1.4.1 空间向量的应用---线面位置关系的证明-(选择性必修第一册) (学生版).docx

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1、 空间向量的应用-线面位置关系的证明1 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线 l 的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(2)平面的法向量若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，向量n叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) 建立适当的坐标系； 设平面 的法向量为 n=(x, y, z)； 求出平面内两个不共线向量的坐标a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3) ； 根据法向量定义建立方程组na=0nb=0 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 2 判定

2、空间中的平行关系 (1)线线平行设直线l1, l2的方向向量分别是a, b，则要证明 l1| l2，只需证明a| b，即a=k b(k R).(2)线面平行设直线 l 的方向向量是 a，平面的法向量是n ，则要证明l|，只需证明a n，即 a n=0.(3)面面平行若平面 的法向量为n1，平面的法向量为n2,要证| ，只需证n1|n2 ，即证n1=n2.3 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直:设直线l1, l2的方向向量分别是a, b，则要证明l1 l2 ，只需证明ab，即a b=0 .(2)线面垂直(法一)设直线 l的方向向量是a,平面 的法向量是n ，则要证明l ，只需证明a|n，即 a=

3、 n.(法二)设直线 l的方向向量是a，平面 内的两个相交向量分别为m, n ，若 am=0an=0 ,则 l.(3)面面垂直若平面的法向量为 n1 ，平面的法向量为 n2 ，要证，只需证n1 n2 ，即证n1 n2 =0.【题型一】线面、面面位置关系的证明【典题1】 若平面与的法向量分别是a=(2,4,3)，b=(1,2,2)，则平面与的位置关系是()A平行 B垂直 C相交但不垂直 D无法确定 【典题2】 如图1所示，在边长为12的正方形AAA1A1中，点B，C在线段AA上，且AB=3，BC=4，作BB1AA1，分别交A1A1、AA1于点B1、P，作CC1AA1，分别交A1A1、AA1于点C

4、1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得AA1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABCA1B1C1(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，求证：AB平面BCC1B1；(2)试判断直线AQ是否与平面A1C1P平行，并说明理由 【典题3】 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，D，E分别是棱BC，CC1上的点，且ADBC(1) 求证:直线A1F平面ADE；(2) 若ABC是正三角形,E为C1C中点，能否在线段B1B上找一点N，使得A1N平面ADE？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由【典题4】 如图，四棱锥SABCD中ABCD为矩形，SDAD，且SDA

5、B，AD=1，AB=2，SD=3E为CD上一点，且CE=3DE(1)求证：AE平面SBD；(2)M、N分别在线段SB、CD上的点，是否存在M、N，使MNCD且MNSB，若存在，确定M、N的位置；若不存在，说明理由巩固练习1() 已知n=(1,2,1)为平面的一个法向量，a=(2,1)为直线l的方向向量若l，则= 2() 已知平面的法向量是a=(3x1,1,x+5)，平面的法向量是b=(x+1,x2+3,x)，且，则实数x的值为 3() 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB=AC=AA1，D为BC的中点(1)证明：A1B平面ADC1；(2)证明：平面ADC1平面BB1C1C4 () 如图1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2(1)求证：A1C平面BCDE；(2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由5 () 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=2BC，ABC=60，ACFB(1)求证：AC平面FBC；(2)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC平面QBC？证明你的结论