线性代数知识点整理研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf

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1、 pnppnnnnnnnnpapapaaaaaaaaaaD212211212222111211)1(逆序数（1）行列中两个数一次对换改变奇偶性（2）全部 n（n2）级排列中奇偶各占一半，2!n个；n!项相加，每项 n 个数相乘 行列式性质：（1）D=DT （2）某行（列）提公因数 k 出来（3）任意互换两行（列），值变号，r 行 j 列（4）两行（列）元素成比例，D=0 （5）某一行（列）全为 0，D=0 （6）可拆（7）某一行（列）k另一行（列），值不变 反对称行列式：0000yxncbcanbaD=0 余子式：划去 aij，所剩 Mij ；代数余子式：Aij=(-1)i+jMij D=ai

2、1Ai1+ai2Ai2+ainAin（按行展开）D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj（按列展开）（1）各元素与其代数余子式乘积的和（2）某一行（列）元素另一行（列）对应代数余子式之和=0 上（下）三角：nabnbaD 副对角：nababnDnn2)1()1(范德蒙：的乘积所有满足)(1)(1111112112222121ijnjiijnnnnnnxxnjixxxxxxxxxxx 拉普拉斯展开式：babcacba n 元线性方程组：（1）DDn0 唯一解 njDDxjj2,1,（2）DDn0 齐次方程“零解”DDn0 齐次方程“非零解”方（矩）阵：m=n 零矩阵：000000000上三角

3、：nnaaa2211 下三角：nnaaa2211 对角：nnaaa2211 数量：aaa 单位：111 对称：0000nbanba 反对称：0-0-0-0nbanba（主对角线必为 0）矩阵加法：（1）ABBA （2）AA（3）)()(CBACBA（4）（矩阵）AA 矩阵数乘：(1)(AA）（2）AAA）（3）BABA)(（4）（矩阵）A0 矩阵乘法：（1）CmsBnsAmn （2）（）（）（BABAAB（3）ACABCBA)(（3）CABAACB)(（不满足交换律！）（5）存在 Im、In，使得AAIAInnmm 方阵的幂：（1）AAAAn（2）nmnmAAA（3）mnnmAA）（方阵多项式

4、：nmmmmIaAaAaAaAf0111)(矩阵转置：（1）AATT）（2）（）（TTAA （3）TTTBABA）（4）TTTABAB）（5）22TTAAAAA（6）为对称矩阵AAAT （7）为反对称矩阵AAAT 公因数出来任意互换两行列值变号行列两行列元素成比例某一行列全为可拆某一行列另一行列值不变反对称行列式余子式划去所剩代数余子式按行展开按列展开各元素与其代数余子式乘积的和某一行列元素另一行列对应代数余子式矩阵零矩阵上三角下三角对角数量单位对称反对称主对角线必为矩阵加法矩阵矩阵数乘矩阵矩阵乘法不满足交换律存在使得方阵的幂方阵多项式矩阵转置为对称矩阵为反对称矩阵方阵行列式伴随矩阵各元素代数

5、余子式注意下标逆矩是向量组或称可由向量组线性表出的线性组合为设维向量组若存在不全为零的使得则称线性相关否则线性无关向量组的一部分向量组线性无关中每个向量可由表出则是的一个极大无关组满足记作个数称为该向量组的秩的极大无关组 方阵行列式：（1）AAT （2）AAn （3）BAAB 伴随矩阵（各元素代数余子式）：nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*（注意下标！）IAAAAA*逆矩阵：（1）1AABIBAAB的是 （2）*101AAAAA可逆（3）所有 22，abcdAdcbaA*（4）nnaaaAAaaaA111021121，则，若所有对角（5）AA11）（6）TTAA）（）（

6、11 （7）1110AA），（8）AA11 （9）111ABAB）（10）kkAA）（1 解矩阵方程：AX=B(1)）所求矩阵单位矩阵（）矩阵矩阵（XIBA （2）代回验证 线性表出。，可由向量组或称的线性组合，是向量组成立，则称，使得，维向量组，若存在为，设sssssskkkkkkn212122112121 关。线性相关，否则线性无，则称，使得，为零的维向量组，若存在不全为，设ssssskkkkkkn21221121210 ）的一个极大无关组。）是（则（）表出，中每个向量可由（）线性无关（）（满足：，）的一部分向量组（向量组（2121r 。，记作个数称为该向量组的秩的极大无关组所含向量，向量

7、组)(2121mmr公因数出来任意互换两行列值变号行列两行列元素成比例某一行列全为可拆某一行列另一行列值不变反对称行列式余子式划去所剩代数余子式按行展开按列展开各元素与其代数余子式乘积的和某一行列元素另一行列对应代数余子式矩阵零矩阵上三角下三角对角数量单位对称反对称主对角线必为矩阵加法矩阵矩阵数乘矩阵矩阵乘法不满足交换律存在使得方阵的幂方阵多项式矩阵转置为对称矩阵为反对称矩阵方阵行列式伴随矩阵各元素代数余子式注意下标逆矩是向量组或称可由向量组线性表出的线性组合为设维向量组若存在不全为零的使得则称线性相关否则线性无关向量组的一部分向量组线性无关中每个向量可由表出则是的一个极大无关组满足记作个数称

8、为该向量组的秩的极大无关组 （1）根据提议构造矩阵（2）化为阶梯形（3）秩 r=非全零行（列）个数（4）线性表出零行向量组 线性方程组解法：（1）高斯消元法（2）对增广矩阵施以初等变换得到最简阶梯形 再改写新方程组表示关系 给任意量赋值 线性方程组解的判定(A:系数矩阵；A,b：增广矩阵)：（1）r(A)R(A,b)无解（2）r(A)=R(A,b)=未知量个数 唯一解（3）r(A)=R(A,b)未知量个数 无穷多解 齐次线性方程组解的结构：（1）同上（对增广矩阵施以初等变换得到最简阶梯形），再分别写出每个未知量的表达式，x3=x3 也要，此时注明 x3 是自由未知量（2）写出通解和基础解系 如

9、：是自由未知量，其中434433432310020 xxxxxxxxxxx，通解为：)(1020011121214321为任意常数、ccccxxxx，基础解系为：TT），（，1020)0111(21 公因数出来任意互换两行列值变号行列两行列元素成比例某一行列全为可拆某一行列另一行列值不变反对称行列式余子式划去所剩代数余子式按行展开按列展开各元素与其代数余子式乘积的和某一行列元素另一行列对应代数余子式矩阵零矩阵上三角下三角对角数量单位对称反对称主对角线必为矩阵加法矩阵矩阵数乘矩阵矩阵乘法不满足交换律存在使得方阵的幂方阵多项式矩阵转置为对称矩阵为反对称矩阵方阵行列式伴随矩阵各元素代数余子式注意下标逆矩是向量组或称可由向量组线性表出的线性组合为设维向量组若存在不全为零的使得则称线性相关否则线性无关向量组的一部分向量组线性无关中每个向量可由表出则是的一个极大无关组满足记作个数称为该向量组的秩的极大无关组