2.2.2 直线与椭圆的位置关系题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章（Word版含解析）.docx

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1、第2课时直线与椭圆的位置关系基础过关练题组一直线与椭圆的位置关系1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A.相切B.相交C.相离D.不确定2.若直线y=x+2与椭圆x2m+y23=1有两个公共点,则实数m的取值范围是()A.(1,+)B.(1,3)(3,+)C.(0,3)D.(-,-3)(-3,0)(1,+)3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为()A.32B.26C.27D.424.若直线y=kx-k+1(kR)与焦点在x轴上的椭圆x25+y2m=1总有公共点,则实数m的取值范围是.5.已知椭圆

2、4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)当直线与椭圆相切时,求直线方程.题组二椭圆的弦长与中点弦的问题6.(安徽安庆高二调研)已知直线l过点P(3,-2)且与椭圆C:x220+y216=1相交于A,B两点,则使得点P为弦AB中点的直线l的斜率为()A.-35 B.-65C.65 D.357.过椭圆x24+y23=1的一个焦点F作垂直于长轴的弦,则此弦长为()A.34 B.3 C.23 D.8338.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若弦AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()

3、A.x245+y236=1 B.x236+y227=1C.x227+y218=1 D.x218+y29=19.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为3的弦AB,则弦AB的长为()A.67 B.167 C.716 D.7610.已知椭圆mx2+ny2=1(m0,n0且mn)与直线y=1-x交于M,N两点,原点与线段MN中点所连直线的斜率为22,则mn的值是()A.22 B.233C.922 D.232711.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为.12.已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,离心率e=12,焦点F1,F2

4、在x轴上,过左焦点F1与A作直线交椭圆E于另一点B.(1)求椭圆E的方程;(2)求ABF2的面积.13.已知过点A(-1,1)的直线l与椭圆x28+y24=1交于B,C两点,当直线l绕点A(-1,1)旋转时,求弦BC的中点M的轨迹方程.题组三与椭圆有关的综合问题14.已知椭圆x212+y23=1的左焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是()A.34 B.32C.22 D.3415.已知椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A在直线l上,线段AF交椭圆C于点B,若FA=3FB,则|AF|=()A.2 B.2C.3 D.316.如图,在平面直

5、角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.17.已知动点P与平面上两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率的积为定值-12.(1)试求动点P的轨迹C的方程;(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=423时,求直线l的方程.18.(福建南平芝华中学高二期中)已知中心为坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l平行于直线OA,且过点(0,t),若直线l与椭圆C有公共点,求t的取值范围.能力提升练一、选择题1.(江西南昌

6、高二月考,)若椭圆x29+y23=1的一条弦被点M(1,1)平分,则这条弦所在的直线方程是()A.x+3y-4=0B.x-3y+2=0C.3x-y-2=0D.3x+y-4=02.(2018吉林省实验中学期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若SABC=3SBCF2,则椭圆的离心率为()A.55 B.33C.105 D.33103.(2018安徽合肥期末,)已知椭圆x2+y24=1 和点A12,12,B12,1,若椭圆的某弦的中点在线段AB上,且此弦所在直线的斜率为k,则k的取值

7、范围为()A.-4,-2B.-2,-1C.-4,-1D.-1,-124.()若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则yx-2的最小值为()A.1 B.-1C.-233 D.2335.(东北三校高三第二次模拟,)已知直线y=2x+m与椭圆C:x25+y2=1相交于A,B两点,O为坐标原点.当AOB的面积取得最大值时,|AB|=()A.54221 B.21021C.2427 D.3427二、填空题6.(河南创新发展联盟高二第三次联考,)若点P是椭圆E:x24+y2=1上的动点,则点P到直线l:x-y-35=0距离的最小值是.三、解答题7.(福建南平高三第一次质检,)已知椭圆C:x2a2+y2b2

8、=1(ab0)的长轴长是离心率的2倍,直线l:4x-4y+3=0交C于A,B两点,且AB的中点横坐标为-12.(1)求椭圆C的方程;(2)若M,N是椭圆C上的点,O为坐标原点,且满足|OM|2+|ON|2=34,求证:OM,ON斜率的平方之积是定值.8.(2017湖南岳阳一中期末,)已知圆O:x2+y2=6,P为圆O上一动点,过P作PMx轴于M,N为PM上一点,且PM=2NM.(1)求点N的轨迹C的方程;(2)若A(2,1),B(3,0),过B的直线与曲线C相交于D,E两点,则kAD+kAE是不是定值?若是,请求出该值;若不是,请说明理由.答案全解全析基础过关练1.B直线y=kx-k+1可变形

9、为y-1=k(x-1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆x29+y24=1的内部,所以直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1相交,故选B.2.B由y=x+2,x2m+y23=1消去y,整理得(3+m)x2+4mx+m=0.若直线与椭圆有两个公共点,则3+m0,=(4m)2-4m(3+m)0,解得m1,且m-3,由x2m+y23=1表示椭圆,知m0且m3.综上,m1且m3,故选B.3.C设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn),由mx2+ny2=1,x+3y+4=0,消去x,得(3m+n)y2+83my+16m-1=0,直线与椭圆只有一个交点,=192m2-4(3m+n)

10、(16m-1)=0,整理得3m+n=16mn,即3n+1m=16.又c=2,焦点在x轴上,1m-1n=4.由解得m=17,n=13,长轴长为27.4.答案54,5解析直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),直线与椭圆总有公共点等价于点(1,1)在椭圆内或在椭圆上,所以125+12m1,即m54,由椭圆的焦点在x轴上得0mb0),根据题意得4a2+9b2=1,1-b2a2=12,解得a2=16,b2=12,所以椭圆E的方程为x216+y212=1.(2)由(1)知a2=16,b2=12,则F1(-2,0),F2(2,0),AF2x轴.直线AB过A(2,3),F1(-2,0),所

11、以其方程为y=34(x+2).由y=34(x+2),3x2+4y2=48得7y2-12y-27=0,yA+yB=127,又yA=3,yB=-97,SABF2=122c|yA-yB|=1222307=607.13.解析设直线l与椭圆的交点B、C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),弦BC的中点M的坐标为(x,y),则x128+y124=1,x228+y224=1,-,得x128-x228+y124-y224=0,(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.当x1x2时,式可化为(x1+x2)+2(y1+y2)y2-y1x2-x1=0.x1+x22=x,y1+y22=y

12、,y2-y1x2-x1=y-1x+1,2x+22yy-1x+1=0,化简得x2+2y2+x-2y=0.当x1=x2时,点M(x,y)是线段BC中点,x=-1,y=0,显然适合上式.综上所述,弦BC的中点M的轨迹方程是x2+2y2+x-2y=0.14.A设椭圆的右焦点为F2,则原点O是线段F1F2的中点,从而OMPF2,且OM=12PF2,则PF2F1F2,易知F2(3,0),点P的横坐标为3,当x=3时,912+y23=1,解得y=32,故点M的纵坐标为34.15.A设点A(2,n),B(x0,y0).由椭圆C:x22+y2=1,知a2=2,b2=1,c2=1,即c=1,F(1,0).FA=(

13、1,n),FB=(x0-1,y0),由FA=3FB,得(1,n)=3(x0-1,y0).1=3(x0-1),n=3y0,解得x0=43,y0=13n.将x0,y0代入x22+y2=1,得12432+13n2=1,解得n2=1,|AF|=12+n2=1+1=2.16.答案63解析将y=b2代入x2a2+y2b2=1,解得x=32a,则B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),由BFC=90,得BFCF=c+32a,-b2c-32a,-b2=c2-34a2+14b2=0,结合a2=b2+c2,化简得3c=2a,离心率e=ca=63.17.解析(1)设动点P的坐标是(x,y),由题意得kPAk

14、PB=-12.yx+2yx-2=-12,化简整理,得x22+y2=1.故动点P的轨迹C的方程是x22+y2=1(x2).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立y=kx+1,x22+y2=1,消去y,整理得(1+2k2)x2+4kx=0.x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=0.|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=423,整理得k4+k2-2=0,解得k2=1或k2=-2(舍去).k=1,经检验,均符合题意.直线l的方程是x-y+1=0或x+y-1=0.18.解析(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),左焦点为F,则F(-2,0),c=2,2a=|AF|+

15、|AF|=02+32+42+32=8,解得c=2,a=4,又a2=b2+c2,b2=12,故椭圆C的方程为x216+y212=1.(2)由题意设直线l的方程为y=32x+t,由y=32x+t,x216+y212=1,消去y得3x2+3tx+t2-12=0.令=(3t)2-43(t2-12)0,解得-43t43.t的取值范围是-43,43.能力提升练一、选择题1.A设该直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x129+y123=1,x229+y223=1,两式作差得(x1-x2)(x1+x2)9=-(y1-y2)(y1+y2)3,kAB=y1-y2x1-x2=-13x1+x2y1

16、+y2.M为AB的中点,x1+x2=2,y1+y2=2,kAB=-13.直线方程为y-1=-13(x-1),即x+3y-4=0.2.A设F1的坐标为(-c,0),F2的坐标为(c,0),故过F1且与x轴垂直的直线方程为x=-c,代入椭圆方程可得y=b2a.可设A-c,b2a,C(x,y),由题意可得ABF2的面积是BCF2的面积的2倍,故AF2=2F2C,即有2c,-b2a=2(x-c,y),即2c=2x-2c,-b2a=2y,则x=2c,y=-b22a,代入椭圆方程可得4c2a2+b24a2=1,即4c2a2+a2-c24a2=1,4e2+14-14e2=1,解得e=55(负值舍去).故选A

17、.3.A设椭圆x2+y24=1的某弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,x12+y124=1,x22+y224=1,-,得(x12-x22)+14(y12-y22)=0.即k=y1-y2x1-x2=-4(x1+x2)y1+y2=-4x0y0.点M在线段AB上,x0=12,12y01,k=-4x0y0=-2y0,22y04,故-4-2y0-2,则k-4,-2,故选A.4.C设yx-2=k,则y=k(x-2).由4x2+y2=4,y=k(x-2)消去y并整理,得(k2+4)x2-4k2x+4(k2-1)=0,令=16

18、k4-44(k2-1)(k2+4)0,解得-233k233,kmin=-233.故选C.5.A由y=2x+m,x25+y2=1,得21x2+20mx+5m2-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-20m21,x1x2=5m2-521,|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=520(21-m2)21=1021-m221.又O到直线AB的距离d=|m|5,所以AOB的面积S=12d|AB|=5m2(21-m2)215m2+21-m2221=52,当且仅当m2=21-m2,即m2=212时,AOB的面积取得最大值.此时,|AB|=1021-m221=54221.二、填

19、空题6.答案10解析设与l平行的直线l1:x-y+m=0,联立x24+y2=1,x-y+m=0,整理得5x2+8mx+4m2-4=0,令=64m2-45(4m2-4)=0,解得m=5.直线l与直线l1之间的距离为|5+35|1+1=210或|-5+35|1+1=10,点P到直线l的最小距离是10.三、解答题7.解析由椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长是离心率的2倍,得2a=2e,即a2=c.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2a2+y2b2=1,4x-4y+3=0,整理得(a2+b2)x2+32a2x+916a2-a2b2=0,所以x1+x2=-32a2a2+b2,依题

20、意得-32a2a2+b2=-1,即a2=2b2.又c2=a2-b2,所以由得a2=12,b2=14,所以椭圆C的方程为2x2+4y2=1.(2)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),由|OM|2+|ON|2=34,得x32+y32+x42+y42=34.因为M(x3,y3),N(x4,y4)在椭圆C上,所以2x32+4y32=1,2x42+4y42=1,+,得x32+x42+2y32+2y42=1,-,得y32+y42=14,所以把代入,得x32+x42=12,所以kOM2kON2=y32y42x32x42=14(1-2x32)14(1-2x42)x32x42=1161-2(x32+x4

21、2)+4x32x42x32x42=14.8.解析(1)设N(x,y),P(x0,y0),则M(x0,0),PM=(0,-y0),NM=(x0-x,-y).由PM=2NM,得0=2(x0-x),-y0=-2y,x0=x,y0=2y,由于点P在圆O:x2+y2=6上,x02+y02=6,x2+(2y)2=6,即x26+y23=1.点N的轨迹C的方程为x26+y23=1.(2)kAD+kAE是定值.设D(x1,y1),E(x2,y2),过点B的直线DE的方程为y=k(x-3),由y=k(x-3),x26+y23=1,消去y,得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,=(-12k2)2-4(2k2+1)(18k2-6)=24-24k2,令0,则-1k1.x1+x2=12k22k2+1,x1x2=18k2-62k2+1,kAD+kAE=y1-1x1-2+y2-1x2-2=kx1-(3k+1)x1-2+kx2-(3k+1)x2-2=2kx1x2-(5k+1)(x1+x2)+12k+4x1x2-2(x1+x2)+4=2k18k2-62k2+1-(5k+1)12k22k2+1+12k+418k2-62k2+1-212k22k2+1+4=-4k2+42k2-2=-2,kAD+kAE是定值,且kAD+kAE=-2.