线性系统特征根与零输入响应分析高等教育微积分_高等教育-大学课件.pdf

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1、D(S)妆 血+N(S)(S-a)(S-a(S-a)AM(S-a-1)(S-a)1-7 证明：1）若 A 矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在 t 时趋近于零，给出例子；2）若 A 矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，给出 正反两个例子；3）若 A 矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯 虚根的重数大于 1 时，系统的零输入响应可能会趋近于零，给出正反两 个例子；（C 工 0）4）讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的关系，针对所举的 例子作说明。系统的状态空间描述为:X=AX+BU y=CX+DU 当系统的的输入为零时，则状态空间描述可写

2、为:X=AX y=CX 那么该系统的输出为(t0):y=CeAtX(0)而 eAt=L-1(SI-A)-1 将式 1-4代入 1-3中有：y=CU1(SI-A)-1 X(0)设其拉氏变换为：D(S)=_ D(S)N(s)(S-a)(S-a2)(S-a)?(S-a-1)(S-a)其中 N(s)的阶次大于 D(s)的阶次。那么式 1-6可化为：1）由于 A 矩阵的特征根均有负实部，即 a、a、03?an-1、an均在复平面的左边，那么 对上式进行拉式反变换有：L-1（黑）=31 eat+伍ea2t+Aea3t+?+抽 ean-1 t+眈加 N（S/a,、a、3?a-1、an均在复平面的左边 t.当

3、 t fx时，eat f 0,则有当 t fx时，y?o 例 1:设有一状态空间模型为：-14-7.875-5.625 1 X=;8 0 0 X+0U 0 2 0 0 y=:0 0.625 0.625 X 1 取初始状态为 X（0）=1,其零输入响应如图表 1 所示：-3 X=4 0 2）若 A 矩阵有正实部特征根时，由式 1-7，我们可以取a有正实部（a为a、a、3?an-i、a中的某一个数），那么的拉式反变换为 ekt。S-a k a有正实部 e“kt在 t 时发散。即该系统的零输入响应在非零 状态下且 t T s时趋近于s 若式 1-6可化为 D(S)=_ D(S)(S-a)_ N(S)

4、(S-ai)(S-a2)?(S-a)?(S-an-1)(S-a)则：D(S)_ _ N(s)(S-a)(S-a2)?(S-a-i)(S-a)可以看到极点a与零点a抵消了，由式 2-1与式 1-6类似 当t TS,依然有 y?0。例 2：设有一状态空间模型为：2.5 3 0.5 0 0X+0 U 2 0 0 y=0 0.5 0.25X 1 取初始状态为 X（0）=1,其零输入响应如图表 2 所示:的零输入响应可能趋近于零给出正反两个例子若矩阵有实部为零的特征根而其他特征根的实部均为负则当纯虚根的重数大于时系统的零输入响应可能会趋近于零给出正反两个例子工讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的

5、出为而将式代入中有设其拉氏变换为妆血其中的阶次大于的阶次那么式可化为由于矩阵的特征根均有负实部即对上式进行拉式反变换有黑伍抽眈加均在复平面的左边均在复平面的左边那么当时则有当时例设有一状态空间模型为取初反变换为有正实部在时发散即该系统的零输入响应在非零状态下且时趋近于若式可化为则可以看到极点与零点抵消了由式与式类似当依然有例设有一状态空间模型为取初始状态为其零输入响应如图表所示图表可以看到在时有其零输-3 X=4 0 y=0 可以看到在 t f a时有，其零输入响应趋近于a。例 3:设有一状态空间模型为：2.5 3 1 0 0 X+0 U 2 0 0 0.25-0.375 X 1 取初始状态为

6、 X(0)=1,其零输入响应如图表 3 所示:1 图表3 可以看到在 t fa时有，其零输入响应趋近于 0。例 2，例 3 系统的特征根相同，但是他们 同状态下的响应却不同，前者在 t fa时其零输入响应趋近于a,而后者在 t fa时其零输 入响应趋近于 0。图表2 的零输入响应可能趋近于零给出正反两个例子若矩阵有实部为零的特征根而其他特征根的实部均为负则当纯虚根的重数大于时系统的零输入响应可能会趋近于零给出正反两个例子工讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的出为而将式代入中有设其拉氏变换为妆血其中的阶次大于的阶次那么式可化为由于矩阵的特征根均有负实部即对上式进行拉式反变换有黑伍抽眈加均

7、在复平面的左边均在复平面的左边那么当时则有当时例设有一状态空间模型为取初反变换为有正实部在时发散即该系统的零输入响应在非零状态下且时趋近于若式可化为则可以看到极点与零点抵消了由式与式类似当依然有例设有一状态空间模型为取初始状态为其零输入响应如图表所示图表可以看到在时有其零输由于例 3 系统的传递函数为 s-3(s+2)(s-3，显然 s-3项上下抵消，所以该系统等效的传 3k2S2 S+4 2=(at+b)sin wt(S2+a)2 递函数为 y=吋&，此时特征根3并不影响系统的输出。3）若 A 矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，且纯虚根的重 数大于 1。我们以纯虚根的重数等于

8、 2 为例，a为正实数，那么式 1-6可写 为：D(S)二 _ D(S)_ N(s)(S-a)(S-a)?(S1 2+a)2?(S-a-i)(S-a)我们抽出重根项：申旦+笄2+笄2+J4 2则，(S2+优 Q(S2+aQ(S2+优 Q(S2+a)L-i 3dS 一(S2+ak)2(S2+ak)2(S2+a)2 其中 a，b，3均为常数，a、3工 0。当 t fa时，at 宀，所以有 y 可能趋近于（在处 震荡）。而当式 3-1能化为：D(S)=_ DSCS2*a)2 _ N)=(S-a)(S-a)?(S2+a)2?(S-a-1)(S-a)可以看出重根项可以被消除，则式 3-3可写为：D(S)

9、_ D(S)N(s)(S-a)(S-a)?(S-a-1)(S-a)t X 由 1）可得：当 t X时，eat 0，则有当 t X时，y?0 例 4：设有一状态空间模型为:-5-2.5-1.25-0.875-0.625-0.75 0.25 4 0 0 0 0 0 0 X=0 4 0 0 0 0 X+0 U 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 y:_ 0 0 0 0 0.125 0.125X 取初始状态为 X（0）：1 _ 1-1,其零输入响应如图表 4 所示：1 1 的零输入响应可能趋近于零给出正反两个例子若矩阵有实部为零的特征根而其他特征根的实部

10、均为负则当纯虚根的重数大于时系统的零输入响应可能会趋近于零给出正反两个例子工讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的出为而将式代入中有设其拉氏变换为妆血其中的阶次大于的阶次那么式可化为由于矩阵的特征根均有负实部即对上式进行拉式反变换有黑伍抽眈加均在复平面的左边均在复平面的左边那么当时则有当时例设有一状态空间模型为取初反变换为有正实部在时发散即该系统的零输入响应在非零状态下且时趋近于若式可化为则可以看到极点与零点抵消了由式与式类似当依然有例设有一状态空间模型为取初始状态为其零输入响应如图表所示图表可以看到在时有其零输 图表4 可以看到在 t T 8时有，其零输入响应趋近于8(在 8处震荡)。

11、例 5:设有一状态空间模型为：-5-2.5-2.5-3.5-2.5-3 2 4 0 0 0 0 0 0 X=0 2 0 0 0 0 X+0 U 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 y=0.5 0.125 0.25 0.25 0.25 0.251X 图表5 可以看到在 t TH时有，其零输入响应趋近于 0。例 4，例 5 系统的特征根相同，但是他们 同状态下的响应却不同，前者在 t T s时其零输入响应趋近于 如，而后者在 t T s时其零输 入响应趋近于 0。（s+1）（s2+2）2 的零输入响应可能趋近于零给出正反两个例子若矩阵有实部为零的特征

12、根而其他特征根的实部均为负则当纯虚根的重数大于时系统的零输入响应可能会趋近于零给出正反两个例子工讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的出为而将式代入中有设其拉氏变换为妆血其中的阶次大于的阶次那么式可化为由于矩阵的特征根均有负实部即对上式进行拉式反变换有黑伍抽眈加均在复平面的左边均在复平面的左边那么当时则有当时例设有一状态空间模型为取初反变换为有正实部在时发散即该系统的零输入响应在非零状态下且时趋近于若式可化为则可以看到极点与零点抵消了由式与式类似当依然有例设有一状态空间模型为取初始状态为其零输入响应如图表所示图表可以看到在时有其零输由于例5系统的传递函数为 y=（s+；）（s2（+2）2

13、（S+3），显然 s-3项上下抵消，所以该系统等效的 传递函数为 y=需為，此时重虚根并不影响系统的输出。4）当A 矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在 t TS时趋近 于零，系统稳定；如例 1 所示。当A 矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，此时系统 部分状态不稳定。由于系统结构，可能存在系统的输出与这部分不稳定的状 态无关，即存在零极点对消的情况，把正实部特征根抵消了。那么系统输出 稳定。如例 2、例 3 所示.当A 矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根 的重数大于 1 时，系统的零输入响应可能会趋近于零。1.当它的重数为 1 时，其它

14、特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态临界稳定，系统 输出临界稳定。2.当存在零极点对消，把纯虚根抵消了，此时系统的输出与 该特征根无关，系统状态临界稳定，系统输出稳定。3.当它的重数为 2 时，其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态不稳定，输出也 不稳定。4.当存在零极点对消，把纯虚根抵消了 1 重，此时系统状态临界 稳定，系统输出临界稳定。5.当存在零极点对消，把纯虚根完全抵消了，此时系统的输出与该特征根无关，系统状态不稳定，但是系统输出稳定。如 例 4、例 5 所示.1 1 取初始状态为 X(0)=1,其零输入响应如图表 5 所示:1 1 1 的零输入响应可能趋近于零给出正反两个例子若矩阵有实部为零的特征根而其他特征根的实部均为负则当纯虚根的重数大于时系统的零输入响应可能会趋近于零给出正反两个例子工讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的出为而将式代入中有设其拉氏变换为妆血其中的阶次大于的阶次那么式可化为由于矩阵的特征根均有负实部即对上式进行拉式反变换有黑伍抽眈加均在复平面的左边均在复平面的左边那么当时则有当时例设有一状态空间模型为取初反变换为有正实部在时发散即该系统的零输入响应在非零状态下且时趋近于若式可化为则可以看到极点与零点抵消了由式与式类似当依然有例设有一状态空间模型为取初始状态为其零输入响应如图表所示图表可以看到在时有其零输