北师大版（2019）数学必修第一册：5.1.1《利用函数性质判定方程解的存在性》教案.docx

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1、 利用函数性质判定方程解的存在性【教学目标】1学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。2通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。【教学重难点】1了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)2掌握函数零点存在的判定方法。(重点)3能结合图像求解零点问题。(难点)【教学过程】一、基础铺垫1函数的零点：定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。2函数零点的判定定理：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b

2、)0，则yf(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？提示 (1)不是点，是数。(2)不一定，如yx21，在区间(2，2)上有两个零点。二、新知探究1求函数的零点【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x。解 (1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是3(2)令x22x40，由于2244120，所以方程x22x40无解，所以函数f(x)x22x4不存在零点。(3)令2x30，解得xlog23，所以函数f(x)2x3的零点是log23(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3

3、x的零点是3【教师小结】函数零点的求法，求函数yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令yf(x)0，根据解方程yf(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yyf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。2判断零点所在的区间【例2】 (1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)15107645则函数f(x)在区间1，6上的零点至少有( )A2个 B3个C4个 D5个(2)函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是( )A(1，2) B(2，3)C和(3，4) D(e，)(1)B (2)B (1)由已知数表可知f(2)f(3)10(7

4、)0，f(3)f(4)(7)60，f(4)f(5)6(4)0，故函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有3个零点。(2)f(1)20，f(2)ln 210，在(1，2)内f(x)无零点，A错；又f(3)ln 30，f(2)f(3)0，f(x)在(2，3)内有零点。【母题探究】1(变条件)已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在区间是( )A(3，4) B(2，3)C(1，2) D(0，1)C 因为f(1)10，所以f(1)f(2)0，所以f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点，又f(x)仅有一个正零点，故选C2(变结论)探究1中，函数yf(x)有负

5、零点吗？解 当x1时，f(x)x3x1x(x21)11，当1x0时，f(x)x3x1x3(x1)(x1)0，综上知，当x0时，f(x)0时，令2ln x0，解得xe2，所以已知函数有两个零点，故选B(2)因为f(1)2，f(2)ln 210；所以f(1)f(2)0.又f(x)ln xx23的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点。又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有1个。【教师小结】判断函数零点个数的三种方法(（1）方程法：若方程yf(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。(（2）图像法：由yf(x)yg(x)-

6、h(x)0，得g(x)=h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。(（3）定理法：函数yf(x)的图像在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0即可判断函数yyf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点。若函数yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数yf(x)在区间(a，b)内只有一个零点。三、课堂总结1在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图像在区间a，b上是连续的；(2)定理不可逆；(3)在区间(a，b)内，函数至少存在一个零点。2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐

7、标，也是函数yf(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标。3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。四、课堂检测1思考辨析(1)零点即函数yf(x)的图像与x轴的交点。( )(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)有两个零点。( )(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.( )答案 (1) (2) (3)2yx1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是( )A1，(1，0) B(1，0)，0C(1，0)，1 D1，1C 由yx10，得x1，故交点坐标为(

8、1，0)，零点是13若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内；函数f(x)在(3，5)内无零点；函数f(x)在(2，5)内有零点；函数f(x)在(2，4)内不一定有零点；函数f(x)的零点必在(1，5)内。以上说法错误的是_(将序号填在横线上)。 由于三个区间是包含关系，而(1，5)范围最大，零点位置可能在区间(1，5)的任何一个子区间内，错误。4判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。(1)y；(2)yx22x4；(3)y1log5x。解 (1)令y0，得0，无解。故函数不存在零点。(2)令y0，得x22x40，444120.故函数不存在零点。(3)令y0，得1log5x0，log5x1，解得x5故函数的零点为5