，1ACAAA，BD 平面1AAC，BD 平面BDE，平面BDE 平面1AAC 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定 12、已知ABCD是矩形，PA 平面ABCD，2AB，4PAAD，E为BC的中点（1）求证：DE 平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角 证明：在ADE中，222ADAEDE，AEDE PA 平面ABCD，DE 平面ABCD，PADE 又PAAEA，DE 平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角 在Rt PAD，4 2PD，在Rt DCE中，2 2DE 在Rt DEP中，2PDDE，030DPE 考点：线面垂直的判定,构造直角

12、三角形 13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD（1）若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小 证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD 求异面直线所成的角和所成的角证明在中分别是的中点同理四边形是平行四边形考点证平行利用三角形中位线异面直线所成的角如图已知空间四边形中是的中点求证平面平面平面证明同理又平面由有平面又平面平面平面考点线面垂角形的中位线又在平面内在平面外平面考点线面平行的判定已知中面求证面证明又面面又面考点线面垂直的判定已

13、知正方体是底对角线的交点求证面面证明连结设是正方体是平行四边形的中点且是平行四边形面连结且又分别是面面下载考点线面垂直的判定正方体中求证平面平面若分别是的中点求证平面平面证明由得四边形是平行四边形平面又平面平面同理平面而平面平面由得平面取中点从而得同理平面平面平面考点线面平行的判定利用平行四边形四面体中学习必备 欢迎下载 又平面PAD 平面ABCD，BG 平面PAD（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG 且ADBG，PGBGG，AD 平面PBG，PB 平面PBG，ADPB（3）由ADPB，ADBC，BCPB 又BGAD，ADBC，BGBC PBG为二面角ABCP的平面角 在Rt P

14、BG中，PGBG，045PBG 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图 1,在正方体1111ABCDABC D中，M为1CC 的中点，AC 交 BD 于点 O，求证：1AO 平面 MBD 证明：连结 MO，1AM，DB1AA，DBAC，1AAACA，DB平面11AACC，而1AO 平面11AACC DB1AO 设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa 在 Rt11AC M中，22194AMa 22211AOMOAM，1A O O M OMDB=O，1AO平面 MBD 考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图，在三

15、棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ACBC，CFAB ADBD，DFAB 又CFDFF，AB 平面CDF CD 平面CDF，CDAB 又CDBE，BEABB，CD 平面ABE，CDAH AHCD，AHBE，CDBEE，AH 平面BCD 考点：线面垂直的判定 16、证明：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，A1C平面 BC1D D1 C1 A1 B1 D C A B 求异面直线所成的角和所成的角证明在中分别是的中点同理四边形是平行四边形考点证平行利用三角形中位线异面直线所成的角如图已知空间四边形中是的中

16、点求证平面平面平面证明同理又平面由有平面又平面平面平面考点线面垂角形的中位线又在平面内在平面外平面考点线面平行的判定已知中面求证面证明又面面又面考点线面垂直的判定已知正方体是底对角线的交点求证面面证明连结设是正方体是平行四边形的中点且是平行四边形面连结且又分别是面面下载考点线面垂直的判定正方体中求证平面平面若分别是的中点求证平面平面证明由得四边形是平行四边形平面又平面平面同理平面而平面平面由得平面取中点从而得同理平面平面平面考点线面平行的判定利用平行四边形四面体中学习必备 欢迎下载 证明：连结 AC B DA C AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影 BD ACAC BCACBC D111

17、11同理可证平面 考点：线面垂直的判定，三垂线定理 17、如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面 ABC平面 BSC 证明SB=SA=SC，ASB=ASC=60 AB=SA=AC 取 BC 的中点 O，连 AO、SO，则 AOBC，SOBC，AOS 为二面角的平面角，设 SA=SB=SC=a，又BSC=90，BC=2a，SO=22a，AO2=AC2OC2=a221a2=21a2，SA2=AO2+OS2，AOS=90，从而平面 ABC平面 BSC 考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）求异面直线所成的角和所成的角证明在中分别是的中点同理四边形是平行四边形考点证平行利用三角形中位线异面直线所成的角如图已知空间四边形中是的中点求证平面平面平面证明同理又平面由有平面又平面平面平面考点线面垂角形的中位线又在平面内在平面外平面考点线面平行的判定已知中面求证面证明又面面又面考点线面垂直的判定已知正方体是底对角线的交点求证面面证明连结设是正方体是平行四边形的中点且是平行四边形面连结且又分别是面面下载考点线面垂直的判定正方体中求证平面平面若分别是的中点求证平面平面证明由得四边形是平行四边形平面又平面平面同理平面而平面平面由得平面取中点从而得同理平面平面平面考点线面平行的判定利用平行四边形四面体中