【选择性必修】第2章直线和圆的方程.docx

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1、第2章直线和圆的方程在以往的几何学习中,我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系,这种方法通常称为综合法.本章我们采用坐标法研究几何图形的性质.坐标法是解析几何中最基本的研究方法.解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的,它的基本内涵和方法是:通过坐标系,把几何的基本元素一一点和代数的基本对象数(有序数对或数组)对应起来,在此基础上建立曲线(点的轨迹)的方程,从而把几何问题转化为代数问题,再通过代数方法研究几何图形的性质.解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此进人变量数学时期,它为微积分的创建奠定了基础.本章我们将在平面直角坐

2、标系中,探索确定直线位置的几何要素,建立直线的方程,并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等.类似地,通过确定圆的几何要素,建立圆的方程,再通过圆的方程研究与圆相关的问题;最后应用直线和圆的方程解诀一些实际问题.2.1直线的倾斜角与斜率我们知道,点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中,可以用坐标表示点,那么,如何用坐标表示直线呢?为了用代数方法研究直线的有关问题,本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素,然后用代数方法把这些几何要素表示出来.2.1.1倾斜角与斜率【思考】确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l(图2.1-1

3、),如何利用坐标系确定它的位置?图2.1-1我们知道,两点确定一条直线,一点和一个方向也可以确定一条直线.设A,B为直线上的两点,则AB就是这条直线的方向向量.所以,两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.在平面直角坐标系中,经过一点P可以作无数条直线l1,l2,l3,它们组成一个直线束(图2.1-2),这些直线的区别是什么?在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此,这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些直线的方向?我们看到,这些直线相对于x轴的倾斜程度不同,也就是它们与x轴所成的角不同.因此,我们可以利用这样的角来表示这些直

4、线的方向.图2.1-2当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角(angleofinclination).图2.1-2中直线l1的倾斜角1为锐角,直线l的倾斜角为钝角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角的取值范围为00及kCA0可知,直线AB与CA的倾斜角图2.1-6均为锐角;由kBC0)可以看成质点P从点P0出发,以速度v=(m,n)作匀速直线运动,经过时间t后的位移,因此,质点P的运动轨迹是射线P0M.类似地,你能刻画射线P0N吗?由以上讨论,你能说说方程(1)的运动学意义吗?如果直线l与坐标轴不垂直

5、,那么mn0,由(1)可得xx0m=t,yy0n=t,消去参数t,得xx0m=yy0n,即yy0=nmxx0,这样就得到直线l的点斜式方程.从另外一个角度思考,因为直线l经过点P0x0,y0,且它的一个方向向量为v=(m,n),所以直线l的斜率k=nm,所以直线l的方程为yy0=nmxx0.想一想,直线的参数方程x=x0+mt,y=y0+nt中，(m,n)的几何意义是什么?2.3直线的交点坐标与距离公式在平面几何中,我们对直线作了定性研究.引人平面直角坐标系后,我们用二元一次方程表示直线,直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样,我们可以通过方程把握直线上的点,进而用代数方

6、法对直线进行定量研究,例如求两条直线的交点坐标,平面内与点、直线相关的距离问题等.2.3.1两条直线的交点坐标【思考】已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,它们的交点坐标与直线l1,l2的方程有什么关系?你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗?设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.例1求下列两条直线的交

7、点坐标,并画出图形:l1:3x+4y2=0,l2:2x+y+2=0.解：解方程组3x+4y2=0,2x+y+2=0,得x=2,y=2.所以,l1与l2的交点是M(2,2)(图2.3-1).例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:xy=0,l2:3x+3y10=0;(2)l1:3xy+4=0,l2:6x2y1=0(3)l1:3x+4y5=0,l2:6x+8y10=0.图2.3-1分析:解直线l1,l2的方程组成的方程组,若方程组有唯一解,则l1与l2相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则l1/l2;若方程组中的两个方程可化成同一个方程,则l1与l2重合.解：（1

8、）解方程组xy=0,3x+3y10=0,得x=53,y=53.所以,l1与l2相交,交点是M53,53.(2)解方程组3xy+4=0,6x2y1=0,(1)2-(2)得9=0,矛盾,这个方程组无解,所以l1与l2无公共点,l1/l2.(3)解方程组3x+4y5=0,6x+8y10=0,(1)2得6x+8y10=0.(1)和(2)可以化成同一个方程,即(1)和(2)表示同一条直线,l1与l2重合.【思考】你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗?比较用斜率判断和解方程组这两种方法,你有什么体会?练习1.求下列两条直线的交点坐标,并画出图形:(1)l1:2x+3y=12,l2:x2y=4;(2)l1:x=2,l2:3x+2y12=0.2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:2x3y=7,l2:4x+2y=1;(2)l1:2x6y+4=0,l2:y=x3+23(3)l1:(21)x+y=3,l2:x+(2+1)y=2.3.直线l经过原点,且经过直线2x2y1=0与直线6x4y+1=0的交点,求直线l的方程.2.3.2两点间的距离公式我们知道,在各种几何量中,直线段的长度是最基本的.所以,在解析几何中,最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.【探究】如图2.3-2,已知平面内两点P1x1,y1,P