2.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 -(选择性必修第一册) (教师版).docx

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1、 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 知识点1 直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1) 定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定=0.(2) 范围 0 , 180). l与x轴垂直时， =90.2 直线的斜率(1) 定义直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tan ( 90) .当直线l与x轴平行或重合时，=0 ， k=tan 0=0;当直线l与x轴垂直时， =90 , k不存在.(2) 倾斜角与斜率k之间的关系k=tan ，0 , 180)，如左图，当0 , 90)时，k()是递增的；右图中斜率

2、为k1 , k2的直线对应的倾斜角为1 , 2，其中021k20；如左图，当(90 , 180)时，k()也是递增的；右图中斜率为k3 , k4的直线对应的倾斜角为3 , 4，其中234，而k3k40.(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值|k|越大) (3) 斜率公式经过两点P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2)(x1 x2)的直线的斜率公式是 k=y2y1x2x1.使用斜率公式的时候要注意x1 x2的前提条件.(4)求斜率的方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k=y2y1x2x1(x1 x2)求斜率；(2)已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据k=tan ( 90)来

3、求斜率.(5) 利用斜率证明三点共线的方法已知A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3 , y3) ，若x1=x2=x3 或kAB=kBC，则有A、B、C三点共线.知识点2 直线的方程1 直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式yy1=k(xx1)(x1 , y1)为直线上一定点k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式y=kx+bk为斜率b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式yy1y2y1=xx1x2x1经过两点(x1 , y1) , (x2 , y2)且(x1x2 , y1y2)不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式xa+yb=1a是直线在x轴上的非零截距

4、b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或原点的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B20)A , B , C为系数无限制，可表示任何位置的直线2 易错点(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系【典题1】已知直线过A(3,m+1),B(4,2m+1)两点且倾斜角为56，则m的值为 . 【解析】因直线AB的倾斜角为56，则其斜率k=tan56=33，又由A(3,m+1)，B(4,2m+1)，则AB的斜

5、率k=(2m+1)(m+1)43=m，则有m=33【点拨】求斜率有两种方法: k=tan 与斜率公式k=y2y1x2x1.【典题2】直线x+ycos5=0的倾斜角的取值范围是 .【解析】 (直线一般式ax+by+c=0(b0)化为斜截式可知斜率k=ab，注意斜率是否存在)若cos=0，则直线方程为x=5，即倾斜角=2；若cos0，则直线方程为y=1cosx+5cos，即tan=1cos，cos1 , 00 , 1， 1cos1或1cos1，即tan1或tan1，解得4 , 2)(2 , 34，(结合y=tan图象可求)综上可得4 , 34.【典题3】设点A(2 , 3)，B(3 , 2)，直线

6、l过点P(1 , 1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为 .【解析】如图所示，设直线l与线段AB交于点C，当PCx轴时直线l与线段AB交于点D，当点C在BD上运动时，斜率k满足 kkPB，当点C在DA上运动时，kkPA，即 k1+21+3=34 或 k1+312=4，k34或k4，即直线的斜率的取值范围是34,+)(,4【点拨】 注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法，结合图象思考； 注意到直线l与x轴垂直的临界处.巩固练习1() 下列叙述正确的是()A平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B直线倾斜角的取值范围是0180C若一条直线的倾斜角为(90)，则此直

7、线的斜率为tanD与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0或90【答案】 BCD 【解析】平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故A错误由于直线倾斜角的取值范围是0180，故B正确若一条直线的倾斜角为(90)，则此直线的斜率为tan，故C正确与x轴垂直的直线的倾斜角是90，与y轴垂直的直线的倾斜角是0，故D正确，故选：BCD2 () 若直线经过两点A(m , 2)，B(m , 2m1)且倾斜角为45，则m的值为 .【答案】 34 【解析】经过两点A(m,2)，B(m,2m1)的直线的斜率为k=2m12mm又直线的倾斜角为45，2m12mm=tan45=1，即m=34故选：A3 ()

8、 已知在直角坐标系中，等边ABC中A与原点重合，若AB的斜率为32，则BC的斜率可能为 .【答案】 35 【解析】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，则=+3或=23+，tan=32，当=+3时，tan=tan(+3)=32+31323=33，当=23+时，tan=tan(+23)=3231+323=35 4() 已知R，则直线xsin3y+1=0的倾斜角的取值范围是 .【答案】0,656,) 【解析】如图所示，由A(3,2)，B(4,3),P(0,1)，可得斜率kPA=1203=33，kPB=1(3)04=1，因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角的取值范围是0,634,) 5() 直线l经

9、过点A(2,1),B(3,t2)，(2t2)，则直线l倾斜角的取值范围是 .【答案】 0,434,) 【解析】直线l经过点A(2，1)，B(3，t2)，kl=t2132=t21，2t2，0t22，则t211，1，设直线l的倾斜角为(00 , b0) ，方法1 则直线l的方程可设为xa+yb=1，又直线l过点M(1 , 4) , 则1a+4b=1，MAMB=AMMB (利用数量积AMMB=MAMBcos0=MAMB把“两线段乘积“变成”向量坐标“处理简单多了)=1a , 41 , b4=a+4b17 =a+4b1a+4b17 (基本不等式巧1法)=4ba+4ab24ba4ab=8，当且仅当4ba

10、=4ab且1a+4b=1，即a=b=5时等号成立，此时直线方程为x+y5=0方法2 设直线l的倾斜角为，由已知可知(2,)，如图，MB=4sin()=4sin，MA=1cos()=1cos，(通过图象观察引入变量表示MAMB)则MAMB=4sincos=8sin2，(2,) 1sin2SGPH，即当直线CD越靠近PB，SAMN越大；故k=12时 Smax=13；k=12时 Smin=14. 处理最值问题常见的是几何法(通过观察图象利用几何特点与性质求解)、代数法(引入变量，把所求量的最值问题转化为函数的最值问题).巩固练习1() 已知直线l的方程为：(2+m)x+(12m)y+(43m)=0(

11、1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程【答案】 (1) M(1,2) (2) 2x+y+4=0 【解析】(1)证明：原方程整理得：(x2y3)m+2x+y+4=0由x2y3=02x+y+4=0，可得x=1y=2，不论m为何值，直线必过定点M(1，2)(2)解：设直线l1的方程为y=k(x+1)2(k0，在kxy+1+2k=0中，取y=0，得x=1+2kk，取x=0，得y=1+2k，SAOB=12|OA|OB|=121+2kk(1+2k),=4k2+4k+12k=2k+12k+222k12k+2=4当且仅当2k=

12、12k，即k=12时上式“=”成立S的最小值为4，此时的直线方程为12xy+2=0，即x2y+4=05 () 在直角坐标系中，已知射线OA：xy=0(x0)，过点P(3 , 1)作直线分别交射线OA，x轴正半轴于点A、B(1)当AB的中点为P时，求直线AB的方程；(2)求PAPB的最小值【答案】 (1) x+y4=0 (2) 4(21)【解析】(1)由题意，设A(x1,x1),B(x2,0)，且x1、x20；当AB的中点为P时，有x1+x2=23x1+0=21，解得x1=2,x2=4，A(2,2),B(4,0)，直线AB的方程为x242=y202，化为一般式为x+y4=0；(2)当k不存在时，

13、易得PA=2,PB=1，则PAPB=2；当k存在时，设直线AB的方程为：y1=k(x3)(k1,k0)直线AB与xy=0(x0)相交：可得A(3k1k1，3k1k1)，直线AB与x轴正半轴相交于B，可得B(3k1k,0)那么：PAPB=(33k1k1)2+(3k1k11)2(33k1k)2+12(此处用数量积处理PAPB=PAPB简单些)=4+4k2(k1)21+k2k2=|2(1+k2)k(k1)|=|2k2kk2+1|=|21k+1k2+1|令k+1=m0，可得k+1k2+1=m(m1)2+1=1m+2m2，当m0时，由于m+2m22，PAPB的最小值为：|424223|=424322=4(1+2)；当且仅当m=2时取等号即k=21当m4(21)，2421,故PAPB的最小值为：4(21).