3.3 抛物线-(选择性必修第一册) (教师版).docx

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1、抛物线1 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.如图，P在抛物线上，PH=PF.2 几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=2py(p0)图象顶点(0,0)对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(p2 , 0)F(p2 , 0)F(0 , p2)F(0 , p2)准线方程x=p2x=p2y=p2y=p2离心率e=13 一些常见结论 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A , B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，即|AB|=2p. 若A、B在抛物线y2=2px上，F是焦点，则

2、AF=xA+p2，AB=xA+xB+p.【题型一】抛物线的定义与方程【典题1】与圆x22+y2=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是 【解析】由圆x22+y2=1可得：圆心F(2，0)，半径r=1设所求动圆圆心为P(x,y)，过点P作PM直线l：x+1=0，M为垂足则|PF|r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1因此可得点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线L：x=2的距离相等的点的集合由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线，定点F(2,0)为焦点，定直线L：x=2是准线抛物线的方程为：y2=8x所求轨迹方程是y2=8x【点拨】 直线l与圆O相切圆心O到直线l的距离d=

3、r; 根据抛物线定义求方程，要确定好焦点与准线.巩固练习1() 到直线x=2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是()A椭圆B圆C抛物线D直线 【答案】 C 【解析】动点M到定点P(2,0)的距离与到定直线l：x=2的距离相等，所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，故选：C2 () 若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1，则动点P的轨迹方程是 【答案】 y2=16x 【解析】点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1，点P到直线x=4的距离和它到点(4,0)的距离相等根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x=4为准线的抛物

4、线，p=8， P的轨迹方程为y2=16x故答案为：y2=16x【题型二】抛物线的图象及其性质【典题1】设抛物线C：y2=8x的焦点为F，A是C上的一点且在第一象限，以F为圆心，以FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则点A的横坐标为 .【解析】A，F，B三点共线，AB为圆F的直径，则ADBD由抛物线定义知|AD|=|AF|=12|AB|，又抛物线C：y2=8x的p2=2，在RtADB中，可得|AD|=4|OF|=8设A的横坐标为x0，则|AD|=x0+2=8，即x0=6【点拨】 在抛物线中，遇到过焦点的直线，特别要注意抛物线定义的运用； 若A、B在抛物线y2=2px上，F

5、是焦点，则AF=xA+p2，AB=xA+xB+p.【典题2】已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，点M，N在抛物线上，且M，N，F三点共线点P在准线上，若PN=NM，则p|MF|= 【解析】如图，分别过M，N作ME，NG垂直于抛物线的准线于E，G，由PN=NM，得PN=NM，由抛物线定义可知NF=NG，FM=ME，再由PNGPME，得PMME=PNNGPMMF=PNNFPMMF=12PMNF，MF=2NF， 则NF=13NM=16PM，PF=PN+NF=12PM+16PM=23PMp|MF|=FKME=PFPM=23故答案为：23【点拨】本题主要利用了相似三角形的性质(A字型)与抛物线

6、的定义得到各线段的比值关系，平时解题中要多观察图象； 题中线段过多，显得有些乱，其实在考试的非解答题中，遇到这类似问题，由于题目中没出现任一线段长度，确定p|MF|=FKME后，可设某一线段等于一具体数值，比如本题设PN=1(其实令PN=6更有利于运算)，进而求出其他线段长度，这样在考试时运算上显得从容些.【典题3】已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若NRF=60，则|FR|等于【解析】如图所示：连接MF，QF，y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点FH=2，PF=PQM，N分别为PQ，PF的

7、中点，MNQF，PQ垂直l于点Q，PQOR，四边形MQFR是平行四边形，FR=MQPQ=PF，NRF=60，PQF为等边三角形，MFPQ， 四边形MQHF是矩形，MQ=HF=2FR=MQ=2， 故答案为：2【点拨】 PQF为等边三角形三线合一：MFPQ； M，N分别为PQ，PF的中点中位线：MNQF.【典题4】已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴上，其准线为l，过F的直线交抛物线于M，N两点，作MSl，NTl，垂足分别为S，T若MF=3FN，且STF的面积为833，则抛物线C的方程为()Ay2=xBy2=2xCy2=3xDy2=4x【解析】如图所示，过点N作NHl交直线MS于点H，交x轴

8、于点P设点M(x1 , y1)、N(x2 , y2)，当焦点在x轴的正半轴时，设抛物线C：y2=2px(p0)，MF=3FN，且Fp2 , 0， (p2x1 , y1)=3(x2p2 , y2)，p2x1=3(x2p2) x1+3x2=2p y1=3y2y12=9y222px1=18px2x1=9x2 由可解得x1=3p2，x2=p6y12=2px1=3p2y1=3p;y22=2px2=p23y2=33p，ST=y1y2=433pSSTF=12433pp=833，解得p=2，此时抛物线C的方程为y2=4x同理，当焦点在x轴的负半轴时，可得p=2，此时抛物线C的方程为y2=4x综上所述，抛物线C

9、的方程为y2=4x故选：D【点拨】 本题处理向量MF=3FN的方法是坐标法； 遇到“STF的面积为833”，想到把STF的面积用p表示，从而求出p;关键在于ST=y1y2，从而想到用p表示y1 , y2.【典题5】 已知F为抛物线C：y2=2px(p0)的焦点，K为C的准线与x轴的交点，点P在抛物线C上，设KPF=，PKF=，PFK=，有以下3个结论：的最大值是4；tan=sin；存在点P，满足=2其中正确结论的序号是 【解析】由于对称性，不妨设点P在第一象限，设点P(m,n)，则n2=2pm (1)，当直线PK与抛物线相切时，可使取得最大值可设直线PK方程为y=k(x+p2)，由y=k(x+

10、p2)y2=2px，得k2x2+k2p2px+p2k24=0，则=k2p2p24k2p2k24=0k2=1k=1，是锐角，tan=k=1 =4，故正确过P作PQx轴于点Q，在RtPQK中，tan=PQKQ=nm+p2，在RtPQF中，sin=sinPFQ=PQPF=nm+p2，tan=sin，即正确；在PKF中，由正弦定理知，PFsin=KFsin，若=2，则m+p2sin=p2sincos，解得m=p21cos10，故存在点P符合题意，即正确故答案为：【点拨】第一问是通过几何法确定直线PK与抛物线相切时，可使取得最大值；第二问，涉及到三角函数tan、sin之类的，可想到构造直角三角形；第三问

11、，是否存在点P，用了假设法确定m是否在自身范围之内，即m0与否.巩固练习1 () 【多选题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出已知抛物线y2=4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1,y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是()Ax1x2=1BkPQ=43C|PQ|=254Dl1与l2之间的距离为4【答案】 ABC 【解析】如图所示，由题意可得，点P的坐标为(14,1)，点Q的坐标为(4，4)，x1x2=1，即选项A正确；kPQ=41414=43

12、，即选项B正确；由抛物线的定义可知，|PQ|=x1+x2+p=14+4+2=254，即选项C正确；l1与l2平行，l1与l2之间的距离d=|y1y2|=5，即选项D错误；故选：ABC2 () 如图过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则p=()A2B32C3D6 【答案】 B 【解析】过A，B分别作准线的垂线，垂足为N，M，|BC|=2|BF|=2BM，MCB=30|AF|=3=AN，AC=2AN=6，所以F为AC的中点，p=12AN=32，故选：B3() 【多选题】已知抛物线x2=12y的焦点为F，M(x1,y1)

13、，N(x2,y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A点F的坐标为(18，0)B若直线MN过点F，则x1x2=116C若MF=NF，则|MN|的最小值为12D若|MF|+|NF|=32，则线段MN的中点P到x轴的距离为58 【答案】 BCD 【解析】抛物线x2=12y的焦点为F(0，18)，所以A不正确；根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2=116，所以B正确；若MF=NF，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为2p=12，所以C正确；抛物线x2=12y的焦点为F(0，18)，准线方程为y=18，过点M、N、P分别作准线的垂线MM，NN，PP，则|MM|=|MF|,|NN|=|NF

14、|，|MM|+|NN|=|MF|+|NF|=32，所以|PP|=|MM|+|NN|2=34，所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP|18=3418=58，所以D正确；故选：BCD4 () 已知点A(0,4)，抛物线C：x2=2py(0p|AQ|，|AP|AQ|=22，正确；曲线y=18x2即抛物线x2=8y,其焦点为Q(0,2)，准线方程为y=2,过B作BD垂直直线y=2于D，由抛物线定义，知|QB|+|BC|=|BD|+|BC|=|CD|=5，正确；故选：A【题型三】最值问题【典题1】如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x22+y2=16的实线部分上运动

15、，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是 .【解析】抛物线的准线l：x=2，焦点F(2 , 0)，由抛物线定义可得|AF|=xA+2，圆x22+y2=16的圆心为(2 , 0) , 半径为4，FAB的周长=AF+AB+BF=xA+2+xBxA+4=6+xB , 由抛物线y2=8x及圆x22+y2=16得交点的横坐标为2， xB(2 , 6) , 6+xB(8 , 12)【点拨】FAB的周长是由点B确定的，结合抛物线的定义利用几何法把FAB周长用xB表示，求出xB的范围便可！【典题2】已知O是坐标原点，A，B是抛物线y=x2上不同于O的两点，且OAOB，下列结论中正确的是()A|OA|

16、OB|2 B|OA|+|OB|22C直线AB过抛物线y=x2的焦点 DO到直线AB的距离小于或等于1【解析】设A(x1 , x12) , B(x2 , x22) , (x10 , x20 )OAOB， OAOB=0，OAOB=(x1 , x12)(x2 , x22)=x1x2+x12x22=x1x2(1+x1x2)=0，1+x1x2=0，x2=1x1， OAOB=(x12+x14)(x22+x24)=x12+x141x12+1x14 =1+x12+1x12+12+2x121x12=2，当且仅当x12=1x12，即x1=1时等号成立，故选项A正确，又|OA|+|OB|2|OA|OB|22，故选项

17、B正确，直线AB的斜率为x22x12x2x1=x2+x1=x11x1，直线AB的方程为：yx12=(x11x1)(xx1) (x11x1)xy+1=0，当x=0时，y=1，焦点坐标(0 , 14)不满足直线AB的方程，故选项C错误，原点(0 , 0)到直线AB：(x11x1)xy+1=0 的距离d=1(x11x1)2+121，故选项D正确，故选：ABD【点拨】 题中垂直关系相当了向量数量积为0，OAOBOAOB=0，向量进而用坐标表示; 本题求最值用了基本不等式a+b2ab(a0 , b0).【典题3】若点P是曲线C1：y2=16x上的动点，点Q是曲线C2：x42+y2=9上的动点，点O为坐标

18、原点，则PQOP的最小值是 【解析】设P的坐标(x , y) , 由抛物线的方程y2=16x，可得焦点F(4 , 0) , 恰好为圆：x42+y2=9的圆心，因为P在抛物线上，所以|OP|=x2+y2=x2+16x，|PQ|的最小值为P到圆心的距离减半径3，即P到准线的距离减3(P、Q、F三点共线时取到)，所以|PQ|=x+43=x+1，所以|PQOP|=x+1x2+16x，设t=x+1，则x=t1，所以PQOP=t2(t1)2+16(t1)=t2t2+14t15=115t2+14t+1=115(1t715)2+6415，当t=157，即x=87时，|PQOP|最小，且为158，所以|PQOP

19、|的最小值为158故答案为：158【点拨】求PQOP的最小值，而它是由两个动点P、Q决定的，分两步走，(1) 可先假设点P是定点，思考点Q在哪里PQOP取到最小值(此时两动点问题变成了一动点问题)，而P是定点，OP是确定的，由抛物线定义可知PQmin=x+1，此时|PQOP|=x+1x2+16x;(2) 接着再思考点P在哪里PQOP取到最小值，即思考x为何值时，x+1x2+16x取到最小值？用函数方法处理便可！巩固练习1() 已知点Q(22 , 0)及抛物线y=x24上一动点P(x0 , y0)，则y0+|PQ|的最小值为 【答案】 2 【解析】用抛物线的定义：焦点F(0,1)，准线 y=1，

20、设P到准线的距离为dy0+PQ=d1+PQ=PF+PQ1FQ1=2 (当且仅当F、Q、P共线时取等号)故y0+|PQ|的最小值是2故答案为：22() 若点A为抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|=6，点P为直线x=1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为 【答案】 221 【解析】由题意可知，p=2，F(1,0)，由抛物线的定义可知，|AF|=xA+p2=xA+1=6，xA=5，代入抛物线方程，得yA2=20，不妨取点A为(5，25)，设点F关于x=1的对称点为E，则E(3,0)，|PA|+|PF|=|PA|+|PE|AE|=(5+3)2+(25)2=2213() 已知抛物线C

21、：y2=4x的焦点为F，M(x1 , y1)，N(x2 , y2)是抛物线C上的两个动点，若x1+x2+2=2|MN|，则MFN的最大值为 【答案】 3 【解析】抛物线方程为：y2=4x ，F(1,0)，设P(m,n) (m0)，则Q(0,n),PQPF=m,01m,n=m1m=m2m=m12214 当m=12时，PQPF的值最小，最小值为14，4() 已知点M(2 , 0)，点P在曲线y2=4x上运动，点F为抛物线的焦点，则|PM|2|PF|1的最小值为 【答案】 4 【解析】设P(x,y)，可得|PM|2|PF|1=(x2)2+y2x=x2+4x=x+4x2x4x=4当且仅当x=2时取得最

22、小值45() 已知抛物线C方程为x2=4y，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则|AP|BQ|的取值范围为 【答案】 2 , +) 【解析】由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则l：y=kx+1设A(x1，x124)，B(x2，x224),由y=kx+1x2=4y消去y得，x24kx4=0，x1+x2=4k，x1x2=4由于抛物线C也是函数y=14x2的图象，且y=12x，则PA：yx124=12x1(xx1)令y=0，解得x=12x1，P(12x1,0)，从而|AP|=14x12(4+x12)同理可

23、得，|BQ|=14x22(4+x22)，APBQ=116(x1x2)2(4+x12)(4+x22) = 116(x1x2)216+4(x12+x22)+(x1x2)2=2 1+k2k20，|AP|BQ|的取值范围为2,+)6() 已知点P是抛物线y2=4x上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(1 , 0)，则PFPA的最小值为 【答案】 22【解析】由抛物线的方程y2=4x可得焦点F(1,0)，A(1,0)在准线上，过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的性质可得PF=PD，在PAD中，PDPA=cosDPA=cosPAF，所以PDPA最小时，则cosPAF最小，则PAF最大，而PAF最大时即过点A的直线与抛物线相切，设P(x,y)在第一象限，y0，由y2=4x可得y=2x，y=1x，所以在P处的切线的斜率为1x=y0x+1=2xx+1，整理可得：2x=x+1，解得x=1，代入抛物线的方程可得y=2，即P(1,2)，所以PFPA的最小值为PDPA=1(1)1(1)2+22=22，故答案为：22