五类解三角形题型--2024新高考数学大题秒杀技巧含答案.pdf

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1、1五类解三角形题型五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。类型1：面积最值问题类型1：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式技巧：正规方法：面积公式+基本不等式S=12absinCa2+b2c2=2abcosC a2+b2=2abcosC+c22ababc22 1cosCS=12acsinBa2+c2b2=2accosB a2+c2=2accosB+b22acacb22 1cosBS=12bcsinAb2+

2、c2a2=2bccosA b2+c2=2bccosA+a22bcbca22 1cosA秒杀方法：秒杀方法：在ABC中，已知B=，AC=x则：SABCmax=AB+BC2max8sinB其中 AB+BCmax=2Rm2+n2+2mncos m,n分别是BA、BC的系数2R=xsin面积最值问题专项练习面积最值问题专项练习1 ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2 acosC-b，c2+a2=b2+3ac，b=2.(1)求A；(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，MAN=3，求AMN面积的取值范围.五类解三角形题型五类解三角形题型-2024新高考数学大题秒杀技巧含答案新高考数

3、学大题秒杀技巧含答案22已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3csinB=a-bcosC.(1)求B；(2)若DC=AD，BD=2，求ABC的面积的最大值.3在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=2b-csinB+c 2sinC-sinB(1)求A；(2)点D在边BC上，且BD=3DC，AD=4，求ABC面积的最大值4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c=2 acosC-b，c2+a2=b2+3ac，b=2(1)求A；(2)若M是直线BC外一点，BMC=3，求BMC面积的最大值35在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，(sinA

4、+sinB)(a-b)=c(sinC-sinB)，D为BC边上一点，AD平分BAC,AD=2(1)求角A；(2)求ABC面积的最小值6在m=2a-c,b，n=cosC,cosB，mn；bsinA=acos B-6；a+ba-b=a-cc三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分(1)求角B；(2)若b=2，求ABC面积的最大值类型类型2 2：三角形周长定值及最值：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出

5、两边之和类型二：已知一角与三角等量模型类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度4最值步骤如下：最值步骤如下：第一步：先表示出周长l=a+b+c第二步：利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，CD 为CA 在CB 方向上的投影向量，且满足2csinB=5 CD.(1)求cosC的值；(2)若b=3，a=3ccosB，求ABC的周长.8如图，在梯形ABCD

6、中，ABCD，D=60(1)若AC=3，求ACD周长的最大值；(2)若CD=2AB，BCD=75，求tanDAC的值59已知ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c点O为ABC的内心，b=2 3 且S=34(a2+c2-b2)(1)求B的大小；(2)求AOC的周长的取值范围10在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA-sinB3a-c=sinCa+b(1)求角B的值；(2)若a=2，求ABC的周长的取值范围11在ABC中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c，a-ca+c+b b-a=0(1)求C；(2)若c=3，ABC的面积是32，求ABC的周长6类型类

7、型3 3：三角形涉及中线长问题：三角形涉及中线长问题中线长定理：中线长定理：(两次余弦定理推导可得两次余弦定理推导可得)+()+(一次大三角形一次中线所在三角形一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值同余弦值)如：在如：在ABC与与ABD同用同用cosB求求ADAB2+AC22=AD2+CD2中线长常用方法中线长常用方法cosADB+cosADC=0已知已知AB+AC，求，求AD的范围的范围AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义为定值，故满足椭圆的第一定义半短轴AD半长轴三角形涉及中线长问题专项练习三角形涉及中线长问题专项练习12在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=7，c=5

8、.(1)若sinB=78，求cosC的值；(2)若BC边上的中线长为21，求a的值.713在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2,b=5,c=1(1)求sinA,sinB,sinC中的最大值；(2)求AC边上的中线长14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3bsinA=acosB+a.(1)求角B的值；(2)若c=8，ABC的面积为20 3，求BC边上中线AD的长.15如图，在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知b=3，c=6，sin2C=sinB，且AD为BC边上的中线，AE为BAC的角平分线(1)求cosC及线段BC的长；(2)求A

9、DE的面积816在ABC中，A=23，AC=2 3，点D在AB上，CD=3 2.(1)若CD为中线，求ABC的面积；(2)若CD平分ACB，求BC的长.17在3b=a sinC+3cosC；asinC=csinB+C2；acosC+12c=b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.类型类型4 4：三角形涉及角平分线问题：三角形涉及角平分线问题张角定理张角定理如图，在如图，在ABC中，中，D为为B

10、C边上一点，连接边上一点，连接AD,设设AD=l，BAD=,CAD=则一定有则一定有sin+l=sinb+sinc9三角形涉及角平分线问题专项练习三角形涉及角平分线问题专项练习18设a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，sinB-sinCb=a-csinA+sinC(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分设角A的角平分线交BC边于点D，且AD=1，求ABC面积的最小值设点D为BC边上的中点，且AD=1，求ABC面积的最大值19在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinB+33bcos A+B=33b.(1)求角C的大小

11、；(2)若c=3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求ABD面积的取值范围.20已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足 bcosC+ccosBsinB+3bcosA=0.(1)求A；(2)若c=2，a=2 3，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长.1021已知ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且有3cosA ccosB+bcosC+asinA=0(1)求A；(2)设AD是ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x2-6x+4=0的两根，求线段AD的长度22在bsinB+csinC=2 33bsinC+asinA；cos2C+sinBsinC=sin2B+co

12、s2A；2b=2acosC+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC外接圆的半径为1，且.(1)求角A；(2)若AC=2，AD是ABC的内角平分线，求AD的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.类型类型5 5：三角形涉及长度最值问题：三角形涉及长度最值问题秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦

13、或余弦函数求出最值11三角形涉及长度最值问题专项练习三角形涉及长度最值问题专项练习23设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知ABC的面积为34c2-a2-b2(1)求C；(2)延长BC至D,使BD=3BC，若b=2，求ADAB的最小值24在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2-b2=accosB-12bc(1)求A；(2)若a=6，2BD=DC，求线段AD长的最大值.25锐角ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosAsin B+3.(1)求A；(2)若b+c=6，求BC边上的高AD长的最大值.1226在ABC中，角A,B,C的对边分别是

14、a，b，c，asin B+C=b-csinB+csinC.(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且ADBC，求AD的最大值.27记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为312b2(1)若A=6，求sinBsinC；(2)求a2+c2ac的最大值1五类解三角形题型五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。类型类型1 1：面积最值问题：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式技巧：正规方法：面积公式

15、+基本不等式基本不等式S=12absinCa2+b2c2=2abcosC a2+b2=2abcosC+c22ababc22 1cosCS=12acsinBa2+c2b2=2accosB a2+c2=2accosB+b22acacb22 1cosBS=12bcsinAb2+c2a2=2bccosA b2+c2=2bccosA+a22bcbca22 1cosA秒杀方法：秒杀方法：在ABC中，已知B=，AC=x则：SABCmax=AB+BC2max8sinB其中 AB+BCmax=2Rm2+n2+2mncos m,n分别是BA、BC的系数2R=xsin面积最值问题专项练习面积最值问题专项练习1ABC

16、的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2 acosC-b，c2+a2=b2+3ac，b=2.(1)求A；(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，MAN=3，求AMN面积的取值范围.【答案】(1)23(2)33,32【详解】(1)由c=2 acosC-b得2acosC=c+2b，由正弦定理得2sinAcosC=sinC+2sinB=sinC+2sin A+C=sinC+2sinAcosC+2cosAsinC，所以2cosAsinC+sinC=0，又因为C 0，所以sinC0，所以cosA=-12，又A 0，所以A=23，(2)由c2+a2=b2+3ac，得c2+a2-b2=3ac，由

17、余弦定理知cosB=c2+a2-b22ac=32，又因为B 0，2所以B=6，所以C=-A-B=6，所以b=c=2，如图，设BAM=,则CAN=3-,BMA=56-,CNA=2+，在ABM中，由正弦定理可知AM=csinBsinBMA=2sin6sin56-=1sin6+，在ANC中，由正弦定理可知AN=bsinCsinCNA=2sin6sin2+=1cos，故SAMN=12AMANsinMAN=121sin+61cossin3=34sin+6cos=323sin+coscos=32 3sincos+2cos2=33sin2+cos2+1=32sin 2+6+1，因为 0，3，所以62+656

18、，所以12sin 2+61，所以22sin 2+6+13，所以3332sin 2+6+132，即SAMN33，32.2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3csinB=a-bcosC.(1)求B；(2)若DC=AD，BD=2，求ABC的面积的最大值.【答案】(1)6(2)8-4 3【详解】(1)由题意，在ABC中，3csinB=a-bcosC，asinA=bsinB=csinC，A+B+C=3sinCsinB=sinA-sinBcosC,即3sinCsinB=sin B+C-sinBcosC，3sinB-cosBsinC=0，sinC0，0B3sinB-cosB=0，可得tan

19、B=33，解得：B=6.(2)由题意及(1)得在ABC中，B=6，DC=AD，BD=2，D为边AC的中点，4 BD 2=422=162BD=BA+BC,34 BD 2=BA+BC 2=BA 2+2BA BC+BC 2，即4 BD 2=BA 2+2 BA BC cosB+BC 2=16，设 BA=c，BC=a，则a2+c2+2accos6=a2+c2+3ac=16 2+3ac，所以ac162+3=32-16 3，当且仅当a=c时，等号成立.SABC=12acsinB=14ac8-4 3，当且仅当a=c时，等号成立，ABC的面积的最大值为8-4 3.3在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对

20、边，且2asinA=2b-csinB+c 2sinC-sinB(1)求A；(2)点D在边BC上，且BD=3DC，AD=4，求ABC面积的最大值【答案】(1)A=3(2)64 39【详解】(1)2asinA=2b-csinB+c 2sinC-sinB，2a2=2b-cb+2c-bc，即a2=b2+c2-bc，cosA=b2+c2-a22bc=12，A 0,A=3(2)根据题意可得AD=AB+BD=AB+34BC=14AB+34AC，所以平方可得16=116c2+916b2+38bccos3又256=c2+9b2+3bc9bc，所以bc2569，当且仅当b=16 39，c=16 33时，等号成立，

21、所以S=12bcsin312256932=64 39，即ABC面积的最大值为64 394ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c=2 acosC-b，c2+a2=b2+3ac，b=2(1)求A；(2)若M是直线BC外一点，BMC=3，求BMC面积的最大值【答案】(1)23(2)3 3【详解】(1)由c=2 acosC-b得2acosC=c+2b，4由正弦定理得2sinAcosC=sinC+2sinB，因为sinB=sin(-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，所以2cosAsinC+sinC=0又因为C(0,)，所以sinC0，所以cosA=-12.因为A

22、(0,)，所以A=23(2)由c2+a2=b2+3ac得c2+a2-b2=3ac，故cosB=c2+a2-b22ac=32因为B(0,)，所以B=6，所以C=-A-B=6，可得b=c=2.根据正弦定理asinA=bsinB可得，a=bsinAsinB=23212=2 3.设BM=m，CM=n，在BMC中，BMC=3，由余弦定理可得a2=m2+n2-2mncos3=m2+n2-mn=12.所以12=m2+n2-mn2mn-mn=mn，当且仅当m=n=2 3 时取等号，所以mn12.所以SMBC=12mnsin3=34mn3412=3 3故BMC面积的最大值为3 35在ABC中，角A，B，C对边分

23、别为a，b，c，(sinA+sinB)(a-b)=c(sinC-sinB)，D为BC边上一点，AD平分BAC,AD=2(1)求角A；(2)求ABC面积的最小值【答案】(1)A=3；(2)433【详解】(1)由(sinA+sinB)(a-b)=c(sinC-sinB)，可得(a+b)(a-b)=c(c-b)，整理得b2+c2-a2=bc，则cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又0A0，所以cosB=12，因为B(0,)，所以B=3.选：因为bsinA=acos B-6，由正弦定理得sinBsinA=sinA32cosB+12sinB，又因为A(0,)，可得sinA0，则sinB=

24、32cosB+12sinB，即12sinB=32cosB，可得tanB=3，因为B(0,)，所以B=3.选：因为 a+ba-b=a-cc，可得a2+c2-b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，6又因为B(0,)，所以B=3.(2)解：因为B=3，且b=2，由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB，即4=a2+c2-2accos3，可得a2+c2-ac=4，又由a2+c2-ac2ac-ac=ac，当且仅当a=c时，等号成立，所以ac4，所以ABC的面积SABC=12acsinB124sin3=3，即ABC的面积的最大值为3.类型类型2 2：三角形周长定值

25、及最值：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：最值步骤如下：第一步：先表示出周长l=a+b+c第二步：利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，CD 为CA 在CB 方向上的投影向

26、量，且满足2csinB=5 CD.(1)求cosC的值；(2)若b=3，a=3ccosB，求ABC的周长.【答案】(1)23(2)2+2 3【详解】(1)由CD 为CA 在CB 方向上的投影向量，则 CD=bcosC，即2csinB=5bcosC，根据正弦定理，2sinCsinB=5sinBcosC，在锐角ABC中，B 0,2，则sinB0，即2sinC=5cosC，由C 0,2，则cos2C+sin2C=1，整理可得cos2C+54cos2C=1，解得cosC=23.(2)由a=3ccosB，根据正弦定理，可得sinA=3sinCcosB，7在ABC中，A+B+C=，则sin B+C=3si

27、nCcosB，sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB，sinBcosC=2sinCcosB，由(1)可知cosC=23，sinC=1-cos2C=53，则sinB=5cosB，由sin2B+cos2B=1，则5cos2B+cos2B=1，解得cosB=66，sinB=306，根据正弦定理，可得bsinB=csinC，则c=sinCsinBb=2，a=62c=3，故ABC的周长CABC=a+b+c=2 3+2.8如图，在梯形ABCD中，ABCD，D=60(1)若AC=3，求ACD周长的最大值；(2)若CD=2AB，BCD=75，求tanDAC的值【答案】(1)9(2)3+3【详解

28、】(1)在ACD中，AC2=AD2+DC2-2ADDCcosD=AD2+DC2-ADDC=(AD+DC)2-3ADDC(AD+DC)2-3AD+DC22=(AD+CD)24，即9(AD+CD)24，解得：AD+DC6，当且仅当AD=DC=3时取等号故ACD周长的最大值是9(2)设DAC=，则DCA=120-，BCA=-45在ACD中，CDsin=ACsin60，在ACB中，ABsin-45=ACsin105，两式相除得，2sin-45sin=sin105sin60，因为sin105=sin 45+60=sin45cos60+cos45sin60=6+24，(6-2)sin=2 6cos，故ta

29、nDAC=tan=2 66-2=3+39已知ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c点O为ABC的内心，b=2 3 且S=34(a2+c2-b2)(1)求B的大小；(2)求AOC的周长的取值范围8【答案】(1)B=3(2)4 3,4+2 3【详解】(1)因为S=34(a2+c2-b2)=12acsinB，所以342accosB=12acsinB，即3cosB=sinB，可得tanB=3，因为B(0,)，所以B=3(2)设AOC周长为l，OAC=，如图所示，由(1)知B=3，所以0BAC23，可得0c，若C为钝角，则B也为钝角，与三角形内角和矛盾，故C 0,2cosC0，即cosC=1

30、-sin2C=1-582=1-2564=3964=398(2)取BC边上的中点D，则AD=21，设BD=x在ABD中，利用余弦定理知：cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD=21+x2-522 21x=-4+x22 21x11在ACD中，利用余弦定理知：cosADC=AD2+CD2-AC22ADCD=21+x2-722 21x=-28+x22 21x又ADB+ADC=，则cosADB+cosADC=0即-4+x22 21x+-28+x22 21x=0，即2x2-32=0，解得x=4又a=2x=8故a的值为8.13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2,b=5,c

31、=1(1)求sinA,sinB,sinC中的最大值；(2)求AC边上的中线长【答案】(1)最大值为sinB=22(2)12【详解】(1)5 2 1，故有bacsinBsinAsinC，由余弦定理可得cosB=(2)2+12-(5)222 1=-22，又B(0,)，B=34，故sinB=22(2)设AC边上的中线为BD，则BD=12(BA+BC)，(2BD)2=(BA+BC)2=c2+a2+2cacosB=12+(2)2+212 cos34=1，|BD|=12，即AC边上的中线长为1214在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3bsinA=acosB+a.(1)求角B的值；(2

32、)若c=8，ABC的面积为20 3，求BC边上中线AD的长.【答案】(1)3(2)7【详解】(1)解：由正弦定理得3sinBsinA=sinAcosB+sinA，A 0,，sinA03sinB=cosB+1，则sin B-6=12，B 0,，B=3；(2)S=12acsinB=20 3，c=8，a=10，12由余弦定理AD2=c2+a22-212accosB=64+25-40=49，得AD2=49，AD=7，15如图，在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知b=3，c=6，sin2C=sinB，且AD为BC边上的中线，AE为BAC的角平分线(1)求cosC及线段BC的长；(2)求A

33、DE的面积【答案】(1)cosC=14，BC=6(2)3 158【详解】(1)sin2C=sinB，2sinCcosC=sinB，2ccosC=b，cosC=14由余弦定理得cosC=a2+9-366a=14a=6(负值舍去)，即BC=6.(2)cosC=140，C 0,2，sinC=154，SABC=12CACBsinC=9 154，AE平分BAC，sinBAE=sinCAE，由正弦定理得：BEsinBAE=ABsinAEB,CEsinCAE=ACsinAEC，其中sinAEB=sinAEC，ABAC=BECE=2SAEC=13SABC，AD为BC边的中线，SADC=12SABC，SADE=

34、SADC-SAEC=16SABC=3 158.16在ABC中，A=23，AC=2 3，点D在AB上，CD=3 2.(1)若CD为中线，求ABC的面积；(2)若CD平分ACB，求BC的长.【答案】(1)9-3 3(2)6(1)解：由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcosA，3 22=2 32+AD2-22 3 AD-12，解得AD=-3 3(负值舍).13所以，AB=2AD=6-2 3，故SABC=12ABACsinA=12 6-2 32 3 32=9-3 3.(2)解：由正弦定理得CDsinA=ACsinADC，即3 232=2 3sinADC，解得sinADC=22.又A=23，

35、则ADC 0,3，ADC=4，ACD=-23-4=12.又CD平分ACB，则ACB=2ACD=6.所以，B=-23-6=6，则B=ACB，故AB=AC=2 3.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=2 32+2 32-22 3 2 3 -12=36.因此，BC=6.17在3b=a sinC+3cosC；asinC=csinB+C2；acosC+12c=b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一

36、个解答进行计分.【答案】(1)任选一个，答案均为3(2)132(2)在ABD和ACD中分别应用余弦定理后相加可得AD【详解】(1)选3b=a sinC+3cosC，由正弦定理得3sinB=sinA(sinC+3cosC)，3sin(A+C)=sinAsinc+3sinAcosC，3(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC+3sinAcosC，3cosAsinC=sinAsinC，三角形中sinC0，所以tanA=3，又A(0,)，所以A=3；选asinC=csinB+C2由正弦定理得sinAsinC=sinCsinB+C2=sinCcosA2，三角形中sinC0，所以2sinA

37、2cosA2=cosA2，又三角形中cosA20，所以sinA2=12，A(0,)，所以A2=6，即A=3；14选acosC+12c=b，由余弦定理得a2+b2-c22b+12c=b，整理得b2+c2-a2=bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=12，而A(0,)，A=3；(2)由(1)a2=b2+c2-2bccosA=1+9-213cos3=7，a=7，由余弦定理得：b2=AD2+CD2-2ADCDcosCDAc2=AD2+BD2-2ADBDcosBDA，又BD=CD，cosCDA=-cosBDA，所以b2+c2=2AD2+BD2+CD2=2AD2+12a2，所以AD2=121+9-1

38、27=134，AD=132类型类型4 4：三角形涉及角平分线问题：三角形涉及角平分线问题张角定理张角定理如图，在如图，在ABC中，中，D为为BC边上一点，连接边上一点，连接AD,设设AD=l，BAD=,CAD=则一定有则一定有sin+l=sinb+sinc三角形涉及角平分线问题专项练习三角形涉及角平分线问题专项练习18设a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，sinB-sinCb=a-csinA+sinC(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分设角A的角平分线交BC边于点D，且AD=1，求ABC面积的最小值设点D为BC边上的中点，且AD=1，求AB

39、C面积的最大值【答案】(1)A=3；(2)33；33.【详解】(1)asinA=bsinB=csinC且 sinB-sinCb=a-csinA+sinC,b-cb=a-ca+c，即b2+c2-a2=bc，cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A 0,，A=3；15(2)选AD平分BAC，BAD=CAD=12BAC=6，SABD+SACD=SABC，12ABADsinBAD+12ACADsinCAD=12bcsinA，即csin6+bsin6=bcsin3，c+b=3bc由基本不等式可得：3bc=b+c2 bc，bc43，当且仅当b=c=2 33时取“=”，SABC=12bcsi

40、nA=34bc33，即ABC的面积的最小值为33；因为AD是BC边上的中线，在ADB中由余弦定理得cosADB=a22+12-c22a21，在ADC中由余弦定理得cosADC=a22+12-b22a21，cosADB+cosADC=0，a22+2=b2+c2，在ABC中，A=3，由余弦定理得a2=b2+c2-bc，4-bc=b2+c24-bc=b2+c22bc，解得bc43，当且仅当b=c=2 33时取“=”，所以SABC=12bcsinA=34bc33，即ABC的面积的最大值为33.19在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinB+33bcos A+B=33b.(

41、1)求角C的大小；(2)若c=3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求ABD面积的取值范围.【答案】(1)316(2)3-34,34【详解】(1)解：csinB+33bcos A+B=33b，由正弦定理可得：sinCsinB+33sinBcos A+B=33sinB，sinCsinB-33sinBcosC=33sinB，sinB0，sinC-33cosC=33，sin C-6=12，C为锐角，C-6-6,3，C-6=6，C=3；(2)解：由题意可知ADB=23，设DAB=，ABD=3-，022，又B=-3-2 0,2，12,4，在ABD中，由正弦定理可得：ABsinADB=ADsinABD，即

42、：3sin23=ADsin3-，AD=2sin3-，SABD=12ABADsin=123 2sin3-sin=32sincos-32sin2=32sin 2+6-34，12,4，2+63,23，sin 2+632,1，32sin 2+6-343-34,34，三角形面积的取值范围为3-34,34.20已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足 bcosC+ccosBsinB+3bcosA=0.(1)求A；(2)若c=2，a=2 3，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长.【答案】(1)23；(2)6.【详解】(1)由正弦定理化边为角可得：sinBcosC+sinCcosBsinB

43、+3sinBcosA=0，即sin B+CsinB+3sinBcosA=0所以sinAsinB+3sinBcosA=0，因为sinB0，所以sinA+3cosA=017即tanA=-3.因为0A0，所以tanA3因为A 0,所以A=3.选择：cos2C+sinBsinC=sin2B+cos2A得：1-sin2C+sinBsinC=sin2B+1-sin2A，即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，由正弦定理得：b2+c2-a2=bc.由余弦定理得：cosA=b2+c2-a22bc=12，因为A 0,所以A=3.选择：由2b=2acosC+c，结合正弦定理得：2sinB=2sin

44、AcosC+sinC.因为A+B+C=，所以sinB=sin A+C，即2sin A+C=2sinAcosC+sinC,所以2cosAsinC=sinC.因为C 0,所以sinC0，所以cosA=12因为A 0,所以A=3.(2)在ABC中，由正弦定理得：ACsinB=2R=2,所以sinB=22，所以B=4(因为A=3，由内角和定理，B不可能为34).在ABD中，由正、余弦定理建立方程组得：ADsinB=BDsinA2cosB=BD2+AB2-AD22ABBDABsinC=2R，即AD22=BD1222=BD2+AB2-AD22ABBDAB6+24=2，19解得：AD=2BD=1AB=6+2

45、2，即AD=2.类型类型5 5：三角形涉及长度最值问题：三角形涉及长度最值问题秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值三角形涉及长度最值问题专项练习三角形涉及长度最值问题专项练习23设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知ABC的面积为34c2-a2-b2(1)求C；(2)延长BC至D,使BD=3BC，若b=2，求ADAB的最小值【答案】(1)23(

46、2)3-1【详解】(1)解：由余弦定理可得c2-a2-b2=-2abcosC，因为ABC的面积为34c2-a2-b2，可得SABC=34c2-a2-b2=-32abcosC，又因为SABC=12absinC，所以12absinC=-32abcosC，即tanC=-3，因为0C0，则AD 2=4t2+4+2tt2+1-t=4t2-t+1+3t+3t2-t+1=4+12 t+1t2-t+1.令u=t+1，则u1，所以AD 2=4+12uu2-3u+3=4+12u+3u-34+122 3-3=16+8 3，当且仅当u=3u，即u=3 时取等号.所以，AD 16+8 3=2 3+2，所以，线段AD长的

47、最大值为2 3+2.解法二：设ABC外接圆的半径为R，根据正弦定理，可得2R=632，所以R=2 3.21当AD过圆心O时，AD的长取得最大值.作OEBC，则E为BC的中点，因为BAC=3，所以BOE=122BAC=3，所以OE=OBcos3=3.因为BE=3，BD=13BC=2，所以DE=1，所以OD=OE2+ED2=2，所以AD=2 3+2，所以，线段AD长的最大值为2 3+2.25锐角ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosAsin B+3.(1)求A；(2)若b+c=6，求BC边上的高AD长的最大值.【答案】(1)A=3(2)3 32【详解】(1)因为C=-(

48、A+B)，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，又sinC=2cosAsin B+3=2cosA12sinB+32cosB=cosAsinB+3cosAcosB，所以sinAcosB=3cosAcosB，所以cosB(sinA-3cosA)=0，所以cosB=0或sinA-3cosA=0，若cosB=0，则B=2，与ABC为锐角三角形矛盾，舍去，从而sinA-3cosA=0，则tanA=3，又0A2，所以A=3；(2)由(1)知cosA=12=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=36-2bc-a22bc，22化简得a2=36-3bc，因为SA

49、BC=12aAD=12bcsinA，所以AD=3bc2a，所以AD2=3(bc)24a2=3(bc)24(36-3bc)，又b+c2 bc，所以bc9，当且仅当b=c=3时取等号，所以AD2=3(bc)24(36-3bc)=3436(bc)2-3bc343692-39=274，所以AD3 32，故AD长的最大值为3 32.26在ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，asin B+C=b-csinB+csinC.(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且ADBC，求AD的最大值.【答案】(1)3(2)3【详解】(1)由asin B+C=b-csinB+csinC，得asinA=b-csi

50、nB+csinC，由正弦定理，得a2=b-cb+c2=b2+c2-bc.由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.又A 0,，所以A=3.(2)因为a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc2bc-bc=bc，所以bc4，当且仅当b=c=2时取等号，又12bcsinA=12ADa，a=2，所以AD=12bcsinA1=34bc3，故AD的最大值为3.27记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为312b2(1)若A=6，求sinBsinC；(2)求a2+c2ac的最大值【答案】(1)3(2)4【详解】(1)由于SABC=12bcsinA=