1.1空间向量及其运算.docx
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1、第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.11空间向量及其线性运算例1 如图1.1-9,已知平行四边形,过平面外一点O作射线,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使求证:E,F,G,H四点共面图11-9分析:欲证E,F,G,H四点共面,只需证明,共面而由已知,共面,可以利用向量运算由,共面的表达式推得,共面的表达式证明:因为所以,因为四边形是平行四边形,所以因此由向量共面的充要条件可知,共面,又,过同一点E,从而E,F,G,H四点共面练习1. 举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例【答案】实例见解析;【解析】【分析】在空间几何体中,从一点出发的不同面的向量即可.【详解】在三棱
2、锥中,不同在一个平面内;长方体中,从一个顶点A引出的三个向量,不同在一个平面内.2. 如图,E,F分别是长方体的棱AB,CD的中点、化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量:(1); (2);(3); (4)【答案】(1);(2);(3);(4)【解析】【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.【详解】(1);(2);(3);(4).3. 在图中,用,表示,及【答案】;.【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.【详解】,.4. 如图,已知四面体ABCD,E,F分别是BC,CD的中点,化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量;(1); (2);(3)【答案】(1);(2);(
3、3)【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】(1);(2);(3).5. 如图,已知正方体,E,F分别是上底面和侧面的中心,求下列各式中x,y的值:(1) (2)(3)【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)化简即得解;(2)化简即得解;(3)化简即得解.【详解】(1),所以;(2),所以;(3),所以.1.1.2空间向量的数量积运算例2 如图1.1-12,在平行六面体中,求:图1.1-12(1);(2)的长(精确到0.1)解:(1),;(2),所以例3 如图1.1-13,m,n是平面内的两条相交直线如果,求证:图11-13分析:要证明,就是要证明l垂直于内的
4、任意一条直线g(直线与平面垂直的定义)如果我们能在g和m,n之间建立某种联系,并由,得到,那么就能解决此问题证明:在平面内作任意一条直线g,分别在直线l,m,n,g上取非零向量,因为直线m与n相交,所以向量,不平行由向量共面的充要条件可知,存在唯一的有序实数对,使将上式两边分别与向量作数量积运算,得因为,(为什么?),所以所以这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线,所以练习6. 如图,在正三棱柱中,若,则与所成角的大小为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取向量为空间向量的一组基底向量,表示出与,再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱中,向量不共面,令,则,
5、而,于是得,因此,所以与所成角的大小为.故选:B7. 如图,正方体的棱长为1,设,求:(1);(2);(3)【答案】(1)0;(2)1;(3)1【解析】【分析】在正方体中,根据线线关系,结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.【详解】(1)在正方体中,故(2)由(1)知,(3)由(1)及知,8. 如图,在平行六面体中,求:(1); (2)的长; (3)的长【答案】(1)10;(2);(3)【解析】【分析】(1)根据数量积的定义即可计算;(2)由平方即可求解;(3)由即可求解.【详解】(1);(2),即的长为;(3),即的长为.9. 如图,线段AB,BD在平面内,且,求C,D两点间的距离【答
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