青海-教学设计及说课-两角和与差的余弦（赵永利）.doc

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1、 课例：两角和与差的余弦 教材：人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四章三角函数第六节，共需3课时，本节课是第一课时。P34-36一、教材分析：、地位和作用：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。、教学目标：1、知识目标：、 使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；、 使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；、

2、 使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。2、能力目标：、培养学生逆向思维的意识和习惯；、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。3、情感目标： 、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； 、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。（设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育，而应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，我在教学中设计三方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。）、教学重、难点：1、平面内两点间的距离公式的推导和应用是本节的一个重点；2、两角和与差的余弦公式的推导和应用是

3、本节的又一个重点，也是本节的一个难点。（设计依据：平面内两点间的距离公式在本节课中是两角和余弦公式推导的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。由于 两角和与差的余弦公式的推导和应用对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。）二、教学方法：1、创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题。（设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发

4、学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。）2、教具：多媒体投影系统。本节课中平面内两点间距离公式虽然以前曾经用过，但其证明对学生来说仍然具有一定难度，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加直观性，减少讲授时间；两角和的余弦公式的推导也通过几何画板动画掩饰来帮助学生认识、理解、加深印象。（多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。）三、学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐

5、标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。四、教学过程：教 学 程 序设 计 意 图 课题引入引言：同学们，前面我们学习了任意角的三角函数，我们知道它也是一种运算。在以前的运算中有乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac，那么：cos（+）=cos+cos是否也成立呢？如果成立为什么？如果不成立，它又等于什么呢？这正是我们今天要研究的内容。揭示课题：两角和与差的余弦。通过创设

6、问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。使学生目标明确、迅速进入角色。复习提问1、画出一个锐角、一个钝角的正弦线、余弦线。2、如果角的终边与单位圆相交于点P，点P的坐标能否用角的三角函数值表示？怎样表示？3、写出同一坐标轴上两点间距离公式。通过复习使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，为新课的推进做准备。引入新课1、回答“cos（+）=cos+cos是否成立”这个问题之前，让学生先讨论“cos（450+300）=cos450+cos300是否成立？”。（学生可能通过计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解决问题）。得出cos（450+

7、300）cos450 +cos300。进而得出cos（+）cos+cos这个结论。此时再次提出那么cos（+）又等于什么呢？ 2、在解决上面的问题之前，我们先来解决“平面内两点间距离的求法”这一问题。通过上面的复习，我们已经熟悉了同一坐标轴上两点间距离公式。那么，平面内两点间距离与坐标有什么样的关系呢？（通过动画演示让学生体会平面内两点间距离和同一坐标轴上两点间距离的关系。学生通过独立思考和分组讨论，可以用特殊值法证明猜想不成立，三种方法的出现，培养学生多角度考虑问题的发散思维能力，合作学习的习惯。随后的提问会激发学生想要解决问题的主观需要，提高思维的主动性。教 学过程1、分析：设P1（x1，

8、y1），P2（x2，y2）则有：M1（x1，0），M2（x2，0）,N1 （0，y1），N2（0，y2）。通过演示课件提出问题：P1P2的长度与什么有关？（请设计出算法）根据右图写出M1M2和N1N2。P1Q= M1M2=x2-x1QP2= N1N2=y2-y1根据勾股定理写出P1P22=P1Q2+QP22=(x2-x1)2+(y2-y1)2由此得平面内P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点间的距离公式: P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)22、在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角,+和-。它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与X轴交于P1。则： P1(1,0)、

9、P2（cos，sin）、P3（cos（+），sin（+）、1、通过几何画板动态演示，给学生以直观感受，让他们认识到：平面内两点间距离和同一坐标轴上两点间距离总能构成一个直角三角形，利用勾股定理即可解决。 2、两角和余弦公式的证明中存在两个困难：三角函数表示单位圆上点的坐标，它虽然算理简单，但学生由于陌生而很不习惯，通过前面习环节应该有所熟悉。在用到：cos2（+）+sin2（+）=1时，需要教师特别指出，公式中只要求是“同角”，并不在乎角的具体度数和形式。3、两角和的余弦学完之后，要强调其中两角均为任意角，这样一来，两角差的余弦只是两角和的余弦的特殊形式。4、两个诱导公式学生在初中就学习过，但

10、今天应通过证明，并将以前的锐角拓展到任意角。（2）式的证明实际上是（1）式的逆应用，体现了代数思想，也实践了学以制用的原则。5、例1的作用一方面让学生熟练两角和与差的余弦公式，另一方面也向学生展示了公式的一种实际应用价值，即：将非特殊角转化为特殊角的和与差。由P1P3=P2P4（同圆相等的圆心角所对弦相等）及两点间距离公式，得： cos（+）-12+sin（+）-02=cos(-)-cos2+sin（-）-sin2 展开整理合并得：cos（+）=cos cos-sinsin这就是两角和的余弦公式。（其中,为任意角）将其中换成-，公式仍成立：cos（+ ）=coscos -sinsincos（+

11、（-）= coscos（-）-sinsin（-）化简得两角差的余弦公式：cos（-）= coscos+sinsin求证: （1） cos（ -）= sin（2） sin（ -）= cos 证明：（1）cos（ -） =cos cos+sin sin=sin（2）sin（ -）=cos -（ -）=cos 证明（1）、（2）的结论即为诱导公式。例1、利用和（差）角公式求750、150角的余弦。分析：将750可以看成450+300而450和300均为特殊角，借助它们即可求出750的余弦。（学生自己完成）解： cos750 = cos（450+300） = cos450cos300 -sin450s

12、in300 = - = cos150 = cos（450-300） = cos450cos300+sin450sin300 = + = 例2、已知sin = ，（ ，），cos=- , （， ），求cos（-）、cos（+）。公式提示：cos（- ）= cos cos+ sin sincos（+） = cos cos- sin sin6、例2的目的在于熟悉公式，同时对同角三角函数关系有复习的作用，其难度不是很大，在提供了公式之后，学生应当能够完成.小结本节课我们学习了下面两组公式，在公式的记忆上，我们应注意函数和符号的变化。1、平面内两点间距离公式： P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1

13、)22、两角和与差的余弦：（同名之积相加减，运算符号左右反。）cos（+）= cos cos- sin sincos（-）= cos cos+ sin sin7、小节以十四字口诀概括两角和与差的三角函数关系式，既体现了公式的本质特征，又朗朗上口，便于记忆。有助于学生对本节课的内容更好地掌握。练习巩固1、课堂练习（P38）、第2题（3）、（4）。、第3题（2）、（3）。2、课后作业P40习题4.6第2 、 3、(2)、(3)3、思考题： 试运用今天所学知识和方法证明：sin（ +）= sin cos+cos sinsin（ -）= sin cos-cos sin8、课堂练习有助于学生进一步熟悉公

14、式，加深学生对公式的理解和认识。回馈教学效果。思考题对学生本节课所学知识方法的考察要求较高，但能力较强学生能够完成，也是为下一节课的内容做准备。体现问题必须略高于学生现有知识水平的原则。设计说明本节课授课内容为人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四章三角函数第六节，共需3课时，本节课是第一课时。本节课的教学对正弦线、余弦线定义；用角的余弦、正弦表示单位圆上点的坐标；同圆上相等的圆心角所对的弦长相等这些知识有较强的依耐性，因此在复习环节做了必要的准备。本节课采用“创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量。在教学过程环节，采用先提出问题，再逐步展开的方式，能够充分调动学生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目的性，减少盲目性。在两角和的余弦公式得到后，利用代数思想推出两角差的余弦公式和诱导公式，使学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的对比，可以加深学生对公式特征的印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也为下一节内容的学习做准备。