1.4.3 空间向量的应用--距离问题-(选择性必修第一册) (教师版).docx
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1、 空间向量的应用-距离问题利用空间向量法求距离问题(1)点A、B间的距离AB=AB=x1x22+y1y22.(2)点Q到直线l 距离若Q为直线l外的一点, P在直线上,a为直线l的方向向量, b=PQ,则点Q到直线l距离为d=1a ab2ab2.PS 公式推导 如图,d=bsin=b1cos2=b1abab2=1a ab2ab2 .(3)点Q到平面的距离若点Q为平面外一点,点M为平面内任一点,平面的法向量为n,则Q到平面的距离就等于MQ在法向量 n方向上的投影的绝对值,即d =n MQn .PS 公式推导如图,d=MQsin=MQcos n , MQ=MQn MQnMQ =n MQn .(4)
2、直线 a平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等.由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离. (5) 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.【题型一】点到点的距离【典题1】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,动点M在线段CC1上,动点P在平面A1B1C1D1上,且AP平面MBD1(1)当点M与点C重合时,线段AP的长度为 ;(2)线段AP长度的最小值为 【解析】(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设P(a , b , 1),当点M与C重合时,M(0
3、 , 1 , 0),B(1 , 1 , 0),D1(0 , 0 , 1),A(1 , 0 , 0)AP=(a1 , b , 1),BD1=(1 , 1 , 1),MD1=(0 , 1 , 1),AP平面MBD1APBD1=1ab+1=0APMD1=b+1=0,解得a=1,b=1,AP=(0 , 1 , 1),线段AP的长度为|AP|=0+1+1=2(2)设CM=t0 , 1,则M(0 , 1 , t),B(1 , 1 , 0),D1(0 , 0 , 1),AP=(a1 , b , 1),BD1=(1 , 1 , 1),MD1=(0 , 1 , 1t),AP平面MBD1APBD1=1ab+1=0
4、APMD1=b+1t=0,解得a=1+t,b=1t,AP=(t , 1t , 1),|AP|=t2+(1t)2+1=2(t12)2+32,当t=12,即M是CC1中点时,线段AP长度取最小值为62【点拨】 线段AP的长度为|AP|,利用空间向量法使得几何问题“代数化”,较几何法更容易处理这动点问题; 本题的变化源头是“M的位置”,在第二问求AP长度的最小值,在引入参数中设CM=t,较为合理.巩固练习1() 已知M为z轴上一点,且点M到点A(1 , 0 , 1)与点(1 , 3 , 2)的距离相等,则点M的坐标为 . 【答案】(0 , 0 , 6) 【解析】M为z轴上一点,设M(0,0,t),点
5、M到点A(1,0,1)与点(1,3,2)的距离相等,(0+1)2+(00)2+(t1)2=(01)2+(0+3)2+(t2)2,解得t=6,点M的坐标为M(0,0,6)2()已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(1 , 1 , 2),点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点,则A , B两点的最短距离是 . 【答案】 342 【解析】点B是xoy平面内的直线x+y=1上的动点,可设点B(m,1m,0)由空间两点之间的距离公式,得|AB|=(1m)2+1(1m)2+(20)2=2m22m+9令t=2m22m+9=2m122+172当m=12时,t的最小值为172当m=12时,|AB|的最小值为
6、172=342,即A、B两点的最短距离是342.3() 如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为 .【答案】 2 【解析】在空间直角坐标系中,有一棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1A1(2,0,2),C(0,2,0),A1C的中点E(1,1,1),A(2,0,0),B(2,2,0),AB的中点F(2,1,0),A1C的中点E到AB的中点F的距离为:|EF|=(21)2+(11)2+(01)2=2故选:B4() 空间点A(x , y , z),O(0 , 0 , 0),B(2 , 3 , 2),若|AO|=1,则|AB|的
7、最小值为 . 【答案】 2【解析】空间点A(x,y,z),O(0,0,0),B(2,3,2),|AO|=1,A是以O为球心,1为半径的球上的点,B(2,3,2),|OB|=(2)2+(3)2+22=3|AB|的最小值为:|OB|OA|=31=2【题型二】点到线的距离【典题1】 P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到BD的距离为 【解析】方法一 矩形ABCD中,AB=3,AD=4,BD=9+16=5,过A作AEBD,交BD于E,连结PE, PA平面ABCD,PABD,又 AEBD BD平面PAE, PEBD,即PE是点P到BD的距离,12A
8、BAD=12BDAE,AE=ABADBD=125,PE=PA2+E2=1+14425=135,点P到BD的距离为135方法二 依题意可知,PA、AB、AD三线两两垂直,如图建立空间直角坐标系P(0 , 0 , 1),B(3 , 0 , 0),D(0 , 4 , 0),BP=3 , 0 , 1,BD=(3 , 4 , 0) , 点P到BD的距离为d=1BD BDBP2BDBP2=1525081=135.【点拨】 方法一是几何法,找到点P到BD的距离PE;方法二是向量法,利用点到直线距离公式d=1BD BDBP2BDBP2 (*); 向量法中的公式(*)有些复杂,不建议直接使用,还不如使用其推导方
9、法求点P到直线BD的距离(1) 求出直线BD的方向向量BD=(3 , 4 , 0);(2) 在直线BD上找一点B,求出其与点P的向量BP=3 , 0 , 1;(3) 求两向量夹角余弦值,cos=BPBD|BP|BD|=9510;(4) 求点P到BD的距离,d=BP1cos2=10181250=135.巩固练习1() 已知直线l的方向向量为a=(1 , 0 , 1),点A(1 , 2 , 1)在l上,则点P(2 , 1 , 2)到l的距离为 . 【答案】 17 【解析】根据题意,得PA=(1,3,3),a=(1,0,1),cosa,PA=1+03219=219,sina,PA=1719;又|PA
10、|=19,点P(2,1,2)到直线l的距离为|PA|sina,PA=191719=172() 已知直线l过定点A(2 , 3 , 1),且n=(0,1,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为 . 【答案】 322 【解析】PA=(2,0,1),故|PA|=5,cosPA,n=PAn|PA|n|=152=1010,设直线PA与直线l所成的角为,则cos=|cosPA,n|=1010,故sin=31010,点P(4,3,2)到直线l的距离为|PA|sin=531010=3223() 已知A(0 , 0 , 2),B(1 , 0 , 2),C(0 , 2 , 0),则点A到直线B
11、C的距离为 . 【答案】 223 【解析】A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),AB=(1,0,0),BC=(1,2,2),点A到直线BC的距离为:d=|AB|1(cosAB,BC)2=11(113)2=223【题型三】点到面的距离【典题1】 如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,ABC=60,PA平面ABCD,AB=2,PA=233,E为BC中点,F在棱PD上,AFPD,点B到平面AEF的距离为 【解析】底面ABCD为菱形,ABC=60,E为BC中点,AEAD,又PA平面ABCD,PAAD,PAAE,以A为原点,AE为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
12、A(0 , 0 , 0),B(3 , 1 , 0),E(3 , 0 , 0),P(0 , 0 , 233),D(0 , 2 , 0),AB=(3 , 1 , 0),AE=(3 , 0 , 0), 在RtPAD中,易得D=30,AF=AD2=1,过点F作FHAD交AD于H, 易得1=30,AH=12 , FH=32, F0 , 12 , 32, AF=0 , 12 , 32,设平面AEF的法向量n=(x , y , z),则nAE=3x=0nAF=12y+32z=0,取y=3,得n=(0 , 3 , 1),点B到平面AEF的距离为:d=|nAB|n|=32【点拨】 求点F的坐标,解题中几何法较易
13、求得,这需要审题中注意各量之间的关系;也可以用代数法求得,如下:设F(0 , b , c),PF=PD,则(0 , b , c233)=(0 , 2 , 233),解得b=2,c=233233,AF=(0 , 2 , 233233),PD=(0 , 2 , 233),AFPD,AFPD=443+43=0,解得=14,F0 , 12 , 32; 求点B到平面AEF的距离的解题步骤(1) 求平面AEF的法向量n=(0 , 3 , 1);(2) 在平面AEF内选一点A,求其与点B的向量AB=(3 , 1 , 0);(3) 利用公式d=|nAB|n|(向量n在法向量n上的投影绝对值)求所求距离,d=|
14、nAB|n|=32.【典题2】 已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点,EF交AC于P,GC垂直于ABCD所在平面(1)求证:EF平面GPC(2)若AB=4,GC=2,求点B到平面EFG的距离【解析】(1)连接BD交AC于O,E , F是正方形ABCD边AD,AB的中点,ACBD,EFACGC垂直于ABCD所在平面,EF平面ABCD EFGCACGC=C, EF平面GPC(2) 方法一 向量法建立空间直角坐标系Cxyz,则G(0 , 0 , 2),E(4 , 2 , 0),F(2 , 4 , 0),B(4 , 0 , 0)GE=(4 , 2 , 2),EF=(2 , 2 , 0)设面
15、GEF的法向量n=(x , y , z),则GEn=0且EFn=0,即4x+2y2z=0且2x+2y=0取x=1时,可得n=(1 , 1 , 3)又向量BE=(0 , 2 , 0)则B到面GEF的距离d=|nBE|n|=21111.方法二 等积法由题意可知PC=34AC=32 , PG=PC2+GC2=22, SEFG=12PGEF=211,易得SEFB=12AFEB=2VBEFG=VGEFB13SEFG=13GCSEFB=GCSEFBSEFG=22211=21111.方法三 间接法由题意可知PC=34AC=32 , PG=PC2+GC2=22,PC=3OP, C到面GEF的距离是O到面GEF
16、距离的3倍,在GPC中,点C到边PG的高为CM,又EF平面GPC,CM平面EFG , CM为C到面GEF距离,在GPC中,可得PGCM=GCPCCM=23222=611,又BDEF,可得BD平面GEF,可得B到面GEF的距离等于O到面GEF的距离13CM=211=21111【点拨】求点A到平面的距离方法有很多种, 直接法:若能确定点A到平面的垂线段当然最好了! 向量法:若空间直角坐标系较容易建立,各关键点的坐标易求,可考虑向量法;本题中GC平面 ABCD,矩形ABCD都是有利条件;等积法:当相关三棱锥的体积和侧面三角形的面积易求,可考虑等积法;本题中的VGEFB和SEFB均易求; 间接法:若存
17、在过点A的直线l与平面平行,可考虑能否在直线l上找到一点B,而它到平面的距离易求些;本题中“求B到面GEF的距离”转化为“求O到面GEF的距离”;【典题3】 如图在四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点(1)求证PO平面ABCD;(2)求二面角CPDA夹角的正弦值;(3)线段AD上是否存在Q,使得它到平面PCD的距离为32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,说明理由【解析】(1)证明PA=PD,O为AD的中点,POAD,侧面PAD底面ABCD,侧面PAD底面ABCD=AD,PO平
18、面ABCD (2)底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,OCAD,又PO平面ABCD,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,平面PAD的法向量m=(1 , 0 , 0),C(1 , 0 , 0),D(0 , 1 , 0),P(0 , 0 , 1),PC=(1 , 0 , 1),PD=(0 , 1 , 1),设平面PCD的法向量n=(x , y , z),则nPC=xz=0nPD=yz=0,取x=1,得n=(1 , 1 , 1),设二面角CPDA夹角为,则cos=|mn|m|n|=13,sin=1(13)2=63,二面角CPDA夹
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