一次函数与反比例函数综合问题中考_-中考.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 一次函数和反比例函数是两类重要的函数，也是历年中考命题的热点内容 在各类考试中，常常出现两类函数的图象融合在一起的题目 例 如图 1，点P为反比例函数2yx上的一动点，作PDx轴于点D，POD的面积为k，则函数1ykx的图象为（）析解：设P点坐标为（ba,），因为P点在反比例函数2yx图象上，所以ab2，又因为P点在第一象限，所以POD的面积为k21ab，则一次函数的解析式为，它的图象与两坐标轴的交点分别是（，）和（，），应选（A）例 2 在同一直角坐标系中，函数(0)kykx与(0)ykxk k的图象大致是（）析解：在同一坐标系中，同时确定一次函数与反比例函数的图象，解

2、答这类问题一般 使用排除法，对每一个选项进行讨论 先根据选项中其中一个函数图象的位置特点确定k的符号，再根据k的符号确定另一个函数图象的位置在选项（）与（）中，由反比例函数的图象知k，则一次函数(0)ykxk k的图象应当过第一、二、三象限，（）中的一次函数图象不合题意，（）中的一次函数图象符合题意；在选项（）与（）中 由反比例函数的图象知k，则一次函数(0)ykxk k的图象应当过第二、三、四象限，但（）与（）中的一次函数图象都不符合题意故答案选（）练一练：函数yxm 与(0)mymx在同一坐标系内的图象可以是（）x y O A x y O B x y O C x y O D 图 1 x y

3、P 0 D A x y0 1 1 B x y0 1 1 C x y0 1 1 D x y0 1 1 x y x y x y x y学习好资料 欢迎下载 2 函数1ykx与函数kyx在同一坐标系中的大致图象是下图中的 （）3正比例函数kxy2与反比例函数xky1在同一坐标系中的图象不可能是（）参考答案：；3 例 3.如图，一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B，P 为 AB上一点且PC 为AOB的中位线，PC 的延长线交反比例函数的图象于 Q，则 k 的值和 Q 点的坐标分别为_.分析:由一次函数求得点 A、B的坐标,从而点 P坐标可得,因 PQ轴,则点 Q 坐标可表示,再由,列方程则问

4、题可解.解:对一次函数,令=0 得=4 令=0 得=-2;得到点 A、B的坐标分别为(4,0)和(0,-2).P 为 AB上一点且 PC为AOB的中位线，得到 P(2,-1)PC的延长线交反比例函数的图象于 Q，则 Q 点的坐标为(2,),由,即,得到,从而点 Q 的坐标为.评注:本例涉及到直线与坐标轴交点坐标,中点坐标;与轴平行的直线上点的横坐标,根据点 Q 与点 P的横坐标相等,可得点 Q 的坐标,由布列方程可得 k的值.进而求得 Q 点的坐标.例 4 已知：如图 1，在平面直角坐标系xOy中，RtOCD的一边 OC在x轴上，C=90，点 D在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函数的图象

5、经过 OD的中点 A 122yx(0)kykx32OQCSy32OQCS122yxyxxy(0)kykx2k32OQCS232221k3k)23,2(yCQOCSOQC21x y O B x y O D O x y C x y O A x y x y x y x y 现两类函数的图象融合在一起的题目例如图点为反比例函数上的一动点作轴于点的面积为则函数的图象为析解设点坐标为因为点在反比例函数图象上所以又因为点在第一象限所以的面积为则一次函数的解析式为它的图象与两坐标轴函数的图象解答这类问题一般使用排除法对每一个选项进行讨论先根据选项中其中一个函数图象的位置特点确定的符号根据的符号确定另一个函数图

6、象的位置在选项与中由反比例函数的图象知则一次函数的图象应当过第一二三象限过第二三四象限但与中的一次函数图象都不符合题意故答案选练一练函数与在同一坐标系内的图象可以是图学习好资料欢迎下载函数与函数在同一坐标系中的大致图象是下图中的正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象不可学习好资料 欢迎下载 求该反比例函数的解析式；若该反比例函数的图象与 RtOCD的另一边 DC交于点 B，求过 A、B两点的直线的解析式 分析:本题考查用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式.解:由题意得，点 A的坐标是(1.5,2),该反比例函数的解析式为 y=x3.(把 x=3 代入 y=1.点 B的坐标是(3,1)

7、.设过 A、B两点的直线的解析式为:bkxy,则.5.12,31bkbk解得.3,32bk 设过A、B两点的直线的解析式为:332xy.例 5 如图 2，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点 A(，2)，点B(2,n)，一次函数图像与 y 轴的交点为 C.（1）求一次函数解析式；（2）求 C点的坐标；（3）求AOC的面积.分析:(1)欲求一次函数解析式,需先计算点A横坐标m和点B的纵坐标n,只需把点A(，2)，点 B(2,n)坐标代入即可;(2)令(1)中的一次函数解析式中 x=0 计算 y 即可得到 C点的坐标;(3)AOC的面积是 OC(C点的纵坐标)与 OC边上的高(A 点的纵坐标)积

8、的一半.解:由题意：把 A（m，2），B（-2，n）代入 2yx中得 11mn A（1，2）B（-2，-1）将 A、B代入ykxb中得 xy2bkxyxy2第16题图ABCDOxy图 1 现两类函数的图象融合在一起的题目例如图点为反比例函数上的一动点作轴于点的面积为则函数的图象为析解设点坐标为因为点在反比例函数图象上所以又因为点在第一象限所以的面积为则一次函数的解析式为它的图象与两坐标轴函数的图象解答这类问题一般使用排除法对每一个选项进行讨论先根据选项中其中一个函数图象的位置特点确定的符号根据的符号确定另一个函数图象的位置在选项与中由反比例函数的图象知则一次函数的图象应当过第一二三象限过第二三

9、四象限但与中的一次函数图象都不符合题意故答案选练一练函数与在同一坐标系内的图象可以是图学习好资料欢迎下载函数与函数在同一坐标系中的大致图象是下图中的正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象不可学习好资料 欢迎下载 221kbkb 11kb 一次函数解析式为：1yx （2）C（0，1）（3）111 122AOCS 例 6 如图，点 A（m，m1），B（m3，m1）都在反比例函数的图象上 （1）求 m，k 的值；（2）如果 M 为 x 轴上一点，N 为 y 轴上一点，以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线 MN 的函数表达式 分析:把点 A、B的坐标代入反比例函数关系式,得到

10、关于 的方程组,解方程组可求得的值,则点 A、B的坐标可求.根据平行四边形的对边平行,通过平移,可求得点的坐标,进而可得直线 MN 的函数表达式 解：（1）由题意可知，解得,m3 A（3，4），B（6，2）；k43=12 （2）存在两种情况，如图：当 M 点在 x 轴的正半轴上，N 点在 y 轴的正半轴上时，设 M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1）四边形 AN1M1B为平行四边形，线段 N1M1可看作由线段 AB向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位得到的 由（1）知 A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），N1点坐标为（0，42），即 N1（0，2）；M1点坐标为（6

11、3，0），即 M1（3，0）设直线 M1N1的函数表达式为，把 x3，y0 代入，解得 直线 M1N1的函数表达式为 当 M 点在 x 轴的负半轴上，N 点在 y 轴的负半轴上时，设 M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）ABN1M1，ABM2N2，ABN1M1，ABM2N2，N1M1M2N2，N1M1M2N2 线段 M2N2与线段 N1M1关于原点 O 成中心对称 M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）设直线 M2N2的函数表达式为，把 x-3，y0 代入，解得，直线 M2N2的函数表达式为 xky xky km,km,NM,131mmmm21 xky321k232x

12、y22 xky322k232xyx O y A B 现两类函数的图象融合在一起的题目例如图点为反比例函数上的一动点作轴于点的面积为则函数的图象为析解设点坐标为因为点在反比例函数图象上所以又因为点在第一象限所以的面积为则一次函数的解析式为它的图象与两坐标轴函数的图象解答这类问题一般使用排除法对每一个选项进行讨论先根据选项中其中一个函数图象的位置特点确定的符号根据的符号确定另一个函数图象的位置在选项与中由反比例函数的图象知则一次函数的图象应当过第一二三象限过第二三四象限但与中的一次函数图象都不符合题意故答案选练一练函数与在同一坐标系内的图象可以是图学习好资料欢迎下载函数与函数在同一坐标系中的大致图

13、象是下图中的正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象不可学习好资料 欢迎下载 所以，直线 MN 的函数表达式为或 评注:本例涉及到求反比例函数图象上点的坐标及点在坐标系中的平移,直线函数表达式的求法.点在坐标系内沿水平方向左右平移,其纵坐标不变,横坐标左减右加,沿竖直方向上下平移,其横坐标不变,纵坐标上加下减;本例还涉及到了分类讨论思想.例 7 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，与之间的两

14、个函数关系式及相应的自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?分析:.(1)根据点 P 在反比例函数图象上,可以求得反比例函数解析式,进而可以求得药物释放结束,即室内每立方米空气中的含药量为1毫克的时间,再用待定系数法求正比例函数解析式.(2)根据含药量小于毫克,列不等式,求得学生才能进入教室的时间.解:(1)将点代入函数关系式,解得,则有 所以所求反比例函数关系式为 将代入,得,;再将代入,得,所以所求正比例函数关系式为.(2)根据题意,列不等式,解得,所以至少需要经过 6 小时后

15、，学生才能进入教室.评注:这既是一道函数应用题,也是一道图象信息题,关键是要从函数图象中获取有效的数据信息.还要能正确确定函数自变量的取值范围.232xy232xyytyttay ayt0.25y0.25),3(21Ptay 23aty23)(2323tyt1yty2323t)1,(23kty 32k)0(2332tty4123t6t 现两类函数的图象融合在一起的题目例如图点为反比例函数上的一动点作轴于点的面积为则函数的图象为析解设点坐标为因为点在反比例函数图象上所以又因为点在第一象限所以的面积为则一次函数的解析式为它的图象与两坐标轴函数的图象解答这类问题一般使用排除法对每一个选项进行讨论先根据选项中其中一个函数图象的位置特点确定的符号根据的符号确定另一个函数图象的位置在选项与中由反比例函数的图象知则一次函数的图象应当过第一二三象限过第二三四象限但与中的一次函数图象都不符合题意故答案选练一练函数与在同一坐标系内的图象可以是图学习好资料欢迎下载函数与函数在同一坐标系中的大致图象是下图中的正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象不可