不等式基本不等式辅导讲义含详细解答高考_-.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 基本不等式 1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号(3)其中ab2称为正数 a，b 的算术平均数，ab称为正数 a，b 的几何平均数 推导过程：2几个重要的不等式(1)重要不等式：a2b22ab(a，bR)当且仅当 ab 时取等号(2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(3)a2b22ab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(4)baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号 推导过程：3利用基本不等式求最值 已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当

2、 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s24(简记：和定积最大)学习好资料 欢迎下载 （三）典型例题及练习【例 1】已知 x0，y0，z0.求证：yxzx xyzy xzyz8.规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题【训练 1】已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.【例 2】(1)设正实数 x，y，z满足 x23xy4y

3、2z0，则当xyz取得最大值时，2x1y2z的最大值为()数的算术平均数称为正数的几何平均数推导过程几个重要的不等式重要不等式当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当且仅当时取等号推导过程利用基本不等式求最值已知则如果积是定值那么当且仅当时有最小练习例已知求证规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题训练已知都是正数求证例设基本不等式取等号的条件把转化关于的一元二次函数利用配方法求最大值规律方法条件最值的求解通常有两种方法一是消元法即根据条件建立两个量之间的函

4、数关系然后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形利用常学习好资料 欢迎下载 A0 B1 C.94 D3(2)已知2x2y1，(x0，y0)，则 xy的最小值为 A1 B2 C4 D8 审题路线(1)x23xy4y2z0变形得 zx23xy4y2代入zxy变形后利用基本不等式取等号的条件把2x1y2z转化关于1y的一元二次函数利用配方法求最大值 规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值 【训练 2】(1)若正数 x，

5、y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是 A.245 B.285 C5 D6(2)若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是 数的算术平均数称为正数的几何平均数推导过程几个重要的不等式重要不等式当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当且仅当时取等号推导过程利用基本不等式求最值已知则如果积是定值那么当且仅当时有最小练习例已知求证规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题训练已知都是正数求证例设基本不等式取等号的条件把转化关于的一元

6、二次函数利用配方法求最大值规律方法条件最值的求解通常有两种方法一是消元法即根据条件建立两个量之间的函数关系然后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形利用常学习好资料 欢迎下载 A.43 B.53 C2 D.54(3)设 x，y 均为正实数，且32x32y1，则 xy 的最小值为 A4 B4 3 C9 D16 【例 3】若 x3，则 x4x3的最小值为（）【训练 3】已知函数 f(x)4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a 数的算术平均数称为正数的几何平均数推导过程几个重要的不等式重要不等式当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当且仅当时取等号推导过程利用基

7、本不等式求最值已知则如果积是定值那么当且仅当时有最小练习例已知求证规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题训练已知都是正数求证例设基本不等式取等号的条件把转化关于的一元二次函数利用配方法求最大值规律方法条件最值的求解通常有两种方法一是消元法即根据条件建立两个量之间的函数关系然后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形利用常学习好资料 欢迎下载 课堂练习 1若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aab2 ab B.1a1b2ab C.baab2 D

8、a2b22ab 2设 a0，b0.若 ab1，则1a1b的最小值是()A2 B.14 C4 D8 3已知函数 yx49x1(x1)，当 xa 时，y 取得最小值 b，则 ab()A3 B2 C3 D8 二、填空题 4若正实数 a，b 满足 ab2，则(12a)(1b)的最小值为_ 5已知 x，yR，且满足x3y41，则 xy 的最大值为_ 6函数 ya1x(a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10(mn0)上，则1m1n的最小值为_ 课后作业：一、选择题 1设 ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aab0 B0ab1 C.abab 2已知不等式 ax2bx10 的解是1

9、2，13，则不等式 x2bxa1，b1 且 ab(ab)1，那么()Aab 有最小值 2(21)Bab 有最大值(21)2 Cab 有最大值 21 Dab 有最小值 2(21)6设 x，y 满足约束条件 3xy60，xy20，x0，y0，若目标函数 zaxby(a0，b0)的最大值为 12，则2a3b的最小值为()A.256 B.83 C.113 D4 二、填空题 7若函数 f(x)2x22axa1的定义域为 R，则 a 的取值范围为_ 8若 x，y，z 为正实数，x2y3z0，则y2xz的最小值为_ 数的算术平均数称为正数的几何平均数推导过程几个重要的不等式重要不等式当且仅当时取等号当且仅当

10、时取等号当且仅当时取等号同号当且仅当时取等号推导过程利用基本不等式求最值已知则如果积是定值那么当且仅当时有最小练习例已知求证规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题训练已知都是正数求证例设基本不等式取等号的条件把转化关于的一元二次函数利用配方法求最大值规律方法条件最值的求解通常有两种方法一是消元法即根据条件建立两个量之间的函数关系然后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形利用常学习好资料 欢迎下载 例题 1 证明 x0，y0，z0，yxzx2 yzx0，xyzy

11、2 xzy0，xzyz2 xyz0，yxzx xyzy xzyz 8 yzxzxyxyz8.当且仅当 xyz 时等号成立 训练 1 解：x，y都是正数 yx0，xy0，x20，y20，x30，y30(1)xyyxxyyx22即xyyx2.(2)xy2xy0 x2y2222yx0 x3y3233yx0（xy）（x2y2）（x3y3）2xy222yx233yxx3y3 即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.例题 2 解析(1)由 x23xy4y2z0，得 zx23xy4y2，xyzxyx23xy4y21xy4yx3.又 x，y，z 为正实数，xy4yx4，当且仅当 x2y 时取等号，此时 z

12、2y2.2x1y2z22y1y22y21y22y 数的算术平均数称为正数的几何平均数推导过程几个重要的不等式重要不等式当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当且仅当时取等号推导过程利用基本不等式求最值已知则如果积是定值那么当且仅当时有最小练习例已知求证规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题训练已知都是正数求证例设基本不等式取等号的条件把转化关于的一元二次函数利用配方法求最大值规律方法条件最值的求解通常有两种方法一是消元法即根据条件建立两个量之间的函数关系然

13、后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形利用常学习好资料 欢迎下载 1y121，当1y1，即 y1 时，上式有最大值 1.(2)x0，y0，xy(xy)2x2y 42xyyx44xyyx8.当且仅当xyyx，即 xy4 时取等号 答案(1)B(2)D 训练 2 解析(1)由 x3y5xy 可得15y35x1，3x4y(3x4y)15y35x95453x5y12y5x1351255(当且仅当3x5y12y5x，即x1，y12时，等号成立)，3x4y 的最小值是 5.(2)由 x0，y0，得 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立)，12xy3xy30

14、，即 xy2，xy 的最大值为 2.答案(1)C(2)C 解析 由32x32y1可化为xy8xy，x，y均为正实数，xy8xy82 xy(当且仅当 xy 时等号成立)，即 xy2 xy80，解得 xy4，即 xy16，故 xy 的最小值为 16.答案 D 课堂练习 1、解析 因为 ab0，即ba0，ab0，所以baab2baab2.答案 C 数的算术平均数称为正数的几何平均数推导过程几个重要的不等式重要不等式当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当且仅当时取等号推导过程利用基本不等式求最值已知则如果积是定值那么当且仅当时有最小练习例已知求证规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法

15、证明不等式的一种情况证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题训练已知都是正数求证例设基本不等式取等号的条件把转化关于的一元二次函数利用配方法求最大值规律方法条件最值的求解通常有两种方法一是消元法即根据条件建立两个量之间的函数关系然后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形利用常学习好资料 欢迎下载 2、解析 由题意1a1babaabb2baab22baab4，当且仅当baab，即 ab12时，取等号，所以最小值为 4.答案 C 3、解析 yx49x1x19x15，由 x1，得 x10，9x10，所以由基本不等式得 yx19

16、x152 x1 9x151，当且仅当 x19x1，即(x1)29，所以 x13，即 x2 时取等号，所以 a2，b1，ab3.答案 C 4、解析(12a)(1b)52ab52 2ab9.当且仅当 2ab，即 a1，b2 时取等号 答案 9 解析 x0，y0 且 1x3y42xy12，xy3.当且仅当x3y4，即当 x32，y2 时取等号 答案 3 解析 ya1x恒过点 A(1,1)，又 A在直线上，mn1.而1m1nmnmmnn2nmmn224，当且仅当 mn12时，取“”，1m1n的最小值为 4.答案 4 数的算术平均数称为正数的几何平均数推导过程几个重要的不等式重要不等式当且仅当时取等号当

17、且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当且仅当时取等号推导过程利用基本不等式求最值已知则如果积是定值那么当且仅当时有最小练习例已知求证规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题训练已知都是正数求证例设基本不等式取等号的条件把转化关于的一元二次函数利用配方法求最大值规律方法条件最值的求解通常有两种方法一是消元法即根据条件建立两个量之间的函数关系然后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形利用常学习好资料 欢迎下载 课后作业 1、答案 C 2、答案 A 解析 由题意知，a0

18、，ba56，1a16，a6，b5.x25x60 的解是(2,3)3、答案 C 解析 作出可行域如图所示.由于 2xy40、x2y50 的斜率分别为2、12，而 3x2y0 的斜率为32，故线性目标函数的倾斜角大于 2xy40 的倾斜角而小于 x2y50 的倾斜角，由图知，3x2yz 经过点 A(10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为 70.4、答案 A 解析 x1x2x1x20 x1x0 x1x0 x x1 0 x0 1x0，b0)过直线 xy20 与直线 3xy60 的交点(4,6)时，目标函数 zaxby(a0，b0)取得最大值 12，即 4a6b12，即 2a3b6，而2a3b(2

19、a3b)2a3b6136(baab)1362256(ab65时取等号)7、答案 1,0 解析 由 f(x)2x22axa1的定义域为 R.可知 2x22axa1 恒成立，即 x22axa0 恒成立，则 4a24a0，解得1a0.8答案 3 解析 由 x2y3z0，得 yx3z2，将其代入y2xz，得x29z26xz4xz6xz6xz4xz3，当且仅当 x3z 时取“”，y2xz的最小值为 3.数的算术平均数称为正数的几何平均数推导过程几个重要的不等式重要不等式当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当且仅当时取等号推导过程利用基本不等式求最值已知则如果积是定值那么当且仅当时有最小练习例已知求证规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题训练已知都是正数求证例设基本不等式取等号的条件把转化关于的一元二次函数利用配方法求最大值规律方法条件最值的求解通常有两种方法一是消元法即根据条件建立两个量之间的函数关系然后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形利用常