离散型随机变量及其分布列分析高等教育微积分_高等教育-大学课件.pdf

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1、离散型随机变量 1.试验与随机试验 凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验，一个试验如果满足下述条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验 会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2.随机变量(1)随机变量的定义 在随机试验的结果与实数之间，自然地或人为地建立起一种对应关系，使每一个可能的 结果都对应着一个实数，那么随机试验的结果就可以用取值为这些实数的一个变量来表示，这个变量叫随机变量，随机变量常用希腊字母 X、Y、E、n等表示.(2)离散型随机变量

2、 如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型 随机变量.若E是一个随机变量，a、b 是常数，则耳=a E+b 也是一个随机变量.注意掌握这一点，对于某些问题的解决往往会有比较直接的帮助.一般地，若E是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则 f(E)也是随机变量.也就 是说，随机变量的某些函数也是随机变量.3随机变量的理解 随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变 量的取值实质上是试验结果所对应的数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究 竟是哪一个值，这便是“随机”的本源.题型一 随机变量的概念 例 1 指出下列变

3、量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币 5 次，出现正面向上的次数；(3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化.探究 1 解答本类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，预先知道所有可能取 的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值.思考题 1 将一颗骰子掷两次，不能作为随机变量的是()A.两次点数之和 B.两次点数差的绝对值 C.两次的最大点数 D.掷骰子的次数 题型二离散型随机变量的判定 例 2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：(1)一个袋

4、中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔 50 m 有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线 上将电线铁塔进行编号，而其中某一电线铁塔的编号 E;(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29 这一范围内变化，该水位站所测水位 E.规律 解答此类问题的关键是掌握离散型随机变量的关键点是可以“一一罗列出”，这就说 明试验的结果是有限的，这点是区别于非离散型随机变量的关键.探究 2 离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随机试验所出现的结果的，它们的 区别是：对于离散

5、型随机变量，能将它的可能取值按次序-列出，而连续型随机变量可取 某一区间内的一切值，我们无法对其中的值一一列举.思考题 2 判断下列变量是不是随机变量，如果是，判断该随机变量是不是离散型随机变量.(1)2013 年世乒赛，从开幕到闭幕的总天数；(2)京广高速公路某收费站在一天内经过的车辆数；(3)北京市在国庆节这一天的温度数；(4)某小朋友在明天一天内的洗手次数.题型三 随机变量的取值及表示的事件 例 3 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的袋中，任取 1 球，被取出的球的编号为 X;(2)一个袋中

6、装有 10 个红球，5 个白球，从中任取 4 个球，其中所含红球的个数为 X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为 X,所得点数之和是偶数 Y.探究 3 随机变量把随机试验的结果映为实数试验结果的范围相当于函数的定义域，随机 变量的取值范围相当于函数的值域.思考题 3 抛掷两枚骰子，所得点数之积记为 E,那么E=4 表示的随机试验结果是()试验可以在相同的情形下重复进行试验的所有可能结果是明确可知的并且不止一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果它就被称为一个随机试验随机变量随机变量的定义机试验的结果就可以用取值为这些实数的一个变量来表示这个变量

7、等表示叫随机变量随机变量常用希腊字母离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量若是一个随机变是连续函数或单调函数则是说随机变量的某些函数也是随机变量也是随机变量也就随机变量的理解随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数但这些数A.2 枚都是 4 点 B.1 枚是 1 点，另 1 枚是 4 点 C.2 枚都是 2 点 D.1 枚是 1 点，另 1 枚是 4 点，或者 2 枚都是 2 点 离散型随机变量的分布列 1.(1)分布列的定义 设离散型随机变量 X 可能取的值为xi，x2

8、,.,xi,.xn,X 取每一个值xi(i=1,2,n)的概率 P(X=xi)=pi，则称表 X v-*1!-I 兀.I X?l P p2 p.为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列.(2)分布列的性质 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:n 瓦 p Pi _0,(i=1,2,3,n);v=_ 2.两个特殊分布列(1)两点分布列 X 0 1 p 1 p p 如果随机变量 X 的分布列为两点分布列，就称 X 服从两点分布，而称 P(X=1)=_ 为成 功概率.(2)超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，

9、则事件X=k发生的概率 为 P(X=k)=_ ,k=0,1,2,m 其中 m=minM,n，且 n N M 5)；亠 1 7(3)求 R E).10 107 探究 2 要充分注意到分布列的两条重要的性质：pi0,i=1,2,;(2)Pl+P2+,+Pn=1 它是离散型随机变量的分布列所必须要遵循的原则.思考题 2 若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P c 2 9c c 3 8c 试求出常数c的值.题型三 两点分布问题 例 3 一个盒子中装有 5 个白色玻璃球和 6 个红色玻璃球，从中摸出两球，记 广 0 X=求X的分布列.1试验可以在相同的情形下重复进行试验的所有可能结果是明确可知的并

10、且不止一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果它就被称为一个随机试验随机变量随机变量的定义机试验的结果就可以用取值为这些实数的一个变量来表示这个变量等表示叫随机变量随机变量常用希腊字母离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量若是一个随机变是连续函数或单调函数则是说随机变量的某些函数也是随机变量也是随机变量也就随机变量的理解随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数但这些数探究 3 两点分布中只有两个对应的结果，随机变量的取值必

11、须是 0 与 1，否则，不是两点 分布.思考题 3 若随机变量X只能取两个值 xi和X2,又知E取xi的概率是取X2的概率的 3 倍,写出E的分布列，并说明是不是两点分布？题型四 超几何分布 例 4 设 10 件产品中，有 3 件次品，7 件正品，现从中抽取 5 件，求抽得次品件数E的分布 列.探究 4 如何求超几何分布：一般地，设有总数为 N件的两类物品，其中一类有 n件，从所 有物品中任取 M件（Me N），这M件中所含这类物品件数 X是一个离散型随机变量，它取值为 m时的概率为P（X=nj=川“（0 ne L,L为n和M中较小的一个），则称离散型随机变 量X的这种形式的概率分布为超几何分

12、布，也称 Z服从参数为N,M n的超几何分布，在超 几何分布中只要知道 N,M和n,就可以由求出 Z取不同值时的概率，从而得到 Z的分布 列.思考题 4 设有产品 100 件，其中有次品 5 件，正品 95 件，现从中随机抽取 20 件，求抽得 次品件数E的分布列.试验可以在相同的情形下重复进行试验的所有可能结果是明确可知的并且不止一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果它就被称为一个随机试验随机变量随机变量的定义机试验的结果就可以用取值为这些实数的一个变量来表示这个变量等表示叫随机变量随机变量常用希腊字母离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量若是一个随机变是连续函数或单调函数则是说随机变量的某些函数也是随机变量也是随机变量也就随机变量的理解随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数但这些数