《解析几何》课程教案.docx

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1、解析几何课程教案设边区和切的中点为和儿且加=巴 求3最 CD.3.4.5.2.在板中，设痂=R,正=与 D、是边回的三等 分点，将矢量加，府分解为%, %的线性组合.用矢量法证明：三角形三中线共点.设G是板的重心，。是空间任意一点，试证OG= 3 OA OB+oc).设卯=，；(/=1, 2, 3, 4),试证凡 3 R, R 四 点共面的充要条件是存在不全为零的实数九(丁=1, 2, 3, 4)使421 +22 +23r)+2i=6,且乎1.5标架与坐标教学目的1、能利用矢量建立坐标系概念；2、理解点的坐标及矢量分量的表示方法;3、掌握矢量线性运算及线段定比分点的坐标表示方法。教学重点标架概

2、念及点和矢量的坐标表示方法 教学难点矢量的分量 参考文献解析几何(第三版)，吕林根 许子道 等编，高 等教育出版社，2001.06解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学 出版社，2000.08授课课时1一、空间坐标系1 .空间中的一个定点09连同三个不共面的有序矢量之可的全体，叫做空间中的一个标架，记做。;之得5.2 .对于标架。鸣，*E,如果可，不可间的相互关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做右旋标架 指、食指、中指相同，那么这个标架叫做左旋标架或称左 手标架.或称右手标架；如果司,%不间的相互关系和左手的拇3 .表达式尸=加+户+2可中的X, y, Z叫做矢量，关于标

3、架。；大，可的分量或称为坐标，记做Nx, % z或x, y, z.4 .对于取定了标架0鸣,吃5的空间中任意点P,矢 量方叫做点尸的径矢，径矢无关于标架0鸣,明药的分量 x, y, z叫做点尸关于标架0;可，。，5的坐标，记做尸（x,7, z）或（x, % z）.5 .当空间取定标架 0;小京，可之后，空间全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x, K z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间 矢量或点的一个坐标系.空间坐标系也常用。可，久相 来表示，此时点。叫做坐标原点，可，脸可都叫做坐标矢 量.6 .由右（左）旋标架决定的坐标系叫做右（左）旋坐标系或右（左）手坐标系；

4、仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所 确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角 坐标系.二、平面坐标系1 .约定用同表示直角坐标系，以后在讨论空间问 题时所采用的坐标系，一般都是空间右手直角坐标系.2 .过点0沿着三坐标矢量工，小可的方向引三轴Ox,Oy,物,可以用这三条具有公共点。的不共面的轴勿Oy, 物来表示空间坐标系，记做。一xyz,此时点0叫做空 间坐标系的原点，三条轴打 织火都叫做坐标轴，且 依次叫做x轴，y轴和z轴，每两条坐标 轴所决定的平面叫做坐标面，分别叫做也加平面，yOz平 面与X0Z平面.三坐标平面把空间划分为八个区域，每一个区域都叫做卦限.3 .平面上一个定点“连同

5、两个不共线的有序矢量W,得的全体，叫做平面上的一个标架，记做0菖居,如果小 亏都是单位矢量，那么0菖,可叫做笛卡尔标架；弓与器相 互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架，简称直角标 架；在一般情况下，0菖，句叫做仿射标架.4 .对于标架。菖/,将彳绕0旋转，使哥的方向以最近的路径旋转到与的方向相合时，如果旋转方向是逆时 针的，则这种标架叫做右旋标架或称右手标架；5 .表达式尸=的+”；中的x, y叫做矢量关于标架 0菖通的分量或称为坐标，记做Mx,另或% y.6 .对于取定了标架0鸣,码的平面上的任意点尸，矢量 历叫做点尸的径矢，径矢无关于标架0菖，4的分量& y 叫做点尸关于标架0；可，可的坐

6、标，记做尸（4力或（& y）.7 .当平面上取定标架0鸣，n之后，平面上全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序数对x, y的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做平面上矢量或点的一个坐标系.平面坐标系也常用。菖，4来表示,此时点。叫做坐标原点，可，号都叫做坐标矢量.8.由右（左）旋标架决定的坐标系叫做右（左）旋坐标系或右（左）手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所 确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角 坐标系.15.约定用0万一表示直角坐标系，在讨论平面问题时 所采用的坐标系，一般都是平面右手直角坐标系.9.过点。沿着坐标矢量、，的方向引二轴久 纵可 以用这二条具有

7、公共点。的不共线的轴翁，分来表示平 面坐标系，记做0-x y,此时点0叫做平面坐标系的原点，公叫做x轴，分叫做y轴.两坐标轴把平面分成四 个区域，每一个区域都叫做象限.三、直线坐标系L直线工一个定点0,连同直线上一个非零矢量J的全体，叫做直线上的一个标架，记做。促,如果3为单位矢 量，那么0； 3叫做笛卡尔标架，在一般情况下，0； 3 叫做仿射标架.2 .表达式夕=德中的x叫做矢量尸关于标架0译的分 量或称为坐标，记做尸处或x.3 .对于取定了标架。的直线上任意点尸，矢量无叫 做点尸的径矢，径矢无关于标架的分量x叫做点尸关于标 架0译的坐标，记做P(x)或(x).4 .当直线上取定标架0;a之

8、后，直线上全体矢量的集 合或全体点的集合与全体实数x的集合具有一一对应的 关系，这种一一对应的关系叫做直线上矢量或点的一个坐 标系.直线上的坐标系也常用0*来表示，此时点。叫 做坐标原点，叫做坐标矢量.5 .由仿射标架与笛卡尔标架所确定的坐标系分别叫做 仿射坐标系与笛卡尔坐标系.6 .取定标架0;什的直线，叫做坐标轴或简称为轴， 原点为0,坐标写成x的轴记做Ox.例1.在空间直角坐标系0;)眉下，求P(2, 3, -1), ME b, c)关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.例2.已知矢量6, 2的分量如下：(1) =0, -1, 2, 5=0, 2, -4,

9、c = l, 2,- 1);(2) =1, 2, 3, 5= 2, -1, 0, c=0, 5, 6). 试判别它们是否共面？能否将展表成K否的线性组合？若 能表示，写出表示式.作业题：1.指出坐标满足下列条件的点(4 K力在空间的位曾(2) yz0;xy1 1) x=y z0.2 .平行于z轴的矢量有什么特点？平行于x轴和y轴 的矢量又分别有什么特点？3 .已知线段疑被点。(2, 0, 2)和(5,2, 0)三等分, 试求这个线段两端点4与3的坐标.1.6矢量在轴上的射影教学目的1、 掌握射影与射影矢量的概念及矢量线性运算 的射影表示；2、理解矢量在轴上的的射影与坐标的关系。教学重点矢量在轴

10、上的射影与射影矢量的概念教学难点射影与射影矢量的关系参考文献(1)解析几何(第三版)，吕林根 许子道 等编，高 等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世 祥主编，兰州大学出版社，2000.08授课课时1一、概念1 .射影2.射影矢量 3.如果在轴上取与轴方向相同的单位矢量工，则有射影矢量14=而=h，其中x叫做矢量4在轴/上的射影，记 作：射影 lABj即射影1A0 = X.4 .可以把射影矢量也与射影射分别写成射影矢量；AB 与射影工加，且分别叫做矢量加在矢量工上的射影矢量与行 在工上的射影，两者之间的关系是射影矢量台抽=（射影03”.5 .设是两个非零矢量，自空间任

11、意点。作5 = 1,分 =?,把射线物和如构成的在0与这间的角，叫做矢量 =0；若工S反向，则/,）=（若五八,则0Z（j,0与信的夹角，记做NG, ）.按规定,若工，同向，则NG, b）7V.6 .在平面上，可以引进从矢量占到矢量;的有向角的概 念，并记作3（3 S），当占4时，以矢量J扫过矢量，之间 的夹角/（工助旋转到与矢量，同方向的位置时，如果旋转 方向是逆时针的，贝上G,b）=NG,b）；如果旋转方向是 顺时针的，贝必G, 5）=-/6,）.当/时，Z（3$）= N （工）.有向角的值，常可推广到W 或孙 这时我们认 为相差2整数倍的值代表同一角，对于有向角还有下面 的等式二、性质1

12、 .矢量他在轴/上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢 量的夹角的余弦：射影 iAB= | AB| COS ft 6=N（7, AB）.2 .相等矢量在同一轴上的射影相等.3 .对于任何矢量,/有射影1金+日）=射影成+射影击4 .对于任何矢量亍与任意实数丸有射影i（；U）=4射影员作业题：1 .两非零矢量的夹角在空间和平面上分别是怎样定义的？取值范围如何?2 .在射影，射影矢量”与射影及，射影矢量力中, 若存6, / = -3则它们相互间的关系如何？3 .射影相等的两个矢量是否必相等？射影为0的矢量,是否必为6?1.7两矢量的数性积教学目的1、 掌握矢量的数性积概念及几何意义；2、 理解矢量的模、

13、方向余弦和交角及数性积的坐标表 zK;3、 能证明有关的几何命题。教学重点两矢量的数性积概念及几何意义教学难点根据数性积理论证明有关的命题参考文献解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高 等教育出版社，2001.06解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学 出版社，2000.08授课课时1一、概念1 .数性积的例子.2 .两个矢量与否的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量 和上的数性积（也称数积，内积，点积），记做各或 即 a 5 = |5|5|cos （.）二、性质1 . a5=周射影力=同射影后.2 .当工为单位矢量时工=射影布.3 . 4 .两矢量i和石相互垂直的充要条件是 5 =

14、 05 .矢量的数性积满足下面的运算规律交换律b = b a.（2）关于数因子的结合律（5）b= (a 6)=（3）分配律G+B）工=三、坐标运算1.设 =%,，, i =则2.3.4.设=% K为，则| 5 | =便+/.占=晒+匕为+222.空间两点幺（豆,Xi, zj，巴（尼,72, Z2）间的距离是矢量与坐标轴（或坐标矢量）所成的角叫做矢量的方d=向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦.5 .非零矢量=% K才的方向余弦是 x xco s a =荷=炉,yycos/=而=FFZF,ZZcos/=而=必+八一.6 .设空间中两个非零矢量为 &K.zJ , 5= 再MzJ,那么 它们夹角的余

15、弦是ab硒+与+Z内COS/G,各）=丽=、用/+2；阅”*也7 .矢量g用陷4和口 号相互垂直的充要条件是郎+印2+华=0例1.在实数乘法中消去律成立，即ab=ac9则于0 或6=c.这对矢量的数性积并不成立，举反例如下:第一章矢量与坐标教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法 则及其运算性质；2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的

16、几何意义。参考文献解析几何(第三版)，吕林根 许子道 等编，高 等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主 编，兰州大学出版社，2000.08授课课时 81.1矢量的概念教学目的1、理解矢量的有关概念；2、掌握矢量间的关系。如图1-20,设有非零矢量方及与其共面的两 _ / 矢量b和使得其终点连线勿与以垂直且交 /于瓶贝!I= ab | COS/G, b = aOM,图 1-20a*c =, | a | | c | COSN ( OD OE OFy冰 BCyCD.丽、丽和网中，哪些矢量是相等的？2.如图1-3,设2比配瓦诩是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的

17、矢量和互为相反矢量的矢量:(1) aS cdCG；.EG ；不；(2) aS、ac、(4)而、(5)而、CH.教学重点二次曲线方程的化简和作图方法及二次曲线的分 类教学难点移轴变换和转轴变换在化简二次曲线方程中所起 的作用参考文献解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高 等教育出版社，2001.06解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学 出版社，2000.08授课课时2 5.7 应用不变量化简二次曲线的方程教学目的1、理解二次曲线的不变量和半不变量；2、掌握三 类二次曲线简化方程的形式；3、了解用不变量和半不变量判断二次曲线类型的方法。教学重点三类二次曲线简化方程的形式教学难点不变

18、量和半不变量的证明参考文献（1）解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高 等教育出版社，2001.06解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学 出版社，2000.08授课课时2矢量的线性运算(1.2矢量的加法、1.3矢量的数乘)教学目的1、 掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘 法概念及运算律;2、能用矢量法证明有关几何命题o教学重点矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概教学难点运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系参考文献解析几何(第三版)，吕林根 许子道 等编，高 等教育出版社，2001.06 解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学 出版社，2000.08授课课

19、时1一、概念1 .两个例子2 .矢量的加法法则(1)三角形法则 (2)平行四边形法则二、性质1.运算规律(1)交换律结合律(+D+ = +G+2);（4） +（ a） =6.2 .矢量加法的多边形法则3 .矢量减法4 .三角不等式(1) |i+b |s| + |b I, i-ba-b ；(2) 苗+禹+瓦|小 吊| + |句|+瓦.f 3 反4 0 q例1.从矢量方程组”八3处各中解出矢量元工例2.用矢量法证明平行四边形对角线互相平分.作业题:1.+a.2.设两矢量i与b共线，试证3+B证明：四边形为平行;（S i-e 卅b边形的充要条件是对任一点。有3+历=无+比. 1. 3数量乘矢量一、概

20、念1 .数乘的例子2 .数乘的定义二、性质1.运算规律 （4）=结合律2第一分配律第二分配律（而）=（九）弓.（X+） = 2a + .2G+D =力+方.例L如图1-7, 任意一点，证明设是平行四边形地切的中心，。是例2.设点。是平面上正多边形4的中心，证明：作业题：BC、 .1.3B1-0 BM , CN。是任意一点,1 .设/、以及分别是A板的三边 CA.四的中点，证明：三中线矢量也 可以构成一个三角形.2 .设L、M、是放的三边的中点, 证明及无丽+丽.3 .用矢量法证明，四面体对棱中点的连线相交于一点且互相平分.1.4矢量的线性关系与矢量的分解教学目的1、理解矢量在直线和平面及空间的

21、分解定理；2、 掌握矢量间的线性相关性及判断方法。教学重点矢量的三个分解定理及线性相关的判断。教学难点分解定理的证明参考文献解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高 等教育出版社，2001.06解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学 出版社，2000.08授课课时一、矢量的分解1 .线性运算2 .线性组合3 .矢量在直线上的分解：定理1如果矢量办6,那么矢量与矢量3共线的充要 条件是，可以用矢量G线性表示，或者说，是3的线性组合, 即，=京，且系数X被，唯一确定.G称为用线性组合来 表示共线矢量的基底.4 .矢量在平面上的分解：定理2 如果矢量石 ,不共线，那么矢量,与3%共面的

22、充要条件是，可以用矢量%，线性表示，或者说矢量，可以 分解成矢量3%的线性组合，即，=后+产；，且系数x, y被唯一确定.气，称为平面上矢量的基底.5 .矢量在空间的分解：定理3 如果矢量;不共面，那么空间任意矢量, 可以由矢量y 4/线性表示，或者说矢量，可以分解成矢 量名的线性组合，即，=*1+乃+2%且系数X,K Z被4,4,唯一确定.。1,%,马称为空间矢量的基底.二、矢量的线性关系1.定义，却如果存在不全为零使得对于（21）个矢量Z,才 的个数幻，必，沏，mW +志彳+ +沏凡=6, 那么n个矢量不，可，名叫做线性相关.矢量不， 用，氏线性无关是指，只有当M = M=沏=0时，上 式才成立.2.判断方法推论1 一个矢量占线性相关的充要条件是产6.定理4 矢量，名(m2)线性相关的充要条件 是其中有一个