二项式定理中学_-.pdf

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1、 二项式知识回顾 1.二项式定理(a b)n Cn0an C1nan 1b1 L Cnk an kbk L Cnnbn,请同学完成下列二项展开式)式中令 x=1 则可以得到二项展开式的各项系数和 2.二项式系数的性质 n 当 n 是偶数时，中间一项 Cn2 取得最大值 n1 n是奇数时，中间两项 Cn2 和 Cn2 相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数 a0,a1,a2,a3,an 的性 质：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn a0+a1+a2+a3+an=f(1)a0-a1+a2-a3+(-1)an=f(-1)a0+a2+a4+a6=f(1)f(1)2 a1+a3+

2、a5+a7=f(1)f(1)2 二项式定理 1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 m n m Cn Cn 2)k 二项式系数 Cnk 增减性与最大值：当 k n 1时，二项式系数是递增的；当 2 n 1 时，二项式系数是递减的 2 以上展开式共 n+1 项，其中 Cnk 叫做二项式系数，Tk 1 k n k k Cnk an kbk 叫做二项展开式的(a b)n Cn0an Cn1an 1b1 L k k n k k(1)Cna b n n n k k n k k(1)Cnb，Tk 1(1)Cna b(1 x)n Cn0 Cn1x L Cnkxk Cnnxn(2x 1)n Cn

3、0(2x)n Cn1(2x)n1 Cnk(2x)n k Cnn 1(2x)n anx an 1xn 1 L n an k x kL a1x a0 式中分别令 x=1 和 x=-1，则可以得到 Cn0 C1n Cnn 2n，即二项式系数和等于 2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 L 2n 1.当 n1 经典例题 1、“(a b)n 展开式：1 例 1求(3 x 1)4的展开式；x 1 练习 1】求(3 x 1)4 的展开式 x 2.求展开式中的项 6 项为常数项 1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项例 2.已知在(

4、3 x 的展开式中，第 等于奇数项二项式系数和即式中令则可以得到二项展开式的各项系数和二项式系数的性质二项式系数增减性与最大值时二项式系数是递增的当当是偶数时中间一项取得最大值时二项式系数是递减的是奇数时中间两项和相等且同时取式的式中分别令和则可以得到即二项式系数和等于当经典例题展开式例求的展开式练习求的展开式求展开式中的项例已知在的展开式中第项为常数项求求含的项的系数求展开式中所有的有理项练习若展开式中前三项系数成等求展开项式系数和大求的展开式中二项式系数最大的项系数的绝对值最大的项练习已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是求展开式中含的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项

5、求两个二项式乘积的展开式指定幂.求：1)展开式中含 x 的一次幂的项；(2)展开式中所有 x 的有理项.3.二项展开式中的系数 例 3.已知(3 x x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x 1)n 的展开式的二项式系数和大 1 2n 992，求(2x)2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项 x 练习 3 已知(x 22)n(n N*)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是 10：x 1.3(1)求展开式中含 x2的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.练习 2】若(x 展开式中前三项系数成等等于奇数项二项式系数和即式中令则可以得到二项展开

6、式的各项系数和二项式系数的性质二项式系数增减性与最大值时二项式系数是递增的当当是偶数时中间一项取得最大值时二项式系数是递减的是奇数时中间两项和相等且同时取式的式中分别令和则可以得到即二项式系数和等于当经典例题展开式例求的展开式练习求的展开式求展开式中的项例已知在的展开式中第项为常数项求求含的项的系数求展开式中所有的有理项练习若展开式中前三项系数成等求展开项式系数和大求的展开式中二项式系数最大的项系数的绝对值最大的项练习已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是求展开式中含的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项求两个二项式乘积的展开式指定幂项；4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系

7、数 2 7 3 例 4（x2 1）（x 2）7的展开式中，x3 项的系数是 5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 1 例 5（04 安徽改编）（x 1 2）3的展开式中，x 6、求中间项 例 6 求（x 1）10 的展开式的中间项；3x 常数项是；例 7(x 的展开式中有理项等于奇数项二项式系数和即式中令则可以得到二项展开式的各项系数和二项式系数的性质二项式系数增减性与最大值时二项式系数是递增的当当是偶数时中间一项取得最大值时二项式系数是递减的是奇数时中间两项和相等且同时取式的式中分别令和则可以得到即二项式系数和等于当经典例题展开式例求的展开式练习求的展开式求展开式中的项例已知在的展开

8、式中第项为常数项求求含的项的系数求展开式中所有的有理项练习若展开式中前三项系数成等求展开项式系数和大求的展开式中二项式系数最大的项系数的绝对值最大的项练习已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是求展开式中含的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项求两个二项式乘积的展开式指定幂8、求系数最大或最小项 1)特殊的系数最大或最小问题 例 8(00 上海)在二项式(x 1)11的展开式中，系数最小的项的系数是；2)一般的系数最大或最小问题 3)系数绝对值最大的项 例 10在(x y)7 的展开式中，系数绝对值最大项是 9、利用“赋值法”及二项式性质 3 求部分项系数，二项式系数和 例 1

9、1 若(2x 3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则(a0 a2 a4)2(a1 a3)2 的 值例 9求（x 展开式中系数最大的项；等于奇数项二项式系数和即式中令则可以得到二项展开式的各项系数和二项式系数的性质二项式系数增减性与最大值时二项式系数是递增的当当是偶数时中间一项取得最大值时二项式系数是递减的是奇数时中间两项和相等且同时取式的式中分别令和则可以得到即二项式系数和等于当经典例题展开式例求的展开式练习求的展开式求展开式中的项例已知在的展开式中第项为常数项求求含的项的系数求展开式中所有的有理项练习若展开式中前三项系数成等求展开项式系数和大求的展开式中二项式系数最大的项系数

10、的绝对值最大的项练习已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是求展开式中含的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项求两个二项式乘积的展开式指定幂练习 1】若(1 2004 2x)2004 a0 2 a1 x a2x.2004 x2004，则(a0 a1)(a0 a2).(a0 a2004)；练习 2】设(2x 1)6 a6x 6 a5x5 a1x a0，则 a0 a1 a2.a6 2 1 9 9 练习 3】(x2 21x)9展开式中 x9的系数是 等于奇数项二项式系数和即式中令则可以得到二项展开式的各项系数和二项式系数的性质二项式系数增减性与最大值时二项式系数是递增的当当是偶数时中间一项取得最大值时二项式系数是递减的是奇数时中间两项和相等且同时取式的式中分别令和则可以得到即二项式系数和等于当经典例题展开式例求的展开式练习求的展开式求展开式中的项例已知在的展开式中第项为常数项求求含的项的系数求展开式中所有的有理项练习若展开式中前三项系数成等求展开项式系数和大求的展开式中二项式系数最大的项系数的绝对值最大的项练习已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是求展开式中含的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项求两个二项式乘积的展开式指定幂