2.4 圆与方程-(选择性必修第一册) (教师版).docx

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1、 圆与方程1 圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2 圆的方程(1) 标准方程xa2+yb2=r2，圆心(a , b)，半径为r.(2) 一般方程x2+y2+D x+E y+F=0 (D2+E24 F0)(3) 求圆方程的方法(i) 待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a , b , r；若利用一般方程，需要求出D , E , F；(ii) 直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3 点与圆的位置关系(1) 设点到圆心的距离为d，圆半径为r， a.点在圆

2、内 dr .(2) 给定点M(x0 , y0)及圆 C:xa2+yb2=r2.u M在圆C内x0a2+y0b2r2 .(3) 某点M到圆O上点N的距离若点M在圆内，则MNmin=MN1=rOM，MNmax=MN2=r+OM；若点M在圆外，则MNmin=MN1=OMr，MNmax=MN2=OM+r； 4 直线、圆的位置关系(1) 三种位置关系(2) 根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)u 相离没有公共点 dr;u 相切 只有一个公共点 d=r;u 相交 有两个公共点 d0 时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；u 当=0 时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；u 当0

3、时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.(4) 圆上一点到圆外一直线的距离若直线l与圆O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P1F=dr，PEmax=P2F=d+r.5 弦长弦长公式：AB=2 r2d2 (r是圆的半径，d是圆心O到直线l的距离).利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【题型一】求圆的方程【典题1】 若圆C过点(0 , 1) , (0 , 5)，且圆心到直线xy2=0的距离为2 2 ，求圆C的标准方程.【解析】方法一 几何法圆C过点0 , 1 , 0 , 5，圆心的纵坐标为2，(画图很容易看得出来)则设圆心为(a , 2)，则a42

4、=2 2，a=0或8，当a=0时，r=3；当a=8时，r=64+9=73；圆C的标准方程为x2+y22=9或x82+y22=73.方法二 待定系数法设圆的方程为xa2+yb2=r2，则a2+1b2=r2&a2+5b2=r2|ab2|2=2 2，解得a=0b=2r=3或a=8b=2r=73 (消元求解)圆C的标准方程为x2+y22=9或x82+y22=73.【典题2】 已知A(1 , 0)，B(3 , 2)，C(0 , 2)，则过这三点的圆方程为 .【解析】方法一 待定系数法设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，(设为标准方程也可以)又由圆过A(1 , 0)，B(3 , 2)，C(0

5、, 2)三点，则有&1D+F=0&13+3D+2E+F=0&42E+F=0，解得D=3，E=0，F=4，则圆的标准方程为x2+y23x4=0，即x322+y2=254.方法二 几何法圆心是直线AB、AC的垂直平分线的交点，(根据外心的定义)易得直线AB、AC的垂直平分线分别为y=2x+3，y=12x34，由y=2x+3y=12x34，解得x=32 y=0，即圆心O(32,0)，半径r=OC=3202+0+22=52，(半径为圆心到任一点的距离)故圆的标准方程为x322+y2=254.【点拨】求三角形外接圆的方程，可用待定系数法，也可以用三边的中垂线求解.待定系数法的想法简单但计算量较大.巩固练

6、习1() 已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a+b .【答案】4 【解析】圆x2+y2=1的圆心是坐标原点(0,0)，半径为1，设(0,0)关于直线x+y=1的对称点为(m,n)，则m2+n2=1mn=1，解得m=1n=1，则点(0,0)关于直线x+y=1对称的点的坐标为(1,1)，所以圆x2+y2=1关于直线x+y=1对称的圆的方程为x12+y12=1，化为一般式为x2+y22x2y+1=0，所以a=b=2，即a+b=42() 圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为 . 【答案】 x12+y12=2或x+12+y

7、+12=2 【解析】画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作ACx轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为(1,1)，且半径|OA|=2，则圆A的标准方程为：x12+y12=2；当圆心A在第三象限时，过A作ACx轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为(1,1)，且半径|OA|=2，则圆A的标准方程为：x+12+y+12=2，综上，满足题意的圆的方程为：x12+y12=2或x+12+y+12=23() 过点A(1 , 1)， B

8、(3 , 5)，且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的半径是 .【答案】 x+22+y22=10 【解析】设圆的标准方程为xa2+yb2=r2，因为圆过点A(1,1),B(3,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上，则有(1a)2+(1b)2=r2(3a)2+(5b)2=r22a+b+2=0，解得a=2b=2r=10，所以圆的半径是10【题型二】点与圆的位置关系【典题1】 若点P的坐标是(5cos,4sin)，圆C的方程为x2+y2=25，则点P与圆C的位置关系是()A点P在圆C内B点P在圆C上C点P在圆C内或圆C上D点P在圆C上或圆C外【解析】点P的坐标是(5cos,4sin)，5cos2+4s

9、in2=16+9cos225，点P与圆C的位置关系是点P在圆C内或圆C上，故选：C【点拨】判定点P到圆O的位置，方法有两种，求OP，与半径r比较大小；把点Px0,y0代入圆的方程xa2+yb2，得到其值与r2的大小比较.【典题2】 若实数x,y满足x2+y2+4x2y4=0，则x2+y2的最大值是 .【解析】方法1 几何法x2+y2+4x2y4=0即x+22+y12=9，它表示一个圆心M(2,1)，半径r=3的圆M，而x2+y2=(x0)2+(y0)2表示圆上的点N(x,y)与原点O(0,0)之间的距离，(则本题就是求原点到圆上点距离的最大值)结合图形知，ONmax=OM+r=5+3，即x2+

10、y2的最大值是5+3方法2 三角代换法x2+y2+4x2y4=0即x+22+y12=9，设x=3sin2，y=3cos+1，则x2+y2=(3sin2)2+(3cos+1)2=146(2sin+cos)而52sin+cos5 (由辅助角公式可得)146(2sin+cos)的最小值为14+65=5+3.【点拨】 方法1是从几何的角度入手，确定方程为圆的方程，根据两点距离公式确定x2+y2是线段ON的长度，则问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题.方法2是三角代换法，圆xa2+yb2=r2的参数方程为x=rcos+ay=rsin+b(R是参数)，它是求最值问题的一大技巧. 巩固练习1() 若点M

11、(m,m1)在圆C：x2+y22x+4y+1=0内，则实数m的取值范围为 【答案】1,1 【解析】点M(m,m1)在圆C：x2+y22x+4y+1=0内，m2+m122m+4(m1)+10，即m21，则1m2，点(0,5)在圆外圆上与点(0,5)距离最远的点，在圆心与点(0,5)连线上，且与点(0,5)分别在圆心两侧令直线解析式：y=kx+b，由于直线通过点(2,3)和(0,5)，可得直线解析式：y=x5，与圆的方程联立，可得x22+x22=2，x=3或x=1交点坐标为(3,2)和(1,4)，其中距离点(0,5)较大的一个点为(3,2)3() 在平面内，一只蚂蚁从点A(2,3)出发，爬到y轴后

12、又爬到圆x+32+(y2)2=2上，则它爬到的最短路程是 【答案】 42 【解析】由圆x+32+y22=2，得圆心坐标(3,2)，半径为2，A(2,3)关于y轴的对称点为A(2,3)，它爬到的最短路程是 最短距离为ACr=(32)2+(2+3)22=42，4() 已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上，则(x1)2+(y1)2的最大值为 【答案】 2+1 【解析】(x1)2+(y1)2表示点(x,y)与点(1,1)的距离，点P(x,y)在圆x2+y2=1上，(x1)2+(y1)2的最大值为1+1+1=2+1，5() 已知点P(3,a)，若圆O：x2+y2=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆

13、O上，则a的取值范围是 【答案】 33,33【解析】设A(x0,y0)，PA的中点M(x,y)，由已知有x02+y02=4x0+32=xy0+a2=y，解得(x32)2+(ya2)2=1，即PA的中点的轨迹为圆(x32)2+(ya2)2=1，又线段PA的中点也在圆O上，两圆有公共点，1(32)2+(a2)23，解得：33a33，6() 设点M(x0 , 1) , 若圆O:x2+y2=1上存在点N，使得OMN=30，那x0的取值范围 【答案】3 x03 【解析】过M作O切线交O于R，根据圆的切线性质，有OMROMN若圆O上存在点N，使OMN=30，则OMR30|OR|=1，|OM|2时不成立，|

14、OM|2，即OM2=x02+1 4，解得3 x03.7() 如果圆xa2+ya2=8上总存在到原点的距离为2的点，那实数a的取值范围 【答案】 3,11,3 【解析】 圆xa2+ya2=8半径r=2 2，圆心A(a，a)到原点O的距离OA=|2a|，若由圆xa2+ya2=8上总存在点到原点的距离为2， 2 222a 2 2+2，1|a|3，解得 1a3或3a1实数a的取值范围是3，11，3 8 () 在平面直角坐标系xOy中，已知点P0,1在圆C：x2+y2+2mx2y+m24m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且PBC的面积是PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为 【答案】

15、 49,4【解析】点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx2y+m24m+1=0内，12+m24m+10，解得0m4；又圆C化为标准方程是x+m2+y12=4m，圆心C(m,1)；PBC的面积是PAC的面积的2倍，PB=2PA，设直线l的方程为：y=kx+1圆心C到直线l的距离d=|km1+1|1+k2=|km|1+k24md2=3m2d2，可得：9m24m=8d2=8k2m21+k2，94m=8k21+k2(0,8)，解得：49m4当m=49时，四点共线没有三角形，实数m的取值范围为(49,4) 【题型三】直线与圆的位置关系【典题1】 若圆C：x2+y22x+2y=2与直线xy+a=0有公共

16、点，则a的取值范围是 【解析】方法一 化圆C的一般方程为标准方程，得x12+y+12=4，则圆心坐标为C(1,1)，半径r=2，若直线与圆C有公共点，则圆心(1,1)到直线的距离d小于等于半径r，则d=|1+1+a|22，解得222a222.方法二 由xy+a=0x2+y22x+2y=2得2x2+2ax+a2+2a2=0，其判别式=4a28a2+2a2=4a216a+16，直线与圆有公共点，则0，解得222a222.【点拨】 判定直线与圆的位置共线有两种方法，判定圆心到直线的距离与半径的大小半径；联立方程，看判别式.【典题2】 求过点P(1,4)，圆x22+y32=1的切线l的方程【解析】方法

17、1 当过点P的直线斜率不存在时，方程为x=1，显然不满足题意，故可设切线l为y=kx+1+4kxy+4+k=0，依题意得圆(2,3)到直线l的距离等于半径1，故|3k+1|1+k2=1，解得k=0或34，故所求直线l的方程为y=4或3x+4y13=0方法2 设所求直线的方程为Ax+1+By4=0(其中A,B不全为零)，直线l与圆相切，圆心(2,3)到直线l的距离等于半径1，故|3AB|A2+B2=1整理，得A(4A3B)=0，即A=0(这时B0)或A=34B0故所求直线l的方程为y=4或3x+4y13=0【点拨】 方法1中，设过某一点(x0,y0)的直线方程时，注意斜率是否存在，不存在方程为x

18、=x0，存在时可设为y=kxx0+y0. 方法2利用了直线系方程，过点(x0,y0)的直线系方程为Axx0+Byy0=0(其中A,B不全为零).【典题3】 已知两点A(1,0)、B(0,2)，若点P是圆x12+y2=1上的动点，则ABP面积的最大值和最小值之和为 【解析】(SABP以AB为底，求其最值，即求点P到直线AB的距离最值)由两点A(1,0)、B(0,2)，|AB|=(1)2+22=5，直线AB的方程为：x1+y2=1即2xy+2=0，由圆x12+y2=1可得圆心C(1,0)，半径r=1，则圆心C到直线AB的距离d=|20+2|5=45，点P是圆x12+y2=1上的动点，点P到直线AB

19、的最大距离dmax=d+r；点P到直线AB的最小距离dmin=drABP面积的最大值和最小值之和等于12|AB|dmax+12|AB|dmin=12|AB|dmax+dmin=12585=4【点拨】圆上一点P到圆外一直线l距离d与圆心O到直线l的距离d1和圆的半径r有关，即dmin=d1r，dmax=d1+r.【典题4】已知圆C：(x3)2+(y3)2=3，过直线3xy6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cosAPB的最小值为 【解析】根据题意，如图：连接AC、BC、PC，圆C的圆心(3,3)，半径r=3，cosAPB=cos2APC=12sin2APC=12AC2

20、PC2=16PC2，(圆的切线长定理)当PC最小时， cosAPB的值的最小，而PC的最小值为点C到直线3xy6=0的距离d=|336|1+3=3，则cosAPB的最小值为169=13.【点拨】 本题利用了平几和三角恒等变换的知识把cosAPB的最值转化为“直线一动点到定点的距离最值问题”. 求某变量的最值，可转化为另一变量的最值，这也是一种函数思想，在解析几何中就要对题目中的动点变化有足够的清晰理解.【典题5】直线l：x2y+2=0，动直线l1：axy=0，动直线l2：x+ay+2a4=0设直线l与两坐标轴分别交于A,B两点，动直线l1与l2交于点P，则PAB的面积最大值 【解析】由x2y+

21、2=0，取y=0，得x=2，则A(2,0)；取x=0，得y=1，则B(0,1)，|AB|=5，(线段AB为定值，则SPAB的大小取决于点P到直线AB的距离)方法1 函数法由axy=0x+ay+2a4=0得P42aa2+1,4a2a2a2+1，则求点P到直线l的距离=156a210a+6a2+1=253a25a+3a2+1=25(35aa2+1)(函数法，求其函数最值便可)易得fa=5aa2+1的值域52,52，(利用对勾函数或基本不等式)则152535aa2+1115，故max=115，PAB的面积最大值为125115=112.方法2 参数法由axy=0x+ay+2a4=0得x=42aa2+1

22、y=4a2a2a2+1，(即得到点P轨迹的参数方程)由a=yx代入x=42aa2+1得x=42yxyx2+1，(消参数a得到点P的方程)整理得x22+y+12=5，(点P的轨迹是圆，接着求点P到直线l距离的最大值，问题回到“圆上点到圆外直线的距离”模型)圆心(2,1)到直线l的距离d=|2+2+2|5=655，P到直线l的距离的最大值为d+r=655+5=1155，PAB的面积最大值为1251155=112.方法3 几何法直线l1：axy=0过定点O(0,0)，直线l2：x+ay+2a4=0过定点M(4,2)，a1+(1)a=0，直线l1与直线l2垂直，动直线l1与l2交于点P在以OM为直径的

23、圆上，(动点P轨迹是圆，求出其方程，如方法2便可)OM的中点坐标为(2,1)，|OM|=42+(2)2=25，动点P的轨迹方程为x22+y+12=5，如方法2得PAB的面积最大值112.【点拨】 方法1的函数法是最直接的想法，但运算量较大些； 本题的求解动点轨迹的方法是参数法和几何法； 几何法中，我们要清楚动点是由什么因素确定，再思考这些因素有木有什么特点.本题动点P是两动直线的交点，则我们要考虑两直线有什么特征，一般可往“定点”、“直线位置关系”的角度思考.其中关于圆的结论可以了解下：(1) 动点P到两个定点A、B的夹角APB=2，则动点P的轨迹是以AB为直径的圆；(2) 若平面四边形ABC

24、D中有A+C=，则四点共圆.巩固练习1() 点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外，则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定【答案】 B 【解析】点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外，x02+y02=R2，圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离：d=|R2|x02+y024，点P到直线AB的距离的范围为11554，1155+4，11555，115541，1155+40)上任意一点，若|3x4y|+|3x4y+16|是定值，则实数r的取值范围是 【答案】 00)，则圆心到直线x+2y=0的距离d=|a+20|1+22=55a，又由该圆截直线x+2y=

25、0所得弦的长为2，则有1+55a2=5，解可得a=25，又由a0，则a=25，故要求圆的方程为x252+y2=5，3() 已知直线l：y=m(x2)+2与圆C：x2+y2=9交于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为 【答案】 2 【解析】直线l：y=m(x2)+2过定点P(2,2)，|CP|=22+22=223，定点P在圆C内部，则当直线l与CP垂直时，|AB|最小，此时|AB|=2r2|CP|2=298=24() 已知圆C：x2+y24x2y+1=0及直线l：y=kxk+2(kR)，设直线l与圆C相交所得的最长弦长为MN，最短弦为PQ，则四边形PMQN的面积为 【答案】 42 【解析】将圆C方程整理为x22+y12=4，得圆心C(2,1)，半径r=2；将直线l方程整理为y=k(x1)+2，得直线l恒过定点(1,2)，且(1,2)在圆C内；最长弦MN为过(1,2)的圆的直径，则|MN|=4；最短弦PQ为过(1,2)，且与最长弦MN垂直的弦，kMN=2112=1，kPQ=1，则直线PQ方程为y2=x1，即xy+1=0，圆心C到直线PQ的距离为d=|21+1|2=2，|PQ|=2r2d2=242=22，四边形PMQN的面积S=12|MN|PQ|=12422=42，