不等式知识点总结1高考_-高考.pdf

《不等式知识点总结1高考_-高考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式知识点总结1高考_-高考.pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、不等式知识点总结 1、不等式的基本性质 （对 称 性）abba （传 递 性）,ab bcac （可 加 性）abacbc （同 向 可 加 性）dbcadcba,（异 向 可 减 性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正数可乘性）0,0abcdacbd （异向正数可除性）0,0ababcdcd （平方法则）0(,1)nnababnNn 且 （开方法则）0(,1)nnabab nNn 且（倒数法则）babababa110;110 2、几个重要不等式 222abab abR，,（当且仅当ab时取号）.变形公式：22.2abab（基本不等式）2abab abR，

2、,（当且仅当ab时取到等号）.变形公式：2abab 2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）33abcabc()abcR、（当且仅当abc 时取到等号）.222abcabbcca abR ，（当且仅当abc 时取到等号）.3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当abc 时取到等号）.0,2baabab 若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab 若则（当仅当 a=b时取等号）banbnamambab1其中(000)abmn，规律：小于 1 同加则变大，大于 1同加则变小.220;

3、axaxaxaxa 当时，或 22.xaxaaxa 绝对值三角不等式.ababab 3、几个著名不等式平均不等式：2211222abababababR，,（当且仅当ab时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222;22ababab 222().2abab 幂平均不等式：222212121.(.).nnaaaaaan 二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x y xyR 二维形式的柯西不等式22222()()()(,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成立.三维形式的柯西不等式：2222222123

4、1231 1223 3()()().aaabbba ba ba b 一般形式的柯西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb 21 122(.).nna ba ba b 向量形式的柯西不等式：设,u r u r是两个向量，则,u r u ru r u r当且仅当u r是零向量，或存在实数k，使ku ru r时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设1212.,.nnaaabbb 为两组实数.12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，则 12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c 1 122.nna ba ba b（反序和乱序和顺序和）当且仅当12

5、.naaa 或12.nbbb 时，反序和等于顺序和.琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x,对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()();242aa 将分子或分母放大（缩小），如 可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且

6、仅当时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三相等三个正数的算术几何平均不规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西不等式当且仅当时等号成实数使时等号成立排序不等式排序原理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点有或则称为凸或凹函数不等式证211,(1)kk k 211,(1)kk k

7、2212(),21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等.5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式20(0)axbxc 或2(0,40)abac 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg

8、xf xg xg x （“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2()0()(0)()f xf xa af xa2()0()(0)()f xf xa af xa 2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x当

9、01a 时,()()()()f xg xaaf xg x 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法 当1a 时,()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x当01a 时,可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且仅当时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三相等三个正数的算术几何平均不规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西

10、不等式当且仅当时等号成实数使时等号成立排序不等式排序原理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点有或则称为凸或凹函数不等式证()0log()log()()0.()()aaf xf xg xg xf xg x 规律：根据对数函数的性质转化.11、含 绝 对 值 不 等 式 的 解 法：定 义 法：(0).(0)aaaaa 平 方 法：22()()()().f xg xfxgx 同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或()()()()()()0)f xg xg

11、xf xg xg x ()()()()()()()0)f xg xf xg xf xg xg x或 规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法 解形如20axbxc 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题 不等式20axbxc 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a 时 0,0;bc当0a 时00.a 不等式20axbxc 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是

12、：当0a 时0,0;bc当0a 时00.a ()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立min();f xa()f xa恒成立min().f xa 可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且仅当时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三相等三个正数的算术几何平均不规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西不等式当且仅当时等号成实数使时等号成立排序不等式排序原理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点有或则称为凸或凹函数不等式证