第七单元平面向量中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

《第七单元平面向量中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七单元平面向量中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习好资料 欢迎下载 第七单元 平面向量 复数 知识体系 学习好资料 欢迎下载 第 1节 平面向量的概念及线性运算 基础梳理 1向量的有关概念(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称 )(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 个单位的向量(4)平行向量：方向 或 的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做 向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上规定：0 与任一向量 (5)相等向量：长度 且方向 的向量(6)相反向量：与 a长度 ，方向 的向量，叫做 a的相反向量 2向量的加法运算及其几何意义(1)三角形法则：已知非零向量 a、b，在平面

2、内任取一点 A，作ABa，BCb，则向量AC叫做 a 与 b 的 ，记作 ab，即 abABBCAC，这种求向量和的方法，称为向量加法的 (2)平行四边形法则：以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作 OACB，则以 O 为起点的对角线OC就是 a与 b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出，如图所示 3向量的减法运算及其几何意义(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 (2)如图，ABa，ADb，则DBab.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量 a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如

3、下：|a|a|；当0 时，a的方向与 a的方向 ；当0 时，a 的方向与 a 的方向 ；当0 时，a0.(2)运算律 设，是两个实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.(3)两个向量共线定理：向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使 ba.理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同

4、一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 典例分析 向量的有关概念【例 1】给出下列各命题：零向量没有方向；若|a|b|，则 ab；单位向量都相等；向量就是有向线段；若 ab，bc，则 ac；若四边形 ABCD 是平行四边形，则ABDC，BCDA.其中真命题是_ 向量共线与三点共线问题【例 3】设两个非零向量 a与 b不共线，(1)若ABab，

5、BC2a8b，CD3(ab)，求证：A、B、D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab和 akb共线 变式探究 31：已知向量 a、b不共线，ckab(kR)，dab，如果 cd，那么()(A)k1 且 c与 d同向 (B)k1 且 c与 d反向(C)k1 且 c与 d同向 (D)k1 且 c与 d反向 向量的线性运算【例 2】(2010 年高考全国卷)ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB.设 CB a，CA b，|a|1，|b|2，则 CD 等于()(A)13a23b (B)23a13b(C)35a45b (D)45a35b 变式探究 21：(2010 年山东济南模拟)已

6、知平面上不共线的四点 O、A、B、C.若 OA 3OB 2OC 0，则|AB|BC|等于_ 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记

7、作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 易错警示 错源一：零向量“惹的祸”【例 1】下列命题正确的是()(A)向量 a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 ba；(B)在ABC 中，ABBCCA0；(C)不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立；(D)向量 a、b不共线，则向量 ab与向量 ab必不共线 错源二：向量有关概念理解不当【例 2】如图，由一个正方体的 12 条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合 M 的元素个数为_ 第 2节 平面向量基本定理及其坐标表示 基础梳理 1向量的夹角(1)定

8、义：已知两个非零向量 a 和 b，如图，作OAa，OBb，则AOB叫做向量 a与 b的夹角，也可记作a，b.(2)范围：向量夹角的范围是0，a 与 b 同向时，夹角0；a 与 b 反向时，夹角.(3)垂直关系：如果向量 a与 b的夹角是 90，我们说 a与 b垂直，记作 ab.质疑探究 1：在ABC 中，设ABa，BCb，则 a与 b的夹角是ABC 吗？2平面向量基本定理 如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2.我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 质疑探究 2：平面内任一向量用两已知

9、不共线向量 e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b都能作一组基底吗？3平面向量的正交分解与坐标表示 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义

10、实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载(1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj，则有序数对(x，y)叫做向量 a的坐标，记作 a(x，y)，其中 x，y 分别叫做 a在 x 轴、y 轴上的坐标，a(x，y)叫做向量 a的坐标表示相等的向量其坐标相同，坐标相

11、同的向量是相等向量 4平面向量的坐标运算(1)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)(2)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，ab(b0)的充要条件是 x1y2x2y10.(3)非零向量 a(x，y)的单位向量为 典例分析 平面向量基本定理及其应用【例 1】如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知AMc，ANd，试用 c，d表示AB，AD.共线向量的坐标运算 1|a|a 或1x2y2(x，y)(4)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab x1

12、x2y1y2.质疑探究 3：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的条件能否可以写成x1x2y1y2？提示：不能，因为 x2，y2有可能为 0，应表示为 x1y2x2y10.向量坐标的概念及运算【例 2】已知点 A(1,2)，B(2,8)以及 AC 13AB，DA 13BA，求点 C、D 的坐标和 CD 的坐标 变式探究 21：(2010 年山东临沂联考)已知 A(7,1)、B(1,4)，直线 y12ax 与线段 AB 交于C，且 AC 2CB，则实数 a 等于()(A)2 (B)1 (C)45 (D)53 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向

13、量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载【例 3】(2010 年高考陕西卷)已知向量 a

14、(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则 m_.变式探究 31：(2010 年福州市质检)已知向量 a(1,2)，b(2，m)，若 ab，则 2a3b等于()(A)(5，10)(B)(4，8)(C)(3，6)(D)(2，4)易错警示 第 3节 平面向量的数量积 基础梳理 1数量积的定义 已知两个非零向量 a与 b，其夹角为.我们把数量|a|b|cos 叫做 a与 b的数量积(或内积)，记作 a b，即 a b|a|b|cos.规定：零向量与任一向量的数量积为 0.2数量积的几何意义(1)向量的投影：|a|cos 叫做向量 a在 b方向上的投影，当为锐角时，它是正数，当为钝角时，

15、它是负数；当为直角时，它是 0.(2)a b的几何意义：数量积 a b等于 a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|cos 的乘积 3数量积的运算律 已知向量 a、b、c和实数，则：(1)交换律：a bb a；(2)结合律：(a)b(a b)a(b)；(3)分配律：(ab)ca cb c.质疑探究：若非零向量 a，b，c满足a cb c，则 ab吗？(ab)ca(bc)恒成立吗？错源：对共线向量不理解【例题】已知两点 A(2,3)，B(4,5)，则与 AB 共线的单位向量是()(A)e(6,2)(B)e(3 1010，1010)(C)e(3 1010，1010)或 e(3 1010，10

16、10)(D)e(6,2)或(6，2)理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的

17、方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 提示：不一定有 ab，因为 a cb cc(ab)0，即 c 与 ab 垂直，但不一定有 ab.因此数量积不满足消去律 因为(ab)c 与向量 c 共线，(b c)a 与向量 a 共线当 c 与 a 不共线时(a b)ca(b c)即向量的数量积不满足结合律 4向量数量积的性质 设 a、b都是非零向量，e是与 b方向相同的单位向量，是 a与 e的夹角，则(1)eaae|a|cos.(2)aba b0.(3)当 a与 b同向时，a b|a|b|；当 a与 b反向时，a b|a|b|；典例分析 向量数量积的运算及模的问题【例 1】(1

18、)(2010 年高考天津卷)如图，在ABC 中，ADAB，BCBD，|AD|1，则ACAD_.(2)(2010 年高考广东卷)若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则 x()(A)6 (B)5 (C)4 (D)3 特别地，a a|a|2或|a|a a.(4)cos a b|a|b|.(5)|a b|a|b|.5用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题(1)若非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2y1y2.(2)夹角公式：若非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，是 a 与 b 的夹角，则 cos x1x2y1y2x12y12x

19、22y22.(3)距离公式：若表示向量 a 的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|a|x2x12 y2y12，这就是平面内两点间的距离公式(4)垂直关系：设非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 aba b0 x1x2y1y20.(1)向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的坐标来计算(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下：若 a(x，y)，则|a|x2y2.|a|2a2a a.|a b|2a2 2a bb2.变式探究 11：(2009 年高考辽宁卷)平面向量 a与 b 的夹角为 60，

20、a(2,0)，|b|1，则|a2b|等于()(A)3 (B)23 (C)4 (D)12 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它

21、的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 易错警示 错源：忽视角的范围而“惹祸”【例题】设两个向量 e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1 与 e2 的夹角为，若向量 2te17e2与 e1te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围 两向量垂直问题【例 2】已知|a|5，|b|4，且 a与 b 的夹角为 60，则当向量 kab与 a2b 垂直时，k_.变式探究 21：(2009 年高考宁夏、海南卷)已知 a(3,2)，b(1,0)，向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为()(A)17 (B)17 (C)16

22、 (D)16 两向量夹角问题【例 3】已知|a|1，a b12，(ab)(ab)12，求：(1)a与 b 的夹角的大小；(2)ab与 ab 的夹角的余弦值 变式探究 31：(2009 年高考重庆卷)已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a与 b 的夹角是()(A)6 (B)4 (C)3 (D)2 数量积的综合应用【例 4】已知|a|1，|b|2.(1)若 ab，求 a b；(2)若 a，b 的夹角为 60，求|ab|；(3)若(ab)b，求 a与 b 的夹角 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量

23、平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 第 4节 平面向量的应用 基础梳理 1向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量

24、的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹角等问题设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即abab(b0)x1y2x2y10.证明垂直问题，主要利用向量数量积，即 aba b0 x1x2y1y20.求线段的长，主要利用向量的模，即 2平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应用，可用向量来解决(2)物理中的功 W是一个标量，它是力 f 与位移 s的数量积，即 Wf s|f|s|cos.3平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析

25、几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质 典例分析 向量在平面几何中的应用【例 1】如图所示，若点 D 是三角形 ABC 内一点，并且满足 AB2CD2|a|a2 x12y12.求夹角问题，利用数量积的变形公式：即 cos cos a，ba b|a|b|x1x2y1y2x12y12x22y22.理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大

26、小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 AC2BD2，求证：

27、ADBC.变式探究 11：在直角ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是()(A)|AC|2AC AB (B)|BC|2BA BC (C)|AB|2AC CD (D)|CD|2 AC AB BA BC|AB|2 平面向量在物理中的应用【例 2】(2009 年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知 F1，F2成 60 角，且 F1，F2的大小分别为 2 和 4，则 F3的大小为()(A)6 (B)2 (C)25 (D)27 向量与三角的整合【例 3】已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，c(1,0)

28、(1)求向量 bc 的长度的最大值；(2)设 4，且 a(bc)，求 cos 的值 变式探究 31：(2010 年河西区模拟)已知向量 a(3，1)，向量 b(sin m，cos )，(1)若 ab，且 0,2)，将 m 表示为 的函数，并求 m 的最小值及相应的 的值；(2)若 ab，且 m0，求cos 2 sin 2 cos 的值 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作

29、则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 变式探究 41：(2010 年大连市六校联考)设 F 为抛物线 y22px(p0)的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若FAFBFC0，|FA|FB|FC|3，则该抛物线的方程是()(A)y22x (B)y24x(C)y26x (D

30、)y28x 易错警示 错源：“共线”运用出错【例题】如图，半圆的直径 AB2，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A，B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则(PAPB)PC的最小值是_ 第 5节 复数的概念及运算 基础梳理 1复数的有关概念(1)复数的概念：形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部若b0，则 abi 为实数，若 b0，则 abi 为虚数，若 a0，b0，则 abi 为纯虚数(2)复数相等：abicdiac 且 bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac 且 bd(a，b，c，dR)(4)复平面：建立直角坐标系来表

31、示复数的平面，叫做复平面 x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数 平面向量与解析几何的整合【例 4】(2010 年安徽巢湖模拟)已知 A(3，0)，B(3，0)，动点 P(x，y)满足|PA|PB|4.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点(1,0)作直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，求 OM ON 的取值范围 (5)复数的模：向量 OZ 的模 r 叫做复数 zabi 的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|ra2b2(r0，rR)理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向

32、量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 质疑探究 2：(1)z1，z2为复数，z

33、1z20，那么 z1z2，这个命题是真命题吗？(2)若 z1，z2R，z12z220，则 z1z20，此命题对 z1，z2C 还成立吗？提示：(1)假命题例如：z11i，z22i，z1z230.但 z1z2无意义，因为虚数无大小概念(2)不一定成立比如 z11，z2i 满足 z12z220.但 z10，z20.典例分析 变式探究 11：已知(xi)(1i)y，则实数 x，y 分别为()(A)x1，y1 (B)x1，y2(C)x1，y1 (D)x1，y2 质疑探究 1：复数 abi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0 吗？提示：不是，a0 是 abi(a，bR)为纯虚数的必要条件，只有当a0，b

34、0 时，abi 才为纯虚数 2复数的几何意义 (1)复数 zabi 一一 对应复平面内的点 Z(a，b)(a，bR)；(2)复数 zabi 一一 对应平面向量 OZ (a，bR)3复数的运算 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1 z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：z1z2abicdi abicdi cdicdi acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)(1)in的周期性：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n

35、3i，nZ.(2)常用结论：1ii，(1 i)2 2i.(对应学生用书第 69 页)复数的有关概念【例 1】已知 0a2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则|z|的取值范围是()(A)(1,5)(B)(1,3)(C)(1，5)(D)(1，3)思路点拨：写出|z|的表达式，根据 a 的范围确定|z|的取值范围 复数代数形式的运算【例 2】(2009 年高考海南、宁夏卷)复数32i23i32i23i等于()(A)0 (B)2 (C)2i (D)2i 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非

36、零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 变式探究 21：(2010 年高考广东卷)若复数 z11i，z23i，则 z1 z2 等于()(A)42i (B)2i

37、 (C)22i (D)3i 变式探究 31：已知复数 z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为 A，B，C.O 为坐标原点，若OCxOAyOB，则 xy 的值是_ 易错警示 篇末总结 平面向量是高中数学中的工具性知识，是高考必考内容，直接命题时题量一般为 1 道选择题或填空题，更多地是作为工具整合于三角函数、解析几何相应的解答题中，其考查的重点是向量的概念和线性运算(如 2010 年高考湖北卷，理 5)，数量积(如 2010 年高考湖南卷，文 6)，与三角或解析几何的结合仍是高考中的重要题型(如 2010 年高考福建卷，文 11)复数是每年高考必考内容，题量为 1 道选择题或填空

38、题，主要考查复数的有关概念、几何意义和代数形式的四则运算(如 2010 年高考辽宁卷，理 2)复数的几何意义【例 3】(2010 年高考陕西卷)复数 zi1i在复平面上对应的点位于()(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 错源：对复数的概念理解不透【例题】设复数 zabi(a，bR)的共轭复数为 z abi，则 z z 为()(A)实数 (B)纯虚数(C)0 (D)零或纯虚数 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量

39、都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 1(2010 年高考湖北卷，理 5)已知ABC 和点 M 满足 MAMBMC0，若存在实数 m 使得 ABACmAM成立，则 m 等于()(A)2 (B)3 (C)4

40、(D)5 2若非零向量 a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则 a与 b的夹角为()(A)30 (B)60 (C)120 (D)150 【真题 2】(2010 年高考重庆卷，理 14)已知以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两点 A、B 满足 AF3FB，则弦 AB 的中点到准线的距离为_ 3(2010 年高考福建卷，文 11)若点 O 和点 F 分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP 的最大值为()(A)2 (B)3 (C)6 (D)8 4(2010 年高考辽宁卷，理 2)设 a，b 为实数，若复数12iabi1i，则()(A)a32，b12

41、 (B)a3，b1(C)a12，b32 (D)a1，b3【真题 1】(2010 年高考江西卷，理 13)已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，a与 b 的夹角为 60，则|ab|_.追本溯源：人教 A 版必修 4 第 119 页复习参考题 A 组第 13 题：已知|a|3，|b|2，a与 b 的夹角为 30，求|ab|，|ab|.理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则

42、向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 【真题 3】(2010 年高考江苏卷，2)设复数 z 满足 z(23i)64i(i 为虚数单位)，则 z 的模为_ 2已知平面向量 a(3,1)，b(x，3)，ab，则 x 等于(C)(A)9 (B)1 (C)9 (D)1 5在平行四边

43、形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 AB(2,4)，AC(1,3)，则 BD等于(B)(A)(2，4)(B)(3，5)(C)(3,5)(D)(2,4)6已知两个单位向量 e1，e2的夹角为，则下列结论不正确的是(D)(A)e1在 e2方向上的投影为 cos(B)e12e22(C)(e1e2)(e1e2)(D)e1 e21 8(2010 年高考四川卷)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A在直线 BC 外，BC216，|ABAC|ABAC|，则|AM|等于(C)(A)8 (B)4 (C)2 (D)1 10(2009 年高考海南、宁夏卷)已知点 O，N，P 在ABC 所在平面内，且|OA|O

44、B|OC|，NANBNC0，且 PA PBPB PCPC一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1(2010 年河西区模拟)复数 z 2i21i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于(B)(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 3在ABC 中，AB c，AC b，若点 D 满足 BD 2DC，则 AD 等于(A)(A)23b13c (B)53c23b(C)23b13c (D)13b23c 4(2010 年高考山东卷)已知a2iibi(a，bR)，其中 i 为虚数单位，则 ab 等于(B)(A)1 (B)1 (C)2 (D)3 7(2010 年高考

45、全国新课标卷)a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于(C)(A)865 (B)865 (C)1665 (D)1665 9已知向量 a(2cos ，2sin )，b(3cos ，3sin )，若 a 与 b 的夹角为 60，则直线xcos ysin 120 与圆(xcos )2(ysin )212的位置关系是(D)(A)相交 (B)相交且过圆心(C)相切 (D)相离 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量

46、任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 PA，则点 O，N，P 依次是ABC 的(C)(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心(C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心 11(2011

47、 年广东江门市高考模拟考试)若四边形 ABCD 满足 ABCD0，(ABAD)AC0，则该四边形一定是(B)(A)直角梯形 (B)菱形(C)矩形 (D)正方形 16(2011 年深圳市高三第一次调研)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，S为ABC 的面积若向量 p(4，a2b2c2)，q(1，S)满足 pq，则 C_.18(本小题满分 11 分)(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(ABtOC)OC0，求 t 的值 19

48、(本小题满分 11 分)(2009 年高考湖南卷)已知向量 a(sin，cos 2sin)，b(1,2)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若|a|b|,0，求的值 12设 a、b、c 是单位向量，且 a b0，则(ac)(bc)的最小值为(D)(A)2 (B)22(C)1 (D)1 2 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13(2010 年高考上海卷)若复数 z12i(i 为虚数单位)，则 z z z_.14(2010 年重庆模拟)已知|a|2，|b|2，a 与 b 的夹角为 45，若|a b|10，则实数 的取值范围是_ 15(2010 年高考重庆卷)已知复数

49、 z1i，则2zz_.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(本小题满分 11 分)(2009 年高考上海卷)已知复数 zabi(a，bR)(i 是虚数单位)是方程 x24x50的根复数 wu3i(uR)满足|wz|2 5，求 u 的取值范围 理向量的有关概念向量既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的或称零向量的向量叫做零向量其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向或的非零向量叫做平行向量平行向量又叫做向量任一组平行向量都可以加法运算及其几何意义三角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做与的记作即这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的

50、两个已知向量为邻边作则以为起点的对角线就是与的和这种作两个向何意义定义即减去一个向量相当于加上这个向量的如图则向量数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量记作它的长度与方向规定如下当时的方向与的方向当时的方向与的方向当时运算律设是两个实数则两个向量共线定学习好资料 欢迎下载 20(本小题满分 11 分)已知：两点 M(1,0)，N(1,0)，且点 P 使 MP MN，PM PN，NM NP成公差小于零的等差数列(1)点 P 的轨迹是什么曲线？(2)若点 P 坐标为(x0，y0)，为 PM，PN的夹角，求的取值范围 21(本小题满分 12 分)已知复数 z1m(32m2)i(mR)，z2