1.2 空间向量基本定理 -(选择性必修第一册) (教师版).docx

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1、空间向量基本定理 1 空间向量基本定理如果三个向量a , b , c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z，使 p=xa+yb +zc .证明 存在性：设a , b , c不共面，过点O作OA=a ,OB=b，OC=c，OP=p，过点P作直线PP平行于OC交平面OAB于点P在平面OAB内，过点P作直线PA/OB,PB/OA，存在三个数x,y,z，使得OA=xOA=xa，OB=yOB=yb，OC=zOC=zc，OP=OA+OB+OC=xOA+yOB+zOC，p=xa+yb +zc；唯一性：设另有一组实数x,y,z，使得p=xa+yb +zc，则xa+yb +zc

2、=xa+yb +zcxxa+yya+zzc=0，a , b , c 不共面，xx=yy=zz=0，即x=x且y=y且 z=z.故实数x,y,z是唯一的.2基底若三向量a , b , c不共面，我们把(a , b , c)叫做空间的一个基底，a , b , c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i,j,k表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量

3、进行正交分解.3推论设O, A, B, C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x , y , z，使OP=x OA+y OB+z OC .若x+y+z=1，则点P,A,B,C四点共面.【题型一】 空间向量基本定理的理解【典题1】 若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )Ab+c,b,bcBa+b,ab,cCa,a+b,abDa+b,a+b+c,c【解析】 对于A，若向量b+c,b,bc共面，则b+c=(bc)+b=(+)bc，即&+=1&=1，解得=1,=2，故向量b+c,b,bc共面，故A错误，对于B，若向量a+b,ab,c共面，则a+b

4、=(ab)+c，,无解，故向量a+b,ab,c不共面，故B正确，对于C，若向量a,a+b,ab共面，则a+b=a+(ab)=(+)ab，即&+=1&=1，解得=2,=1，故向量a,a+b,ab共面，故C错误，对于D，若向量a+b,a+b+c,c共面，则a+b+c=(a+b)+c，解得=1，故向量a+b,a+b+c,c共面，故D错误故选：B 【典题2】已知非零向量a=3m2n4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m、n、p不共面若a/b，则x+y= .【解析】m、n、p不共面，故m、n、p可看作空间向量的一组基底，a/b，故存在0，使得b=a，即(x+1)m+8n+2yp=3m2n4p，&x+

5、1=3&8=2&2y=4，解得：&x=13&y=8，则x+y=5 【典题3】 如图，在三棱锥SABC中，点E,F分别是SA,BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF=12，若SA=a,SB=b,SC=c，则SG= ( )A13a12b+16cB13a+16b+16cC16a13b+12cD13a16b+12c【解析】因为SG=SE+EG=12SA+13EF=12SA+13(ES+SC+CF)，=12SA+16AS+13SC+16CB=13SA+13SC+16(CS+SB) =13SA+16SB+16SC=13a+16b+16c故选：B巩固练习1() 已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,

6、OB,OC不能构成空间的一个基底，则一定有( )AOA,OB,OC共线BO,A,B,C中至少有三点共线COA+OB与OC共线DO,A,B,C四点共面【答案】 D【解析】 由于向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底知OA,OB,OC共面，所以O,A,B,C四点共面，故选：D2() (多选题)下面四个结论正确的是( )A空间向量a,b(a0,b0)，若ab，则ab=0B若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P,A,B,C四点共面C已知a,b,c是空间的一组基底，若m=a+c，则a,b,m也是空间的一组基底D任意向量a,b,c满足(ab)c=a(bc) ab=0【答案】

7、ABC【解析】 对于A：空间向量a,b(a0,b0)，若ab，则，故A正确；对于B：若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，由于16+12+13=1，则P,A,B,C四点共面，故B正确；对于C：已知a,b,c是空间的一组基底，若m=a+c，则a,b,a+c两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故C正确；对于D：任意向量a,b,c满足(ab)c=a(bc)，由于ab是一个数值，bc也是一个数值，则说明c 和 a存在倍数关系，由于a,b,c是任意向量，不一定存在倍数关系，故D错误故选：ABC 3() 如图所示，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且

8、OM=2MA，N为BC的中点，则MN=( )A12a23b+12cB23a+12b+12cC12a+12b23cD23a+23b12c【答案】 B【解析】 连接ON，N是BC的中点，ON=12OB+12OC，OM=2MA,OM=23OA，MN=ONOM=12OB+12OC23OA=23a+12b+12c，故选：B4() 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c，则CM=()A12a+12b+cB12a12b+cC12a+12b+cD12a12b+c【答案】 D【解析】 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与

9、B1D1的交点；CM=CB+BM=CB+12BA1+BC1=AD+12BA1+12BC1 =AD+12BA+AA1+12BC+CC1=AD12AB+12AA1+12AD+12AA1 =12a12b+c；故选：D 【题型二】空间向量基本定理的应用【典题1】如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60，CD=CC1，求证CA1平面C1BD.【求证】如图，设CD=CB=CC1=a，令CD=a,CB=b,CC1=c，则BD=ab，CA1=CD+CB+CC1=a+b+c，CA1BD=a+b+cab=aaab+babb+cacb，又aa=bb=cc=a2

10、，ab=bc=ac=12a2，CA1BD=0，CA1BD，CA1BD，同理可证CA1C1B，又C1BBD=B，C1B,BD平面C1BD，CA1平面C1BD. 【典题2】如图，在三棱锥PABC中，点G为ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F，若PD=mPA,PE=nPB,PF=tPC，求证：1m+1n+1t为定值，并求出该定值【证明】 如图示：连接AG并延长交BC于点H，由题意可令PA,PB,PC为空间的一个基底，故PM=34PG=34(PA+AG)=34PA+3423AH=34PA+1212(AB+AC)=34PA+14(PBP

11、A)+14(PCPA)=14PA+14PB+14PC，连接DM，因为点D,E,F,M共面，故存在实数,，使得DM=DE+DF，即PMPD=(PEPD)+(PFPD)，故PM=(1)PD+PE+PF=(1)mPA+nPB+tPC，由空间向量基本定理知14=(1)m,14=n,14=t，故1m+1n+1t=4(1)+4+4=4，为定值 【巩固练习】1() 如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，A1AB=A1AC=60，点M为ABC的重心，AM的延长线交BC于点N，连接A1M设AB=a,AC=b,A1A=c(1)用a,b,c表示A1M；(2)证明：A1MAB【答案】 (1) A1M=13a

12、+13b+c (2)略【解析】 (1)因为ABC为正三角形，点M为ABC的重心，所以N为BC的中点，所以AN=12AB+12AC,AM=23AN，所以A1M=A1A+AM=AA1+23AN=AA1+13AB+13AC=13a+13b+c(2)设三棱柱的棱长为m，则A1MAB=13a+13b+ca=13a2+13ab+ca=13m2+13m212m212=0，所以A1MAB 2() 如图，在棱长为 1的正方体ABCDA1B1C1D1 中，E,F 分别为DD1，BD 的中点，点G 在CD上，且 CG=14CD. (1)求证: EFB1C； (2) 求 EF与C1G 所成角的余弦值. 【答案】 (1

13、) 略 (2) 5117【解析】 (1)证明 设DA=a,DC=b,DD1=c，则EF=DFDE=12DB12DD1=12(DA+DC)12DD1=12(a+b)12c=12(a+bc)B1C=A1D=DA1=DA+DD1=(a+c)，EFB1C=12a+bca+c=12a2+ac+ab+bcacc2 =12(1+0+0+001)=0,EFB1C,EFB1C.(2)解 由(1)知EF=12(a+bc)，GC1=GC+CC1=14DC+CC1=14b+c，又|EF|=32,GC1=174，EFGC1=12a+bc14b+c=1214ab+ac+14b2+bc14bcc2 =120+0+14+00

14、1=1234=38，cosEF,GC1=EFGC1EFGC1=3832174=5117，EF与C1G所成角的余弦值为5117.3() 如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别在棱AA1,CC1上，且A1M=13AA1,CN=13CC1，且A1AD=A1AB=DAB=60(1)用向量AA1,AD,AB表示向量MN；(2)求证：D,M,B1,N共面；(3)当AA1AB为何值时，AC1A1B【答案】 (1) MN=AB+AD13AA1 (2)略 (3) 1【解析】(1)MN=MA+AB+BC+CN=23AA1+AB+BC+13AA1=AB+AD13AA1证明：(2

15、)DM=AMAD=23AA1AD，NB1=C1B1C1N=23AA1AD，DM=NB1，D,M,B1,N共面解：(3)当AA1AB=1，AC1A1B，证明：设AA1=c,AD=b,AB=a，底面ABCD为菱形，则当AA1AB=1时，|a|=|b|=|c|，AC1=AB+BC+CC1=a+b+c，A1B=ABAA1=ac，A1AD=A1AB=DAB=60，AC1A1B=(a+b+c)(ac)=a2+abbcc2=0，AC1A1B 4() 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等， 求证: 这个四面体相对的棱丙两垂直.已知：如图，四面体ABCD，E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,D

16、A,BD,AC的中点，且|EG|=|FH|=|KM|.求证 ABCD,ACBD,ADBC.证明 设AB=a,AC=b,AD=c，则EG=AGAE=12(AC+AD)12AB=12a+12b+12c=12(a+b+c)，FH=AHAF=12AD12(AB+AC)=12c12(a+b)=12(ab+c)，KM=AMAK=12AC12(AB+AD)=12b12(a+c)=12(a+bc)，|EG|=|FH|,12(a+b+c)=12(ab+c)，(a+b+c)2=(ab+c)2，a2+b2+c22ab2ac+2bc=a2+b2+c2+2ab2ac2bc，4ab=4bc,abbc=0,b(ac)=0.

17、又b=AC,ac=DB,ACDB=0，ACDB,ACDB，同理可证ADBC,ABCD，这个四面体相对的棱丙两垂直.5() 已知正三棱锥PABC的侧棱长为2，过其底面中心O作动平面交线段PC于点S，分别交PA,PB的延长线于点M,N，求1PS+1PM+1PN的值【答案】 32【解析】 ABC是等边三角形，O是ABC的重心，延长AO交BC于点D，则D为BC的中点，AD=12(AB+AC)，故PO=PA+AO=PA+23AD=AP+13AB+AC=PA+13PBPA+PCPA=13PA+13PB+13PC，设PA=xPM,PB=yPN,PC=zPS，则PO=13xPM+13yPN+13zPS，O,M,N,S四点共面，13x+13y+13z=1，即x+y+z=3，又x=PAPM=2PM，y=PBPN=2PN，z=PCPS=2PS，21PS+1PM+1PN=3，1PS+1PM+1PN=32