2.6 直线系方程与圆系方程-(选择性必修第一册) (教师版).docx

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1、 直线系方程与圆系方程1 直线系方程(1) 过点(x0 , y0)的直线系方程为Axx0+Byy0=0(其中A , B不全为零)(2) 平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(CC0)；3 垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程BxAy+C0=0；(4) 过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+A2x+B2y+C2=0(R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)2 圆系方程(1) 以(a , b)为圆心的同心圆圆系方程：xa2+yb2=(0)；(

2、2) 与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+=0；(3) 过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R)；4 过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0(1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当=1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.3 过圆上一点的切线方程过圆上

3、一点P(x0 , y0)作圆M:xa2+yb2=r2的切线l方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2证明 向量法 向量PM=(ax0 , by0)，设切线上任意一点B(x , y)，lPM，PMPB，即PMPB=0，ax0 , by0xx0 , yy0=0(ax0)(xx0)+(by0)(yy0)=0即切线l方程为(ax0)(xx0)+(by0)(yy0)=0.ax0xx0+by0yy0=0ax0xa+ax0+by0yb+by0=0ax0xa+ax02+by0yy0+by02=0ax0xa+by0yy0+r2=0(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2切线l方程也可以写成(x0a

4、)(xa)+(y0b)(yb)=r2.4 切点弦方程过圆M:xa2+yb2=r2外一点P(x0 , y0)引圆的两条切线，切点分别是A、B，则直线AB的方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2.证明 方法1 设切点Ax1,y1，则过点A的切线方程为xax1a+yby1b=r2，由于点P(x0 , y0)在切线PA上，所以有x0ax1a+y0by1b=r2 ，设切点Bx2,y2，同理得x0ax2a+y0by2b=r2 ，由得点A与点B在直线x0axa+y0byb=r2上，则直线AB的方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2.方法2 以MP为直径的圆方程为xaxx0+ybyy0

5、=0，记为圆C，因为PAM=PBM=2，所以点A、B在圆C上，则A、B是圆C与圆M的两个交点，由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线AB方程(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2(这跟圆上点的切线方程形式一致) 【题型一】直线系方程【典题1】求过两直线x2y+4=0和x+y2=0的交点P，且分别满足下列条件的直线l的方程(1)过点(2 , 1)； (2)和直线3x4y+5=0垂直【解析】由x2y+4=0x+y2=0 解得x=0y=2，P(0 , 2)(1)方法一 由两点的坐标求得斜率为kl=2102=12，由点斜式求得直线方程为y2=12(x0)，化简得x+2y4=0方法二 设过点P的直线

6、方程为x2y+4+x+y2=0，过点(2 , 1)，22+4+=0=4，故所求直线方程为x2y+44x+y2=0x+2y4=0.(2)方法一 依题意得所求直线的斜率为k2=43，由点斜式求得直线方程为y2=43(x0)，即4x+3y6=0方法二 设所求直线为4x+3y+=0过点P(0 , 2)，0+6+=0=6，故所求直线方程为4x+3y6=0. 【点拨】此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【典题2】求过点P(1 , 4)，圆x22+y32=1的切线l的方程【解析】方法一 当直线l斜率不存在时，方程为x=1，显然不是切线，故可设

7、切线方程为y=kx+1+4，直线l与圆相切，圆心(2 , 3)到直线l的距离等于半径1，故|3k+1|1+k2=1，解得k=0或34，故所求直线l的方程为y=4或3x+4y13=0方法二 如方法二，设切线方程为y=kx+1+4，由y=kx+1+4x22+y32=1得1+k2x2+2k2+2k4x+k2+2k4=0其判别式=2k2+2k4241+k2k2+2k4=0 , 解得k=0或34 , 故所求直线l的方程为y=4或3x+4y13=0方法三 设所求直线的方程为Ax+1+By4=0(其中A , B不全为零)，直线l与圆相切，圆心(2 , 3)到直线l的距离等于半径1，故|3AB|A2+B2=1

8、整理，得A(4A3B)=0，即A=0(这时B0)或A=34B0故所求直线l的方程为y=4或3x+4y13=0【点拨】本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 , y0)的直线系方程为Axx0+Byy0=0(其中A , B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【题型二】圆系方程【典题1】经过直线2xy+3=0与圆x2+y2+2x4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是 【解析】方法一 (面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)圆x2+y2+2x4y+1=0的方程可化为x+12+y22=4圆心坐标为(1 , 2)，半径为r=2；圆心到直线2xy+3=0

9、的距离为d=15设直线2xy+3=0和圆x2+y2+2x4y+1=0的交点为A , B则|AB|=2r2d2=2415=2195过点A , B的最小圆半径为195联立2xy+3=0x2+y2+2x4y+1=0得5x2+6x2=0，故x1+x2=65，则圆心的横坐标为：12(x1+x2)=35，纵坐标为2(35)+3=95，最小圆的圆心为(35 , 95)，最小圆的方程为x+352+y952=195 方法二 依题意，可设过点A、B两点圆的方程为x2+y2+2x4y+1+(2xy+3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆)整理得x+12+y4+22=542+

10、4若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即542+4取到最小值，而542+4=54+252+195195，当=25时取到最小值，此时圆的方程为x+352+y952=195.【点拨】本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C1：x2+y2=10与圆C2：x2+y2+2x+2y14=0(1)求证：圆C1与圆C2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y6=0上的圆的方程【解析】(1)证明：(圆心距C1C2(Rr , R+r)两圆相交)圆C2：x2+y2+2x+2y14=0化为

11、标准方程为x+12+y+12=16C2(1 , 1)，r=4圆C1：x2+y2=10的圆心坐标为(0 , 0)，半径为R=10|C1C2|=2 , 41024)上运动，记直线PA、PB与x轴的交点分别为M、N，求PMN面积的最小值【答案】 (1)x2+y22=4；2 直线AB恒过定点(1 , 1)；PMN的面积取得最小值32【解析】(1)由题意设圆C的圆心坐标(m,2m)，由题意OC2=CG2，即m2+2m2=m+22+2m22，解得m=0，即C(0,2)，所以可得半径r=|OC|=2，所以圆的方程为x2+y22=4；(2)由点P在直线xy2=0上运动，可设P(t,t2)，由PA和PB为圆C的

12、两条切线，可得ACPA，BCPB，则P,A,C,B四点共圆，且圆心为PC的中点(t2,t2)，半径为12|PC|=12t2+(t4)2，则以PC为直径的圆的方程为xt22+yt22=14t2+t42，又圆C的方程为x2+y22=4，上面两圆的方程相减可得直线AB的方程tx+t4y+42t=0，由t(x+y2)+(44y)=0，可得x+y2=044y=0，解得x=y=1，则直线AB恒过定点(1,1)；若点P在曲线y=14x2(其中x4)上运动，可设P(u,14u2)，u4，显然切线PA,PB的斜率存在，设为k，可得切线方程设为y14u2=k(xu)，即kxy+14u2ku=0，由直线和圆相切的条

13、件可得|2+14u2ku|1+k2=2，化为k2(u24)+2ku(2u24)+u416u2=0，=4u22u2424(u24)(u416u2)0在u4恒成立，k1+k2=u324uu24，k1k2=u416u2u24，|k1k2|=(k1+k2)24k1k2=(u324uu24)24u416u2u24=u2u24，而M(uu24k1,0),N(uu24k2,0)，|MN|=u24|k1k2k1k2|=u24u2u416u2=u2u244，所以PMN面积S=12u24u2u244=12u4u216，可设s=u216，s0，则S=12(16+s)2s=12(s+256s+32)12(2s256s+32)=32，当且仅当s=16，即u=42时，PMN的面积取得最小值32