【五年21】专题16概率与统计（解答题）（理科专用）.pdf

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1、试卷第 1 页，共 19 页【五年【五年 2121】专题】专题 1616 概率与统计（解答题）（理科专概率与统计（解答题）（理科专用）用）【2022 年全国甲卷】1甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望【答案】(1)0.6；(2)分布列见解析，()=13.【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,，再根据甲获得冠军则至

2、少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，的可能取值为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,，所以甲学校获得冠军的概率为 =()+()+()+()=0.5 0.4 0.8+0.5 0.4 0.8+0.5 0.6 0.8+0.5 0.4 0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6（2）依题可知，的可能取值为0,10,20,30，所以，(=0)=0.5 0.4 0.8=0.16,(=10)=0.5 0.4 0.8+0.5 0.6 0.8+0.5 0.4

3、0.2=0.44，(=20)=0.5 0.6 0.8+0.5 0.4 0.2+0.5 0.6 0.2=0.34，(=30)=0.5 0.6 0.2=0.06.即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望()=0 0.16+10 0.44+20 0.34+30 0.06=13.试卷第 2 页，共 19 页 【2022 年新高考 1 卷】2一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下

4、数据：不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”(|)(|)与(|)(|)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R（）证明：=(|)(|)(|)(|)；（）利用该调查数据，给出(|),(|)的估计值，并利用（）的结果给出 R 的估计值 附2=()2(+)(+)(+)(+)，(2)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答

5、案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)=6；【分析】(1)由所给数据结合公式求出2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.【详解】（1）由已知2=()2(+)(+)(+)(+)=200(40906010)250150100100=24，又(2 6.635)=0.01，24 6.635，试卷第 3 页，共 19 页 所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为=(|)(|)(|)(|)=()()()()(

6、)()()()，所以=()()()()()()()()所以=(|)(|)(|)(|)，(ii)由已知(|)=40100，(|)=10100，又(|)=60100，(|)=90100，所以=(|)(|)(|)(|)=6 【2022 年新高考 2 卷】3在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口的1

7、6%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的试卷第 4 页，共 19 页 概率，精确到 0.0001）.【答案】(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设=一人患这种疾病的年龄在区间20,70)，根据对立事件的概率公式()=1 ()即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出【详解】（1）平均年龄=(5 0.001+15 0.002+25 0.012+35 0.017+45 0.023 +55 0.02

8、0+65 0.017+75 0.006+85 0.002)10=47.9（岁）（2）设=一人患这种疾病的年龄在区间20,70)，所以()=1 ()=1 (0.001+0.002+0.006+0.002)10=1 0.11=0.89（3）设=“任选一人年龄位于区间40,50)”，=“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：()=16%=0.16,()=0.1%=0.001,(|)=0.023 10=0.23,则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50)，此人患这种疾病的概率为(|)=()()=()(|)()=0.0010.230.16=0.0014375 0.0

9、014 【2021 年新高考 1 卷】4某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，已知小明能正确回答 A类问题的概率为 0.8，能正确回答 B类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答 A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期

10、望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）类【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即试卷第 5 页，共 19 页 可（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为0，20，100(=0)=1 0.8=0.2；(=20)=0.8(1 0.6)=0.32；(=100)=0.8 0.6=0.48 所以的分布列为 0 20 100 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）知，()=0 0.2+20 0.32+100 0.48=54.4 若小明先回答问题，记为小明的累计得

11、分，则的所有可能取值为0，80，100(=0)=1 0.6=0.4；(=80)=0.6(1 0.8)=0.12；(=100)=0.8 0.6=0.48 所以()=0 0.4+80 0.12+100 0.48=57.6 因为54.4 1时，1；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得().（2）利用导数讨论函数的单调性，结合(1)=0及极值点的范围可得()的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()=0 0.4+1 0.3+2 0.2+3 0.1=1.试卷第 6 页，共 19 页

12、（2）设()=33+22+(1 1)+0，因为3+2+1+0=1，故()=33+22(2+0+3)+0，若()1，则1+22+33 1，故2+23 0.()=332+22 (2+0+3)，因为(0)=(2+0+3)0，(1)=2+23 0 0，故()有两个不同零点1,2，且1 0 0；(1,2)时，()(2)=(1)=0，故1为0+1+22+33=的一个最小正实根，若2 1，因为(1)=0且在(0,2)上为减函数，故 1 为0+1+22+33=的一个最小正实根，综上，若()1，则=1.若()1，则1+22+33 1，故2+23 0.此时(0)=(2+0+3)0，故()有两个不同零点3,4，且3

13、 0 4 0；(3,4)时，()0；故()在(,3)，(4,+)上为增函数，在(3,4)上为减函数，而(1)=0，故(4)0，故()在(0,4)存在一个零点，且 1.所以为0+1+22+33=的一个最小正实根，此时 1时，400 空气质量好 空气质量不好 附：2=()2(+)(+)(+)(+)，P(K2k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2

14、、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善2 2列联表，计算出2的观测值，再结合临界值表可得结论.试卷第 10 页，共 19 页【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为2+16+25100=0.43，等级为2的概率为5+10+12100=0.27，等级为3的概率为6+7+8100=0.21，等级为4的概率为7+2+0100=0.09；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为10020+30035+50045100=350（3）2 2列联表如下：人次 400 人次 400 空气质量好 33 37

15、 空气质量不好 22 8 2=100(3383722)255457030 5.820 3.841，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.【2020 年新高考 1 卷（山东卷）】9为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：g/m3），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2 2列联表：试

16、卷第 11 页，共 19 页 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：2=()2(+)(+)(+)(+)，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得2 2列联表；（3）计算出2，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的2.5浓度不超过 75，且2浓度不超过 150 的天数有32+6+18+8=64天，所以该市一天中，空气中的2.5浓度不超过 75，且2浓度不超过 150 的概率为64100=0.64；

17、（2）由所给数据，可得2 2列联表为：2 2.5 0,150(150,475 合计 0,75 64 16 80(75,115 10 10 20 合计 74 26 100 （3）根据2 2列联表中的数据可得 试卷第 12 页，共 19 页 2=()2(+)(+)(+)(+)=100(64101610)280207426=3600481 7.4844 6.635，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中2.5浓度与2浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2 2列联表，考查了独立性检验，属于中档题.【2019 年新课标 1 卷理科】10为了治疗某种疾病，研制了甲、乙

18、两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分 甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求的分布列；（2）若甲药、

19、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(=0,1,8)表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则0=0，8=1，=1+1(=1,2,7)，其中=(=1)，=(=0)，=(=1)假设=0.5，=0.8 (i)证明：+1 (=0,1,2,7)为等比数列；(ii)求4，并根据4的值解释这种试验方案的合理性【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）4=1257.【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出,的取值，可得=0.41+0.5+0.1+1(=1,2,7)，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证

20、得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8和0的值可求得1；再次利用累加法可求出4.【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：1，0，1 (=1)=(1 )；(=0)=+(1 )(1 )；(=1)=(1 )则的分布列如下：1 0 1 (1 )+(1 )(1 )(1 )试卷第 13 页，共 19 页 （2）=0.5，=0.8 =0.5 0.8=0.4，=0.5 0.8+0.5 0.2=0.5，=0.5 0.2=0.1（i）=1+1(=1,2,7)即=0.41+0.5+0.1+1(=1,2,7)整理可得：5=41+1(=1,2,7)+1=4(1)(=1,2,7)+1 (=0,1,2,7)是以1

21、 0为首项，4为公比的等比数列（ii）由（i）知：+1=(1 0)4=1 4 8 7=1 47，7 6=1 46，1 0=1 40 作和可得：8 0=1(40+41+47)=148141=48131=1 1=348 1 4=4 0=1(40+41+42+43)=1 441 41=44 13348 1=144+1=1257 4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为4=1257 0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加

22、法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.【2019 年新课标 2 卷理科】1111 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结束.（1）求 P（X=2）；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.【答案】（1）0.5；（2）0.1【分析】

23、(1)本题首先可以通过题意推导出(=2)所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出(=4)所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球试卷第 14 页，共 19 页 均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果【详解】(1)由题意可知，(=2)所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以(=2)=0.5 0.4+0.5 0.6=0.5(2)由题意可知，(=4)包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”所以(=4)=0.5 0.6 0.5 0.4+0.5 0.4 0.5 0.4=0.1【点睛】本题考查

24、古典概型的相关性质，能否通过题意得出(=2)以及(=4)所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题【2019 年新课标 3 卷理科】12为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成,两组，每组 100 只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,的

25、值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1)=0.35，=0.10；(2)4.05，6.【分析】(1)由()=0.70及频率和为 1 可解得和的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得+0.20+0.15=0.70，解得=0.35，由0.05+0.15=1()=1 0.70，解得=0.10.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15 2+0.20 3+0.30 4+0.20 5+0.10 6+0.05 7=4.05，乙离子残留百分比的平均值为0.05 3+0.10 4+0.15 5+0.35 6+0.20

26、7+0.15 8=6【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.试卷第 15 页，共 19 页【2018 年新课标 1 卷理科】13某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品 检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为(),求()的最大值点0；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0作为的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合

27、格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）0.1；（2）（i）490；（ii）应该对余下的产品作检验.【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得()=C2022(1)18，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意00；当(0.1,1)时，()400，故应该对余下的产品作检验.【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法

28、；方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解【2018 年新课标 2 卷理科】14下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量的值依次为1,2,17）建立模型：=30.4+13.5；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量的值依次为1,2,7）建立模型：=99+17.5 （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并

29、说明理由【答案】（1）利用模型预测值为 226.1，利用模型预测值为 256.5，（2）利用模型得到的预测值更可靠【详解】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结果;（2）根据折线图知 2000 到 2009，与 2010 到 2016 是两个有明显区别的直线，且 2010 到 2016 的增幅明显高于 2000 到 2009，也高于模型 1 的增幅，因此所以用模型 2 更能较好得到 2018 的预测.详解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =30.4+13.519=226.1（亿元）利用模型，该地区 201

30、8 年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.59=256.5（亿元）试卷第 17 页，共 19 页（2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数

31、据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠 点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点(,)求参数.【2018 年新课标 3 卷理科】15某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的

32、效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？试卷第 18 页，共 19 页 附：2=()2(+)(+)(+)(+)，【答案】（1）第二种生产方式的效率更高.理由见解析（2）

33、80（3）能【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表（3）由公式计算出2，再与 6.635 比较可得结果 详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效

34、率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知=79+812=80.列联表如下：试卷第 19 页，共 19 页 超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 （3）由于2=40(151555)220202020=10 6.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考查学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活