线线角线面角二面角的一些题目高中教育_-.pdf

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1、B1C 和 C1D 与底面所成的角分别为 60和45,则(A).2(C)W(D)+6 3 平面 与直线a所成的角为，则直线a与平面 内所有直线所成的角的取值范 3 围是 _.4 如图,ABCD 是正方形,PD 丄平面 ABCD,PD=AD 则 PA 与 BD 所成的角的度数为 0 0 0 0(A).30 5 有一个三角尺 ABC,/线线角与线面角习题 新泰一中闫辉 一、复习目标 1 理解异面直线所成角的概念，并掌握求异面直线所成角的常用方法.2 理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法.3 掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”，思想方法是将空间图形转化为平面图形 即“降维”的

2、思想方法.二、课前预习 1 在空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2,E F 分别为 AB、CD 的中点且 EF=J3，AD、BC 所成的 角为 2 如图,在长方体 ABCD-AB1GD1中，直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为 例 1.(96 全国)如图，正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 60 0角，求异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值 备课说明：1求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形 作法有：平移法：在异面直线的一条上选择“特殊点”，作另一条直线平行线 或利用中位线 补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容 易发现两条异面直线的关系 2 解

3、立几计算题要先作出所求的角，并要 有严格的推理论证过程，还要有合理的步骤 例 2 如图在正方体 AG 中，(1)求 BCi 与平面 ACCA1所成的角；(2)求 A1B1与平面 A1C1B 所成 的角 备课说明：求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影 必须在这条直线上找一点作平面的垂线 作垂线的方法常采用 面垂直的性质找平面的垂线 点的射影在面内的特殊位置 C B B B1 例 3.已知直三棱住 ABC-ABiCi,AB=AC,F 为棱 BBi 上一点，BF:FBi=2:1,BF=BC=2a.(1)若 D 为 BC 的中点,E 为线段 AD 上不同于 A、D 的任意一点，证明：EF

4、丄 FG;(2)试问:若AB=2a,在线 段 AD上的 E 点能否使 EF 与平面 BBiCiC 成 60角，为什么？证明你的结论 备课说明：这是一道探索性命题，也是近年高考热点问题，解 决这类问题，常假设命题成立，再研究是否与已知条件矛盾，从而判断命题是否成立 四、反馈练习 1 设集合 A、B、C 分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所 成的角的取值范围贝 U(A)A=B=C(B)A=B C(C)A B C(D)B A C.2 两条直线a,b与平面 所成的角相等，则直线a,b的位置关系是(A)平行(B)相交(C)异面(D)以上均有可能.3 设棱长为 1 的正方体 A

5、BCD-A1B1C1D1中，M、N 分别为 AA1和 BB1的中点，则直线 CM 和 D1N 所成角的正弦值为 _ .4 已知a、b是一对异面直线，且a、b成 60角，则在过空间任意点 P 的所有直线中，与a、b均成60角的直线有 _ 条.5 异面直线a、b互相垂直，c与a成 30角，则c与b所成角的范围是 _.6/ACB=90在平面 内,PC 与 CA、CB 所成的角/PCA=Z PCB=60，则 PC 与平面 所成的角 为 _.7 设线段 AB=a,AB 在平面 内,CA 丄,BD 与 成 300角,BD 丄 AB,C D 在 同侧,CA=BD=b.求：(1)CD 的长;(2)CD 与平面

6、 所成角正弦值.E D F 1 1 C 解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长方体中直线和所成角的余弦值为例全国如图正方形所在平面与正方形所在平面成角求异面直线与所成角的余弦值备课说明求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是

7、找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作4,5 3.9 7.解:作 DD，丄 于 D，连接 形，/CAD7=/D DA=900,AB 1.D 2.D 4.3 5.60 0,900 6.450 ADZ,BDZ.CAI,CA/DDZ.四边形 CAD，,AB 丄 DD，.又 AB 丄 BD,/.AB 丄平面 BDDZ,BD，AB 丄 BD，.V/DBD/是 BD 与 所成的角,/DBDZ=300,BD=b,DD，=b,BD 2 3b2 4 心 ABD/中,AB=a,BD，=号，/ABD，=900，/AD，=.AB2 BD，2=、a2 D 是直角梯 平面 BDD，.3a.E 在 DA 的延长线上

8、，而不在线段 AD 上；故线段 AD 上的 E 点不可能使 EF 与平面 BB1C1C 成 600 角.反馈练习 D 中，CD=.AD2(AC DD)2 a2 b2.AC b 作 DTC/DC 交 CA 于 C，/CVA 是 CD 与 所成的角,sin/0，=解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长方体中直线和所成角的余弦值为例全国如图正方形所在平面与正方形所在平面成角求异面直线与所成角的余弦值备课说明求异面

9、直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作CD 2aV解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长方体中直线和所成角的余弦值为例全国如图正方形所在平面与正方形所在平面成角求异面直线与所成角的余

10、弦值备课说明求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作 线面角与面面角练习、知识与方法要点：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键 是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要 用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上 一点到平面的距离。二面角的大小用它的平面角来

11、度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证 明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一 个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式 求二面角的大小。判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面.、例题 例 1.正方体 ABCD-ABCD 中，M 为 GD 中点.(1)求证：AC 丄平面 ABD(2)求 BM 与平面 ABD 成的角的正切值.解：(1)连 AC,/GC 丄平面 ABCD CC 丄

12、BD.又 AC!BD AC 丄 BD.同理 AC!A1B/A1BQ BD=B AC 丄平面 ABD.1.2.3.Di C Cx 设正方体的棱长为 a，连 AD,AD 交 AD 于 E,连结 ME 在厶 DAC 中，/AC 丄平面 ABD MEL 平面 ABD.ME/AG,连结 BE,则/MBE 为 BM 与平面 ABD 成的角.在 Rt MEB 中,ME 旦，-tan MBE ME 三 6 BE 2 ABC 以斜边 AB 为轴旋转,AC 时停止，并记为点 P.AC 2 E A 例 2 如图，把等腰直角三角形 使 C 点移动的距离等于(1)求证：面 ABP 丄面 ABC(2)求二面角 C-BP-

13、A的余弦值.证明(1)由题设知 AP=CP=BP.点 P 在面 ABC 的射影 D 应是 ABC 的外心，？:即 D AB./PD 丄 AB PD 面 ABR 由面面垂直的判定定理知，面 ABP 丄面 ABC (2)解法 1 取 PB 中点 E,连结 CE、DE CD/BCP 为正三角形，CE1 BD.BOD 为等腰直角三角形，DEL PB./CED为二面角 C-BP-A的平面角.又由(1)知，面 ABPL 面 ABC DCLAB人吐面 ABPA面 ABC 由面面垂直性质定理，得 DCL面 ABP DCL DE因此 CDE 为直角三角形.1 _3 3.DE 2 cos CED CE V3 2

14、在正三棱柱 ABC A B1C1中，E BB1，截面A1 EC BE EB1；A1B1，求平面A,EC与平面A1B1C1 设 BC 1，贝V CE ,DE-,2 2 例 3.如图所示，(1)求证：(2)若 AA,所成二面角(锐角)的度数.证明：在截面 A1EC 内，过 E 作 EG!A1C,G 是垂足，如图,侧面AG.F 2-5 Ci 解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长方体中直线和所成角的余弦值为例全国

15、如图正方形所在平面与正方形所在平面成角求异面直线与所成角的余弦值备课说明求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作a,b 异面，则 a 与 b 所成的角为(A)A.有最小值，有最大值 C.有最小值，无最大值 下列命题中正确的是 B.无最小值,D.有最小值 有最大值。，有最大值。(D)面 A1 EC 丄面 AC1,EGL 侧面 AC1.取 AC 的中点 F,分别连结 B

16、F 和 FC,由 AB=BC 得 BF 丄 AC 面ABCL 侧面 Aq,BF 丄侧面 AC1,得 BF/EG BF 和 EG 确定一个平面，交侧面 AC1于 FG.BE/侧面 AC1,BE/FG 四边形 BEGF ,BE=FG.BE/AA1,FG/AA1,AA 3、FGC/AF=FC,二FG=?EBi，即 故BE 二码.解：（2）分别延长 CE 和 C1B1 交于点 D,连结 A1 D.TEE10CC 码二 二 CCI，DE】=DCi B|C .A.|Bi./B1A1C1=Z B1C1A1=60,ZDA!=-ZDB1A）=30,/DA1C1=Z DA1B1+Z B1A1C1=90,即卩 DA

17、1 丄 A1C1.v CC 丄面 A1C1B1,由三垂线定理得 DA1丄 A1C,所以/CA1C1是所求二面角的平面角.且/A1 C1 C=90./CC1=AA=A1B1=A1 C,，/CAG=45,即所求二面角为 45 说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法.三、作业：已知平面 的一条斜线 a 与平面 成角，直线 b，且 A.过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个 B.过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个 C.过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条 D.过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个 一条长为 60 的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 4

18、5和 30,这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 (A)A.30 B.20 C.15 D.12 设正四棱锥 S ABCD 的侧棱长为 2，底面边长为-3,E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC 所成的角是(C)A.30 B.45 C.60 D.90 正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为 arctan2 2，则它的侧棱与底面所成的角为 _2 A 是、BCD 所在平面外的点，/BAC=Z CAB=Z DAB=60,AB=3,AC=AD=2.(I)求证：AB 丄 CD;(H)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.c g 2-6 解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用

19、方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长方体中直线和所成角的余弦值为例全国如图正方形所在平面与正方形所在平面成角求异面直线与所成角的余弦值备课说明求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作7.正四面体 ABCD 中，E 是

20、AD 边的中点，求：CE 与底面 BCD 所成角的正弦值.解过 A,E 分别作AH 丄面 BCD,E0 丄面 BCD,H,O 为垂足，AH卫 20E,AH,0E 确定平面 AHD，连结 0C,/ECO 即为所求.I AB=AC=AD,HB=HC=HD/BCD 是正三角形，H 是厶 BCD 的中心，解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长方体中直线和所成角的余弦值为例全国如图正方形所在平面与正方形所在平面成角求

21、异面直线与所成角的余弦值备课说明求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作BC 于 F,F 为 BC 的中点，-a 3a，在 Rt ADH 中,2 3 DH 2 DF-3 3 AH 二 JQ-DH：3L-TQE#-AH,=2“1 爲.uE -SL a.,76 _w虚 ra&在四面体 ABCD 中,DA!面 ABC/ABC=90,AE!CD AF!DB 求证：(1)EF

22、!DC(2)平面 DBCL 平面 AEF.(3)SAD=a,AB=a,AC=7,求二面角B-DC-A的正弦值.证明 如图 1-83.(1)TAD 丄面 ABC AD!BC.又 ABG=90.BC!AB.BC 丄面 DAB DB 是 DC 在面 ABD 内的射影.T AF 丄 DB.垂线定理).T AE!CD.CD!平面 AEF.CD!EF.(2)BCD(3)/CD!AE CD!EF./CDL面 AEF./CD 匸面 BCD 由 EF!CD AE!CD AEF 为二面角 B-DC-A的平面 角，在 RtAADB 中応 D 二二 AF 二芈自 在 RtAADC 中 CD=2a 二 AE=已 =包

23、又 T AF!DB AF!CD,BDA CD=D AF丄平面 DBC,J2 又EF在平面DEC内二AF丄EF在RtAAEF中.sinAEF=AF 庇 7s Ta 连结 DH 并延长交故二面角B 一 D亡鼻的正聽值为 当.二面角题目：例 1.如图所示，已知 PA 面 ABC,S PBC S,SABC S，二面角 P BC A 的 D 解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长方体中直线和所成角的余弦值为例全国如图

24、正方形所在平面与正方形所在平面成角求异面直线与所成角的余弦值备课说明求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作平面角为，求证：S cos S 解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长

25、方体中直线和所成角的余弦值为例全国如图正方形所在平面与正方形所在平面成角求异面直线与所成角的余弦值备课说明求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作如图，在空间四边形 ABCD中，BCD是正三角形，ABD BAD 90，又二面角 A BD C为直二面角，求二面角 例3设A在平面BCD内的射影是直角三角形 BCD的斜边BD的中 点 O,AC BC 1CD.2，求（1）A

26、C 与平面 BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D的大小；（3）异面直线 AB 和 CD 所成角的大小。例 4.在正方体 ABCD ABC D中，M为AA的中点，求截面DMB与底面ABCD所成 较小的二面角的大小。选用：如图，正方体的棱长为 1,BCI BC O，求:（1）AO与AC所成角；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）平面AOB与平面AOC所成角 解：（1）AC/AC -AO与AC所成角就是/OC OB,AB 在Rt AOC中,OAC 平面BC OC OA(三垂线定理)&-OC,AC、2 2 OAC 30 (2)作 OE BC，平面BC -OE 平面 ABCD,在 R

27、t OAE 中，OE(3)T OC OA,OC 又 OC 平面AOC 平面ABCD OAE为OA与平面ABCD所成角 1 2/1、2.5 丄 2，I1（2）牙 tan OB OC 平面 AOB 平面AOB 平面AOC OAE OE.5 AE 5 是等腰直角三角形，且 解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长方体中直线和所成角的余弦值为例全国如图正方形所在平面与正方形所在平面成角求异面直线与所成角的余弦值备课说

28、明求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作即平面AOB与平面AOC所成角为90.解直线与平面所成角的概念并掌握求线面角常用方法掌握求角的计算题步骤是一作二证三计算思想方法是将空间图形转化为平面图形即降维的思想方法二课前预习在空间四边形中分别为的中点且所成的角为和与底面所成的角分别为度数为有一个三角尺如图在长方体中直线和所成角的余弦值为例全国如图正方形所在平面与正方形所在平面成角求异面直线与所成角的余弦值备课说明求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有平移法在异面直线的一条上直线的系解立几计算题要先作出所求的角并要有严格的推理论证过程还要有合理的步骤例如图在正方体中求与平面所成的角求与平面所成的角备课说明求直线与平面所成角的键是找直线在此平面上的射影必须在这条直线上找一点作