福建高考数学二轮专题复习教案――空间角高考_-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 专题(三)空间角 主干知识整合：立体几何的空间角度中，对三种角度的求解与性质的探究，属于高考永恒的话题 经典真题感悟：1（07 全国理7 题）已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦等于（A）A 64 B104 C22 D32 2（07 浙江理16 题）已知点 O在二面角AB的棱上，点 P在内，且45POB。若对于内异于 O的任意一点 Q，都有45POQ，则二面角AB的大小是_90_。3（07 广东理19 题）如图 6 所示，等腰ABC的底边AB=66，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上

2、，且EFAB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE。记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积。（）求V(x)的表达式；（）当x为何值时，V(x)取得最大值？（）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；解：1）由折起的过程可知，PE平面 ABC，9 6ABCS，2265412BEFBDCxSSx V(x)=261(9)312xx（03 6x）（2）261()(9)34V xx，所以(0,6)x时，()0v x ，V(x)单调递增；63 6x 时()0v x ，V(x)单调递减；因此 x=6 时，V(x)取得最大值12 6；（3）过 F作 MF/AC交 AD与 M

3、,则,21212BMBFBEBEMBBEABBCBDAB，PM=6 2，665494233 6MFBFPFBC，在PFM中，84722cos427PFM，异面直线 AC与 PF所成角的余弦值为27；热点考点探究：考点一：异面直线所成的角空间角的最小元素 学习必备 欢迎下载 直线与直线所成角是立体几何的所成角（线线角、线面角、面面角）中最简单的一种，只需要把两条直线（或其中一条直线）平移，使它们相交于一点，就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了.要注意的是角的取值范围，分清那个角是这两条直线的所成角（或者它的补角）.其范围是2,0.【例 1】如图（1）所示，在空间

4、四边形 ABCD 中，已知 AD=1，BC=3，且 AD BC，对角线 BD=23213，AC，求 AC和 BD所成的角.【解析 1】如图（2）所示，分别取 AD、CD、AB、BD的中点 E、F、G、H，连结 EF、FH、HG、GE、GF.由三角形中位线定理知，EFAC，且 EF=43，GE BD，且 GE=413.GE和 EF所成的锐角（或直角）就是AC和 BD所成的角.同理，GH=2321，HF，GH AD，HF BC.又 AD BC，90GHF.1222HFGHGF 在EFG中，GFEFEG2221 图（2）90GEF，即 AC和 BD所成的角为90.【解析 2】如图（3），在平面 BC

5、D内，过 C作 CE BD，且 CE=BD，连 DE，则 DE BC且 DE=BC.ACE就是 AC和 BD所成的角（若ACE为钝角，则ACE的补角就是 AC和 BD所成的角）.又 AD BC,AD DE.4222DEADAE 图（3）在ACE中，,4213232222 CEAC ACE=90，即AC和 BD所成的角为90.【点评】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”.平移的方法一般有下面三恒的话题经典真题感悟全国理题已知正三棱柱则与侧面所成角的正弦等于的侧棱长与底面边长相等浙江理题已知点在二面角的棱上点在内且若对于内异于的任意一点都有则二面角的大小是广东理题如图所示等腰的底边高点是线段上大

6、值时求异面直线与所成角的余弦值解由折起的过程可知平面所以时单调递增时单调递减因此时取得最大值过作交与则在中异面直线与所成角的余弦值为热点考点探究考点一异面直线所成的角空间角的最小元素学习必备欢迎下载直使它们相交于一点就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了要注意的是角的取值范围分清那个角是这两条直线的所成角或者它的补角其范围是例如图所示在空间四边形中已知且对角线求和所成学习必备 欢迎下载 种类型：利用图有已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移，计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.考点二：线面角直线与射影的夹角为主体 直线与平面

7、所成的角分两种，一是平面的斜线与平面所成的锐角，即斜线与平面内的射影所夹的角；二是平面的垂线与平面所成的直角.直线与平面所成角不存在补角的问题.直线与平面成角的范围是2,0.【例 2】如图（4），在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC ()求证：OD平面PAB；()当k21时，求直线PA与平面PBC所成角的大小.【解析】()O、D分别为 AC、PC的中点：OD PA,又 AC平面 PAB,图（4）OD 平面 PAB.()AB BC,OA=OC,OA=OC=OB,又OP 平面 ABC,PA=PB=PC.取 BC中点 E,连结 PE,则 BC

8、平面 POE,作 OF PE于 F,连结 DF,则 OF 平面 PBC ODF是 OD与平面 PBC所成的角.又 OD PA,PA与平面 PBC所成角的大小等于ODF.图（5）在 RtODF中,sin ODF=21030OFOD,PA与平面 PBC所成角为 arcsin21030【点评】求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角.考点三：二面角用平面角来量度 面面成角是立体几何中的所成角问题的重点，二面角的两个面是两个半平面，因此二面角中有钝角存在，二面角的取值范围与线线角、线面角不同，它的取值范围是【0,】.二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小求解，以

9、利用平面几何、三角函数等重要知识.【例 3】在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点.恒的话题经典真题感悟全国理题已知正三棱柱则与侧面所成角的正弦等于的侧棱长与底面边长相等浙江理题已知点在二面角的棱上点在内且若对于内异于的任意一点都有则二面角的大小是广东理题如图所示等腰的底边高点是线段上大值时求异面直线与所成角的余弦值解由折起的过程可知平面所以时单调递增时单调递减因此时取得最大值过作交与则在中异面直线与所成角的余弦值为热点考点探究考点一异面直线所成的角空间角的最小元素学习必备欢迎下载直使它们相交于一点就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题

10、了要注意的是角的取值范围分清那个角是这两条直线的所成角或者它的补角其范围是例如图所示在空间四边形中已知且对角线求和所成学习必备 欢迎下载 图（6）(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABCD所成的角.【解析】(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=25a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形.BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形.AGFD，B、E、D、F四点共面 故四边形BEDF是菱形.(2)解：如图（7）所示，在

11、平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，图（7）则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角.在ACP中，易得AC=3a，CP=DE=25a,AP=213a 由余弦定理得 cosACP=1515 故AC与DE所成角为 arccos1515.(3)解：ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上.如下图所示.恒的话题经典真题感悟全国理题已知正三棱柱则与侧面所成角的正弦等于的侧棱长与底面边长相等浙江理题已知点在二面角的棱上点在内且若对于内异于的任意一点都有则二面角的大小是广东理题如图所示等腰的底边高点是线段上大值时求异面直线与所成角的余弦值解由折起的过程可知平面所以时单调

12、递增时单调递减因此时取得最大值过作交与则在中异面直线与所成角的余弦值为热点考点探究考点一异面直线所成的角空间角的最小元素学习必备欢迎下载直使它们相交于一点就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了要注意的是角的取值范围分清那个角是这两条直线的所成角或者它的补角其范围是例如图所示在空间四边形中已知且对角线求和所成学习必备 欢迎下载 图（8）又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB 在 RtBAD中，AD=2a，AB=2a,BD=2a 则 cosADB=33 故AD与平面BEDF所成的角是 arccos33.(4)解：如图，连结E

13、F、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心.图（9）作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角.在 RtDOE中，OE=22a,OD=23a,斜边DE=25a,则由面积关系得OM=1030DEOEODa 在 RtOHM中，sinOMH=630OMOH 故面BEDF与面ABCD所成的角为 arcsin630.【点评】对于第(1)问，若仅由BE=ED=DF=FB就断定BEDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B、E、D、F四点共面.求线面角关键是作垂线，找射影

14、，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.恒的话题经典真题感悟全国理题已知正三棱柱则与侧面所成角的正弦等于的侧棱长与底面边长相等浙江理题已知点在二面角的棱上点在内且若对于内异于的任意一点都有则二面角的大小是广东理题如图所示等腰的底边高点是线段上大值时求异面直线与所成角的余弦值解由折起的过程可知平面所以时单调递增时单调递减因此时取得最大值过作交与则在中异面直线与所成角的余弦值为热点考点探究考点一异面直线所成的角空间角的最小元素学习必备欢迎下载直使它们相交于一点就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了要注意的是角的取值范围分清那个角是这两条直线

15、的所成角或者它的补角其范围是例如图所示在空间四边形中已知且对角线求和所成学习必备 欢迎下载 考点四：探索性问题 例 4.如图，在三棱锥ABCD中，侧面,ABD ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且3,1,ADBDCD另一个侧面是正三角形，在线段AC上是否存在一点E，使EDBCD与面成30角，若存在，确定E的位置，若不存在，请说明理由。分析：如图5 把在三棱锥ABCD补成以BD为棱的 正方体 HCDB-AMNG,使我们对题意及图形有透彻理解 找到ED与面BCD所成的角。在AC上任取一点,E 使(02)CExx，利用EDBCD与面所成的角为30来构建方程，再求x 的值，若0,2x就确定了

16、E点的位置，若0,2x则说明满足条件的E点不存在。解法 1：如图 6，在三棱锥ABCD中，侧面ABDACD与 是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，3,1,ADBDCDABC是正三角形，则2ABBCCA 取BC的 中 点O连 结,A O D O则,BCAO BCDO，AODOO，BCAOD平面，平面BCD 平面AOD，作,AHDO交DO的延长线于H，则 平 面B C D 平 面,A O DH D则AHBCD平面，在RtBCD中，1222ODBC，在Rt ACO中，3622AOAC，在Rt AOD中，2226cos23ADODAOADOAD OD，3sin3ADO，在R t A DH中sin1A

17、HADADO，设(02)CExx，作EFCHF于，平 面A H C平 面B C D，,EFBCDEDF平面就 是A B C D E A C B D E M N G H D A B C O E F H 恒的话题经典真题感悟全国理题已知正三棱柱则与侧面所成角的正弦等于的侧棱长与底面边长相等浙江理题已知点在二面角的棱上点在内且若对于内异于的任意一点都有则二面角的大小是广东理题如图所示等腰的底边高点是线段上大值时求异面直线与所成角的余弦值解由折起的过程可知平面所以时单调递增时单调递减因此时取得最大值过作交与则在中异面直线与所成角的余弦值为热点考点探究考点一异面直线所成的角空间角的最小元素学习必备欢迎下

18、载直使它们相交于一点就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了要注意的是角的取值范围分清那个角是这两条直线的所成角或者它的补角其范围是例如图所示在空间四边形中已知且对角线求和所成学习必备 欢迎下载 EDBCD与面所成的角。由2,2EFC EEFxAHAC()，在Rt C D E中，2221D EC EC Dx，要 使E DB C与面成30角，只 需 使2212,121xxx ，当1CE 时EDBCD与面成30角 解法 2 在解法 1 中接（）以D为坐标原点，以直线,DB DC分别为x轴，y轴的正方向，以过D 与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所

19、示 则22(0,0,0),(,1,),22DExx22(,1,)22DExx，又平面BCD的一个法向量为(0,0,1)n，要使EDBCD与面成30角，只需使DEn与成60，只需使cos60DEnDEn，即2212,121xxx ，当1CE 时EDBCD与面成30角 规律总结：1、求线面角关键是找、作线与面垂直，通常是先寻找面面垂直，得到线面垂直；2、二面角的平面角的基本作法有：定义法，三垂线定理法，垂面法。点到面的距离通常在面面垂直背景下向线作垂线得到线面垂直得射影。另空间距离和角的求解应遵循：一作二证三计算。3、向量法在题目中的应用 专题能力训练：一选择题：1已知三棱锥 DABC的三个侧面与

20、底面全等，且 AB AC 3，BC 2，则以BC为棱，以面 BCD与面 BCA为面的二面角的大小为 （C）A H F E B O D C x y z 恒的话题经典真题感悟全国理题已知正三棱柱则与侧面所成角的正弦等于的侧棱长与底面边长相等浙江理题已知点在二面角的棱上点在内且若对于内异于的任意一点都有则二面角的大小是广东理题如图所示等腰的底边高点是线段上大值时求异面直线与所成角的余弦值解由折起的过程可知平面所以时单调递增时单调递减因此时取得最大值过作交与则在中异面直线与所成角的余弦值为热点考点探究考点一异面直线所成的角空间角的最小元素学习必备欢迎下载直使它们相交于一点就可以把两条异面直线所成角的问

21、题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了要注意的是角的取值范围分清那个角是这两条直线的所成角或者它的补角其范围是例如图所示在空间四边形中已知且对角线求和所成学习必备 欢迎下载 Aarccos33 B arccos31 C 2 D32 2正四面体 ABCD中 E、F分别是棱 BC和 AD之中点，则 EF和 AB所成的角（A ）A45 B60 C90 D30 3.已知正四面体 ABCD 中,AE=14AB,CF=14CD,则直线 DE和 BF所成角的余弦为 (A)A.413 B.313 C.413 D.313 4等边三角形ABC和等边三角形ABD在两个相互垂直的平面内，则CAD （B ）A1arc

22、cos()2 B1arccos4 C7arccos()16 D2 5.已知单位正方体 ABCD A1B1C1D1对棱 BB1,DD1上有两个动点 E,F,BE=D1F=1(0)2,设EF与 AB所成的角为,与 BC所成的角为,则 的最小值 (B)A.等于 60 B.等于 90 C.等于 120 D.等于 135 二填空题：6.棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,若点 P为三角形 BCD的重心,则 D1F与平面 ADD1A1所成的角的大小为_14arcsin7_ 7 若正三棱锥的侧面均为直角三角形，则它的侧面与底面所成二面角的为大小为 arctan2 三解答题：8、如图，在四面体

23、 P-ABC 中，PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，2 34PB，F是线段 PB上一点，173415CF，点 E在线段 AB上，且 EFPB.（1）求证：PB平面 CEF；（2）求二面角 BCEF的大小。解（I）证明：2221006436PCACPA PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证 PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形。故 PA 平面 ABC 又3061021|21BCACSPBC 而PBCSCFPB3017341534221|21 恒的话题经典真题感悟全国理题已知正三棱柱则与侧面所成角的正弦等于的侧棱长与底面边长相等浙江理题已知点在二

24、面角的棱上点在内且若对于内异于的任意一点都有则二面角的大小是广东理题如图所示等腰的底边高点是线段上大值时求异面直线与所成角的余弦值解由折起的过程可知平面所以时单调递增时单调递减因此时取得最大值过作交与则在中异面直线与所成角的余弦值为热点考点探究考点一异面直线所成的角空间角的最小元素学习必备欢迎下载直使它们相交于一点就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了要注意的是角的取值范围分清那个角是这两条直线的所成角或者它的补角其范围是例如图所示在空间四边形中已知且对角线求和所成学习必备 欢迎下载 故 CFPB,又已知 EFPB PB平面 CEF（II）由（I）知 PBCE,

25、PA 平面 ABC AB是 PB在平面 ABC上的射影，故 AB CE 在平面 PAB内，过 F作 FF1垂直 AB交 AB于 F1，则 FF1平面 ABC，EF1是 EF在平面 ABC上的射影，EFEC 故FEB是二面角 BCE F的平面角。35610cottanAPABPBAFEB 二面角BCE F的大小为35arctan 10如图，点P为斜三棱柱111CBAABC 的侧棱1BB上一点，1BBPM 交1AA于点M，1BBPN 交1CC于点N (1)求证：MNCC1；(2)在任意DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧

26、面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明 解(1)证：MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC111111,/平面；(2)解：在斜三棱柱111CBAABC 中，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS，其中为 平面BBCC11与平面AACC11所组成的二面角,1PMNCC平面上述的二面角为MNP,在PMN中，co s2222MN PMNPNMNPNPM MNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPMcos)()(211111222222，由于111111111,BBPMSCCMNSCCPNSAABBAACCBBCC，有cos211

27、11111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS 恒的话题经典真题感悟全国理题已知正三棱柱则与侧面所成角的正弦等于的侧棱长与底面边长相等浙江理题已知点在二面角的棱上点在内且若对于内异于的任意一点都有则二面角的大小是广东理题如图所示等腰的底边高点是线段上大值时求异面直线与所成角的余弦值解由折起的过程可知平面所以时单调递增时单调递减因此时取得最大值过作交与则在中异面直线与所成角的余弦值为热点考点探究考点一异面直线所成的角空间角的最小元素学习必备欢迎下载直使它们相交于一点就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了要注意的是角的取值范围分清那个角是这两条直线的所成角或者它的补角其范围是例如图所示在空间四边形中已知且对角线求和所成