【必修】第6章平面向量及其应用.docx

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1、 第6章平面向量及其应用在现实生活中,我们会遇到很多量,其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来,如长度、质量等.还有一些量则不是这样,例如下图中小船的位移,小船由A地向东南方向航行15nmile到达B地(速度的大小为10nmile/h).这里,如果仅指出“由A地航行15nmile”,而不指明“向东南方向”航行,那么小船就不一定到达B地了.这就是说,位移是既有大小又有方向的量.力、速度、加速度等也是这样的量.对这种既有大小又有方向的量加以抽象,就得到了我们本章将要研究的向量.向量是近代数学中重要和基本的概念之一,向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵.向量既是代数研究对象,也是几何

2、研究对象,是沟通几何与代数的桥梁,是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础,在解决实际问题中发挥着重要作用.本章我们将通过实际背景引入向量的概念,类比数的运算学习向量的运算及其性质,建立向量的运算体系.在此基础上,用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题.南6.1平面向量的概念我们知道,力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量.本节我们将通过对这些量的抽象,形成向量概念及其表示方法;通过研究向量之间的一些特殊关系,初步认识向量的一些特征.6.1.1向量的实际背景与概念在本章引言中,小船位移的大小是A,B两地之间的距离15nmile,位移的方向是东南方向;小船航行速度的

3、大小是10nmile/h,速度的方向是东南方向.又如,物体受到的重力是坚直向下的(图6.1-1),物体的质量越大,它受到的重力越大;物体在液体中受到的浮力是坚直向上的(图6.1-2),物体浸在液体中的体积越大,它受到的浮力越大.图6.1-1图6.1-2力、位移、速度等有各自的特性,而“既有大小,又有方向”是它们的共同属性.我们知道,从一支笔、一棵树、一本书中,可以抽象出只有大小的数量“1”.类似地,我们可以对力、位移、速度这些量进行抽象,形成一种新的量.在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量(vector),而把只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量

4、.物理学中常称向量为矢量,数量为标量,你还能举出物理学中的一些向量和数量吗?6.1.2向量的几何表示由于数量可以用实数表示,而实数与数轴上的点一一对应,所以数量可用数轴上的点表示,而且不同的点表示不同的数量.那么,该如何表示向量呢?我们仍以位移为例,小船以A为起点,B为终点,我们可以用连接A,B两点的线段长度代表小船行进的距离,并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是,这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移.受此启发,我们可以用带箭头的线段来表示向量,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向.通常,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B

5、为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段(directedlinesegment)(图6.1-3).通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面.点B为终点的有向线段记作AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.图6.1-3有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.向量可以用有向线段AB来表示,我们把这个向量记作向量AB.有向线段的长度|AB|表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段表示向量,使向量有了直观形象.向量AB的大小称为向量AB的

6、长度(或称模),记作|AB|.长度为0的向量叫做零向量(zerovector),记做0.(1)印刷用黑体a,书写用a.长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量(unitvector).向量也可以用字母a,b,c,表示.例1在图6.1-4中,分别用向量表示A地至B,C两地的位移,并根据图中的比例尺,求出A地至B,C两地的实际距离(精确到1km).解:AB表示A地至B地的位移，且|AB|_AC表示A地至C地的位移,且|AC|_图6.1-46.1.3相等向量与共线向量下面.我们通过向量之间的关系进一步认识向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向(parallelvectors).如图6.1-5,用有

7、向线段表示的向量a与b是两个平行向量.向量a与b平行,记作a/b.图6.1-5我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0/a.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equalvector).如图6.1-6,用有向线段表示的向量a与b相等,记作a=b.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关;同时,两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量,因为向量完全由它的模和方向确定.图6.1-6如图6.1-7,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA=a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行

8、向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线向量(collinearvectors).图6.1-7例2如图6.1-8,设O是正六边形ABCDEF的中心.(1)写出图中的共线向量;(2)分别写出图中与OA,OB,OC相等的向量.解：(1)OA,CB,DO,FE是共线向量;OB,DC,EO,AF是共线向量;OC,AB,ED,FO是共线向量.(2)OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO图6.1-8【练习】1.下列量中哪些是向量?悬挂物受到的拉力,压强,摩擦力,频率,加速度.2.画两条有向线段,分别表示一个坚直向下、大小为18N的力和一个水平向左、大小为28N的力.(用1

9、cm长表示10N)3.指出图中各向量的长度.(规定小方格的边长为0.5)4.将向量用具有同一起点O的有向线段表示.(1)当OM与ON是相等向量时,判断终点M与N的位置关系;(2)当OM与ON是平行向量,且|OM|=2|ON|=1时,求向量MN的长度,并判断MN的方向与ON的方向之间的关系.(第3题)习题6.1【复习巩固】1在如图所示的坐标纸(规定小方格的边长为1)中,用直尺和圆规画出下列向量:(1)|OA|=4,点A在点O正南方向;(2)|OB|=22,点B在点O北偏西45方向;(3)|OC|=2,点C在点O南偏西30方向.(第1题)(第2题)2.如图,点O是ABCD的对角线的交点,且OA=a

10、,OB=b,AB=c,分别写出ABCD和折线MPQRST中与a,b,c相等的向量.【复习巩固】3.判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“”,错误的打“”),并说明理由.(1)若a与b都是单位向量,则a=b.(2)方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量(3)直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.(4)若a与b是平行向量,则a=b.(5)若用有向线段表示的向量AM与AN不相等,则点M与N不重合.(6)海拔、温度、角度都不是向量.【复习巩固】4.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,M,N分别为边AB,CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中,相等

11、的向量共有多少对?(第4题)【阅读与思考】向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学,被称为矢量.很多物理量,如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量.向量的概念萌芽于二千多年前,大约在公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384一前322)就知道了力可以表示成向量.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿(IsaacNewton,1642-1727).向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出“箭头表示方向,线段长表示大小”的有向线段来表示它.1806年,瑞士人阿尔冈(J.R.Argand,1768-18

12、22)以AB表示有向线段或向量.1827年,默比乌斯(A.F.Mbius,1790-1868)以AB表示起点为A,终点为B的向量,这种用法被数学家广泛接受.另外,哈密顿(W.R.Hamilton,1805-1865)、吉布斯(J.W.Gibbs,1839-1903)等人则以小写希腊字母表示向量.后来,字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行,尤其用在手写稿中;为了方便印刷,人们又用粗黑体小写字母a,b等表示向量.这两种符号一直沿用至今.莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)曾经从位置几何学研究的视角进行过预想:“我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素,即使在没有任何图形的情况下,它

13、也能有利于表达思想、表达事物的本质.我的这个新系统能紧跟可见的图形,以一种自然的、分析的方式,通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明.莱布尼茨所说的“有新特点的元素和“新系统”就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论.向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦测量学家韦塞尔(CasparWessel,1745-1818)把复数表示为向量,并利用向量定义复数运算.他把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数表示、研究平面中的向量.发展到现在,向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科,以及社会生产、生活

14、、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用,成为解决这些领域中各种问题的有力工具.你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗?6.2平面向量的运算我们知道,数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷.那么,向量是否也能像数一样进行运算呢?人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发,引进了向量的运算.本节我们就来研究平面向量的运算,探索其运算性质,体会向量运算的作用.下面先学习向量的加法.6.2.1向量的加法运算我们知道,位移、力是向量,它们可以合成.能否从位移、力的合成中得到启发,引进向量的加法呢?【思考】如图6.2-1,某质点从点A经过点B到点C,这个质点的位移如何表示?图6.2-1物理知识告诉

15、我们,这个质点两次位移AB,BC的结果,与从点A直接到点C的位移AC结果相同.因此,位移AC可以看成是位移AB与BC合成的.数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可以看作是AB与BC的和,即位移的合成可以看作向量的加法.如图6.2-2,已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.图6.2-2求两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.我们再来看力的合成问题.【思考】如图6.2-3,在光滑的平面上,一个物体同时受到两个外力F1

16、与F2的作用,你能作出这个物体所受的合力F吗?图6.2-3我们知道,合力F在以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看,F可以看作是F1与F2的和,即力的合成可以看作向量的加法.如图6.2-4,以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作OACB,则以O为起点的向量OC(OC是OACB的对角线)就是向量a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.图6.2-4【思考】向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗?为什么?对于零向量与任意向量a,我们规定a+0=0+a=

17、a.例1如图6.2-5,已知向量a,b,求作向量a+b.作法1：在平面内任取一点O(图6.2-6(1),作OA=a,AB=b.则OB=a+b.作法2:在平面内任取一点O(图6.2-6(2),作OA=a,OB=b.以OA,OB为邻边作OACB,连接OC,则OC=OA+OB=a+b.图6.2-5(1)(2)图6.2-6【探究】(1)如果向量a,b共线,它们的加法与数的加法有什么关系?你能作出向量a+b吗?(2)结合例1,探索|a+b|,|a|,|b|之间的关系.一般地,我们有|a+b|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立.根据数的运算的学习经验,定义了一种运算,就要研究相应的运算律,运算

18、律可以有效地简化运算.【探究】数的加法满足交换律、结合律,向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?如图6.2-7(1),作AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作ABCD,容易发现BC=b,DC=a,故AC=AB+BC=a+b.又AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a.(1)(2)图6.2-7由图6.2-7(2),你能否验证a+(b+c)=(a+b)+c?综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.例2长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15km/h,同时江水的速度为向东6km/h.(1)用向量表示江水速度

19、、船速以及船实际图6.2-8航行的速度;(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1).解：(1)如图6.2-9.AD表示船速,AB表示江水速度,以AD,AB为邻边作ABCD,则AC表示船实际航行的速度.(2)在RtABC中,|AB|=6,|BC|=15,于是|AC|=|AB|2+|BC|2=62+152=26116.2.因为tanCAB=|BC|AB|=52,所以利用计算工具可得CAB68.图6.2-9因此,船实际航行速度的大小约为16.2km/h,方向与江水速度间的夹角约为68.【练习】1.如图,在下列各小题中,已知向量a,b,分别用两种

20、方法求作向量a+b.(1)(2)(3)(4)(第1题)2.当向量a,b满足什么条件时,|a+b|=|a|b|(或|b|a|)?3.根据图示填空:(1)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_4.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P在CD上,判断下列各式是否正确(正确的在括号内打“,错误的打“).(1)DA+DP=PA.(2)DA+AB+BP=DP.(3)AB+BC+CP=PA.5.有一条东西向的小河,一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行(第3题)(第4题)速度的大小为15km/h,方向为北偏西30,河水的速度为向东7.5km/h,求小船实际航行速度的大小与方向.

21、6.2.2向量的减法运算【思考】在数的运算中,减法是加法的逆运算,其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数.类比数的减法,向量的减法与加法有什么关系?如何定义向量的减法法则?与数x的相反数是x类似,我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作a.由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和a互为相反向量,于是(a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.由两个向量和的定义易知a+(a)=(a)+a=0,即任意向量与其相反向量的和是零向量.这样,如果a,b互为相反向量,那么a=b,b=a,a+b=0.向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即ab=a+(b).求两个

22、向量差的运算叫做向量的减法.我们看到,向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.【探究】向量减法的几何意义是什么?如图6.2-10,设OA=a,OB=b,OD=b,连接AB,由向量减法的定义知ab=a+(b)=OA+OD=OC.在四边形OCAB中,OBCA,所以OCAB是平行四边形.所以BA=OC=ab.由此,我们得到ab的作图方法.图6.2-10如图6.2-11,已知向量a,b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=ab.即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.图6.2-11【思考】(1)在图6.2-11

23、中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?(2)如果改变图6.2-11中向量a的方向,使a/b,怎样作出ab呢?例3如图6.2-12(1),已知向量a,b,c,d,求作向量ab,cd.(1)(2)图6.2-12作法:如图6.2-12(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=ab,DC=cd.例4如图6.2-13,在ABCD中,AB=a,AD=b,你能用a,b表示向量AC,DB吗?解：由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b.同样,由向量的减法,知DB=ABAD=ab.图6.2-13【练习】1.如下页图,在各小题中,已知a,b,分别求作a

24、b.(1)(2)(3)b(4)(第1题)2.填空:;BABC=_;BCBA=_ABAD=_;OAOB=_ODOA=_3.作图验证:(a+b)=ab.6.2.3向量的数乘运算【探究】已知非零向量a,作出a+a+a和(a)+(a)+(a).它们的长度和方向分别是怎样的?如图6.2-14,OC=OA+AB+BC=a+a+a.类比数的乘法,我们把a+a+a记作3a,即OC=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.类似地,由图6.2-14可知,PN=PQ+QM+MN=(a)+(a)+(a),我们把(a)+(a)+(a)记作3a,即PN=3a.显然3a的方向与

25、a的方向相反,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.一般地,我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘(multiplicationofvectorbyscalar),记作a,它的长度与方向规定如下:(1)|a|=|a|;(2)当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反.由(1)可知,当=0时,a=0.由(1)(2)可知,(-1)a=a.图6.2-14你对零向量、相反向量有什么新的认识?【思考】如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍,方向不变得到向量b,向量b该如何表示?向量a,b之间的关系怎样?根据实数与向量的积的定义,可以验证下面的运算律

26、是成立的.设,为实数，那么(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.特别地,我们有()a=(a)=(a),(ab)=ab.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数,1,2,恒有1a2b=1a2b.例5计算:(1)(3)4a;(2)3(a+b)2(ab)a;(3)(2a+3bc)(3a2b+c).解：(1)原式=(34)a=12a;(2)原式=3a+3b2a+2ba=5b;(3)原式=2a+3bc3a+2bc=a+5b2c.例6如图6.2-15,ABCD的两条对角线相交于点M,且AB=a,AD=b,用a

27、,b表示MA,MB,MC和MD.解:在ABCD中,AC=AB+AD=a+b,DB=ABAD=ab由平行四边形的两条对角线互相平分，得图6.2-15MA=12AC=12(a+b)=12a12b,MB=12DB=12(ab)=12a12b,MC=12AC=12a+12b,MD=12DB=12a+12b.【练习】1.任画一向量e,分别求作向量a=4e,b=4e.2.点C在线段AB上,且ACCB=52,则AC=AB,BC=AB3.把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积:(1)a=3e,b=6e;(2)a=8e,b=14e;(3)a=23e,b=13e(4)a=34e,b=23e.【探究】引入向量

28、数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗?可以发现,实数与向量的积与原向量共线.事实上,对于向量a(a0),b,如果有一个实数,使b=a,那么由向量数乘的定义可知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,且向量b的长度是向量a的长度的倍,即|b|=|a|,那么当a与b同方向时,有b=a；当a与b反方向时,有b=a.综上,我们有如下定理:向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数,使b=a.根据这一定理,设非零向量a位于直线l上,那么对于直线l上的任意一个向量b,都存在唯一的一个实数,使b=a.也就是说,位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.例7如

29、图6.2-16,已知任意两个非零向量a,b,试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.猜想A,B,C三点之间的位置关系,并证明你的猜想.分析:判断三点之间的位置关系,主要是看这三点是否共线,图6.2-16为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上.在本题中,应用向量知识判断A,B,C三点是否共线,可以通过判断向量AC,AB是否共线,即是否存在,使AC=AB成立.解:分别作向量OA,OB,OC,过点A,C作直线AC(图6.2-17).观察发现,不论向量a,b怎样变化,点B始终在直线AC上,猜想A,B,C三点共线.事实上,因为AB=OBOA=a+2b(a+b)=b,AC=OCOA=a+3

30、b(a+b)=2b,所以AC=2AB.因此,A,B,C三点共线.图6.2-17例8已知a,b是两个不共线的向量,向量bta,12a32b共线,求实数t的值.解:由a,b不共线,易知向量12a32b为非零向量.由向量bta,12a32b共线,可知存在实数,使得bta=12a32b,即t+12a=32+1b.由a,b不共线,必有t+12=32+1=0.否则,不妨设t+120,则a=32+1t+12b.由两个向量共线的充要条件知,a,b共线,与已知矛盾.由t+12=0,32+1=0,解得t=13.因此,当向量bta,12a32b共线时,t=13.【练习】1.判断下列各小题中的向量a与b是否共线:(1

31、)a=2e,b=2e;(2)a=e1e2,b=2e1+2e2.2.化简:(1)5(3a2b)+4(2b3a);(2)13(a2b)14(3a2b)12(ab);(3)(x+y)a(xy)a.3.已知e1,e2是两个不共线的向量,a=e12e2,b=2e1+ke2.若a与b是共线向量,求实数k的值.6.2.4向量的数量积前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算,出现了一个自然的问题:向量能否相乘?如果能,那么向量的乘法该怎样定义?在物理课中我们学过功的概念:如果一个物体在力F的作用下产生位移s(图6.2-18),那么力F所做的功W=|F|s|cos,图6.2-18其中是F与s的夹角.功是一个

32、标量,它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示,能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢?受此启发,我们引人向量“数量积”的概念.因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角,所以我们先要定义向量的夹角概念.已知两个非零向量a,b(图6.2-19),O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则AOB=(0)叫做向量a与b的夹角.显然,当=0时,a与b同向;当=时,a与b反向.图6.2-19如果a与b的夹角是2,我们说a与b垂直,记作ab.已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积(innerproduct),记作ab,即ab=|a|b|c

33、os.规定:零向量与任一向量的数量积为0.对比向量的线性运算,我们发现,向量线性运算的结果是一个向量,而两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.例9已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角=23,求ab.解:ab=|a|b|cos=54cos23=5412=10.例10设a|=12,|b=9,ab=542,求a与b的夹角.解：由ab=|a|b|cos,得cos=ab|a|b|=542129=22.因为0,所以=34.如图6.2-20(1，设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A

34、1,B1,得到A1B1,我们称上述变换为向量a向向量b投影(project),A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.(1)(2)图6.2-20如图6.2-20(2),我们可以在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.【探究】如图6.2-20(2),设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为,那么OM1与e,a,之间有怎样的关系?显然,OM1与e共线,于是OM1=e.下面我们探究与a,的关系,进而给出OM1的明确表达式.我们分为锐角、直角、钝角以及=0,=等情况进行讨论.当为锐角(图6.2-21(1)时,OM1与e方

35、向相同,=OM1=|a|cos,所以OM1=OM1e=|a|cose;当为直角(图6.2-21(2)时,=0,所以OM1=0=|a|cos2e;当为针角(图6.2-21(3)时,OM1与e方向相反,所以=OM1=|a|cosMOM1=|a|cos()=|a|cos,即(1)OM1=|a|cose.(2)(3)图6.2-21当=0时,=|a|,所以OM1=|a|e=|a|cos0e;当=时,=|a|,所以OM1=|a|e=|a|cose.从上面的讨论可知,对于任意的0,都有OM1=|a|cose.【探究】从上面的探究我们看到,两个非零向量a与b相互平行或垂直时,向量a在向量b上的投影向量具有特殊

36、性.这时,它们的数量积又有怎样的特殊性?由向量数量积的定义,可以得到向量数量积的如下重要性质.设a,b是非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量,则如果ab=0,是否有a=0,或b=0?(1)ae=ea=|a|cos.(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|；当a与b反向时,ab=|a|b|.特别地,aa=|a|2或|a|=aa.此外,由|cos|1还可以得到(4)|ab|a|b|.1.已知|p|=8,|q|=6,p和q的夹角是60,求pq.2.已知ABC中,AB=a,AC=b,当ab0或ab=0时,试判断ABC的形状.3.已知|a|=6,e为单位向量,当向量a,e

37、的夹角分别等于45,90,135时,求向量a在向量e上的投影向量.与向量的线性运算一样,定义了向量的数量积后,就要研究数量积运算是否满足一些运算律.【探究】类比数的乘法运算律,结合向量的线性运算的运算律,你能得到数量积运算的哪些运算律?你能证明吗?由向量数量积的定义,可以发现下列运算律成立:对于向量a,b,c和实数,有(1)ab=ba;(2)(a)b=(ab)=a(b);(3)(a+b)c=ac+bc.下面我们利用向量投影证明分配律(3).证明:如图6.2-22,任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=a+b.设向量a,b,a+b与c的大角分别为1,2,它们在向量c上的投影向量分别为

38、OA1,OB1,OD1,与c方向相同的单位向量为e,则OA1=|a|cos1e,OB1=|b|cos2e,OD1=|a+b|cose.因为a=BD,所以OA1=B1D1.于是OD1=OB1+B1D1=OB1+OA1,即|a+b|cose=|a|cos1e+|b|cos2e.整理,得|a+b|cos|a|cos1|b|cos2e=0,所以|a+b|cos|a|cos1|b|cos2=0,即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2.所以|a+b|c|cos=|a|c|cos1+|b|c|cos2.因此(a+b)c=ac+bc.思考设a,b,c是向量,(ab)c=a(bc)一定成立吗?为什么

39、?例11我们知道,对任意a,bR,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(ab)=a2b2.对任意向量a,b,是否也有下面类似的结论?(1)(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)(a+b)(ab)=a2b2.解：(1)(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2;(2)(a+b)(ab)=aaab+babb=a2b2.因此,上述结论是成立的.例12已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60,求(a+2b)(a3b).解：(a+2b)(a3b)=aa3ab+2ba6bb=|a|2ab6|b|2=|a|2|a|b|cos6|b|2=6264cos6

40、0642=72.例13已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,向量a+kb与akb互相垂直?解:a+kb与akb互相垂直的充要条件是(a+kb)(akb)=0,即a2k2b2=0.因为a2=32=9,b2=42=16,所以916k2=0.解得k=34.也就是说,当k=34时,a+kb与akb互相垂直.【练习】1.已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,向量a与b的夹角为6,向量b与c的夹角为4,计算:(1)(ab)c;(2)a(bc).2.已知|a|=2,|b|=1,且ab与a+2b互相垂直,求证ab.3.求证:(a+b)2(ab)2=4ab.习题6.2【复习巩固】1.如果a

41、表示“向东走10km,b表示“向西走5km”,c表示“向北走10km,d表示“向南走5km,那么下列向量具有什么意义?(1)a+a;(2)a+b;(3)a+c;(4)b+d;(5)b+c+b;(6)d+a+d.2.一架飞机向北飞行300km,然后改变方向向西飞行400km,求飞机飞行的路程及两次位移的合成.3.一艘船垂直于对岸航行,航行速度的大小为16km/h,同时河水流速的大小为4km/h.求船实际航行的速度的大小与方向(精确到1.4.化简:(1)AB+BC+CA(3)OA+OC+BO+CO;(2)(AB+MB)+BO+OM;(5)OAOD+AD;(4)ABAC+BDCD;(7)NQ+QP+

42、MNMP.(6)ABADDC;5.作图验证:(1)12(a+b)+12(ab)=a;(2)12(a+b)12(ab)=b.6.(1)已知向量a,b,求作向量c,使a+b+c=0.(2)(1)中表示a,b,c的有向线段能构成三角形吗?7.已知a,b为两个非零向量,(1)求作向量a+b,ab;(2)当向量a,b成什么位置关系时,满足|a+b|=|ab|?(不要求证明)8.化简:(1)5(2a2b)+4(2b3a);(2)6(a3b+c)4(a+bc);(3)12(3a2b)+5a13(6a9b);(4)(xy)(a+b)(xy)(ab).9.如图,AM=13AB,AN=13AC.求证MN=13BC

43、.10.填空:(第9题)(1)若a,b满足|a|=2,|b|=3,则|a+b|的最大值为,最小值为(2)当非零向量a,b满足时,a+b平分a与b的夹角.11.(1)已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角=150,求ab,(a+b)2,|a+b|;(2)已知|a|=2,|b|=5,且ab=3,求|a+b|,|ab|.12.求证:(a)b=(ab)=a(b).【复习巩固】13.根据下列各小题中的条件,分别判断四边形ABCD的形状,并给出证明:(1)AD=BC;(2)AD=13BC;(3)AB=DC,且|AB|=|AD|.14.在ABC中,AD=14AB,DE/BC,且与边AC相交于点E,ABC

44、的中线AM与DE相交于点N.设AB=a,AC=b,用a,b分别表示向量AE,BC,DE,DB,EC,DN,AN.15.如图,在任意四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,求证:AB+DC=2EF.16.飞机从甲地沿北偏西15的方向飞行1400km到达乙地,再从乙地沿南偏东75的方向飞行1400km到达丙地.画出飞机飞行的位移示意(第15题)图,并说明丙地在甲地的什么方向?丙地距甲地多远?17.(1)如下页图(1),在ABC中,计算AB+BC+CA;(2)如下页图(2),在四边形ABCD中,计算AB+BC+CD+DA;(3)如下页图(3),在n边形A1A2A3An中,A1A2+A2A3+A3A4+An1An+AnA1=?证明你的结论.(1)(2)(3)(第17题)18.已知|a|=4,|b|=3,且(2a3b)(2a+b)=61,求a与b的夹角.19.已知|a|=8,|b|=10,且|a+b|=16,求a与b的夹角(精确到1).(可用计算工具)20.已