四年级数学思维训练数列求和问题高考_-.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 四年级数学思维训练 数列求和问题 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。下面介绍有关等差数列的概念。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一

2、项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。例如：（1）5，6，7，8，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）4，12，20，28，804；（4）1，4，8，16，256。其中（1）是首项为 5，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（2）是首项为 1，末项为 99，公差为 2 的等差数列；（3）是首项为 4，末项为 804，公差为 8 的等差数列；（4）中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数2。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不

3、是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项首项）公差1，末项=首项公差（项数1）。【典型例题】例 1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请说明公差，若不是，则说明理由。（1）6，10，14，18，22，98；（2）1，2，1，2，3，4，5，6；（3）1，2，4，8，16，32，64；（4）9，8，7，6，5，4，3，2；（5）3，3，3，3，3，3，3；例 2、求 1231999 练习：学习必备 欢迎下载（1）123767778 （2）135959799 例 3、求 11121331 练习：261014202206210 例 4、求 371199

4、 练习：（1）4710292295298 （2）81522293671。例 5、求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。练习：求首项是 5，公差是 3 的等差数列的前 1999 项的和。例 6、计算（1）20003695154 （2）（2469698100）（135959799）了一道题让同学们计算老师出完题后全班同学都在埋头计算小高斯却很快算出答案等于高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现正好可以分成这样的对数每对数的和都相等于是小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这成一列称为数列数列中的每一个数称为一项其中第一项称为首项最后一项称为末项后项与前项之差都相等的数列称

5、为等差数列后项与前项之差称为公差数列中数的个数称为项数例如其中是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末方法得到等差数列的求和公式和首项末项项数在利用等差数列求和公式时有时项数并不是一目了然的这时就需要先求出项数根据首项末项公差的关系可以得到典型例题项数末项首项公差末项首项公差项数例下面的数列中哪些是等差学习必备 欢迎下载 （3）199119981985198211852 练习：（1）4000123767778 （2）560557554551500497 （3）2041981921862418126 例 7、某市举行数学竞赛，比赛前规定，前 15 名可以获奖，比赛结果第一名 1 人，第二名并列

6、2 人，第三名并列 3 人，,第十五名并列 15 人,问得奖的一共有多少人?练习:小明计算从 1 开始的若干个连续自然数的和,结果由于粗心把 1 当 10 来计算,得错误结果恰好是100,他算的是那些自然数的和?例 8、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 厘米 2，边长是 1 根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？了一道题让同学们计算老师出完题后全班同学都在埋头计算小高斯却很快算出答案等于高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现正好可以分成这样的对数每对数的和都相等于是小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这成一列称为数列数列中的每

7、一个数称为一项其中第一项称为首项最后一项称为末项后项与前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项之差称为公差数列中数的个数称为项数例如其中是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末方法得到等差数列的求和公式和首项末项项数在利用等差数列求和公式时有时项数并不是一目了然的这时就需要先求出项数根据首项末项公差的关系可以得到典型例题项数末项首项公差末项首项公差项数例下面的数列中哪些是等差学习必备 欢迎下载 练习：用相同的立方体摆成如图的形式，如果共摆成 10 层，那么最下面一层有多少个立方体？例 9、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成 3 只球后放回盒子里；第二次又从盒子

8、里拿出二只球，将每只球各变成 3 只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成 3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？巩固练习 了一道题让同学们计算老师出完题后全班同学都在埋头计算小高斯却很快算出答案等于高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现正好可以分成这样的对数每对数的和都相等于是小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这成一列称为数列数列中的每一个数称为一项其中第一项称为首项最后一项称为末项后项与前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项之差称为公差数列中数的个数称为项数例如其中是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末方法得到等差数列的求和公式和首项末项项数在

9、利用等差数列求和公式时有时项数并不是一目了然的这时就需要先求出项数根据首项末项公差的关系可以得到典型例题项数末项首项公差末项首项公差项数例下面的数列中哪些是等差学习必备 欢迎下载 1.计算下列各题：（1）246200；（2）17192139；（3）58111450；（4）3101724101。2.求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差数列的和。3.求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和。4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的

10、数共有多少个？参考答案 1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。了一道题让同学们计算老师出完题后全班同学都在埋头计算小高斯却很快算出答案等于高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现正好可以分成这样的对数每对数的和都相等于是小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这成一列称为数列数列中的每一个数称为一项其中第一项称为首项最后一项称为末项后项与前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项之差称为公差数列中数的个数称为项数例如其中是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末方法得到等差数列的求和公式和首项末项项数在利用等差数列求和公式时有时项数并不是一目了然的这时就需要先求出项数

11、根据首项末项公差的关系可以得到典型例题项数末项首项公差末项首项公差项数例下面的数列中哪些是等差学习必备 欢迎下载 2.1127。提示：项数=（93-5）4+1=23。3.2565。提示：末项=13+5（30-1）=158。4.180 次。解：（1+2+12）2+24=180（次）。5.1650。解：2+5+8+98=1650。6.45 个。提示：十位数为 1，2，9 的分别有 1，2，9 个。了一道题让同学们计算老师出完题后全班同学都在埋头计算小高斯却很快算出答案等于高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现正好可以分成这样的对数每对数的和都相等于是小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这成一列称为数列数列中的每一个数称为一项其中第一项称为首项最后一项称为末项后项与前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项之差称为公差数列中数的个数称为项数例如其中是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末方法得到等差数列的求和公式和首项末项项数在利用等差数列求和公式时有时项数并不是一目了然的这时就需要先求出项数根据首项末项公差的关系可以得到典型例题项数末项首项公差末项首项公差项数例下面的数列中哪些是等差